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5. 欧拉(1707—1783)为世界著名的数学家、自然科学家,他在数学、物理、建筑、航海等领域都作出了杰出的贡献.他对多面体的顶点数$ V $、棱数$ E $、面数$ F $之间存在一定的数量关系,给出了著名的欧拉公式.
(1)观察下列多面体,并把下表补充完整:
| 名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 多面体 | |
| | |
| 顶点数$ V $ | 4 | 6 | 8 | |
| 棱数$ E $ | 6 | | 12 | |
| 面数$ F $ | 4 | 5 | | 8 |
(2)分析表中的数据,你能发现$ V,E,F $之间有什么关系吗?
(1)观察下列多面体,并把下表补充完整:
| 名称 | 三棱锥 | 三棱柱 | 正方体 | 正八面体 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 多面体 | |
| | || 顶点数$ V $ | 4 | 6 | 8 | |
| 棱数$ E $ | 6 | | 12 | |
| 面数$ F $ | 4 | 5 | | 8 |
(2)分析表中的数据,你能发现$ V,E,F $之间有什么关系吗?
答案
解：
(1) 依次补全表格空缺：
正八面体的顶点数$V$为6；
三棱柱的棱数$E$为9；
正八面体的棱数$E$为12；
正方体的面数$F$为6。
(2) 代入各组数据验证：
$4+4-6=2$，$6+5-9=2$，$8+6-12=2$，$6+8-12=2$，
可得$V,E,F$之间的关系为：$\boldsymbol{V + F - E = 2}$。
(1) 依次补全表格空缺：
正八面体的顶点数$V$为6；
三棱柱的棱数$E$为9；
正八面体的棱数$E$为12；
正方体的面数$F$为6。
(2) 代入各组数据验证：
$4+4-6=2$，$6+5-9=2$，$8+6-12=2$，$6+8-12=2$，
可得$V,E,F$之间的关系为：$\boldsymbol{V + F - E = 2}$。
解析
【分析】
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问需要结合多面体的结构，分别计数对应几何体的顶点数、棱数、面数：①三棱柱的上下是2个三角形底面，侧面是3个长方形，棱可以分为上下底的棱和侧棱两部分计数；②正方体是常见立方体，可直接回忆面数；③正八面体可以看成两个四棱锥底面重合组成的图形，分别计数顶点和棱即可。
(2) 第二问是规律探究题，把四个多面体对应的V、F、E三个数值分别进行加减运算，寻找共同的运算结果，即可总结出三者的数量关系。
【解析】
(1) 依次计算各空缺项：
① 三棱柱的棱数：上下底面各有3条棱，侧面有3条侧棱，总棱数为$3×2+3=9$；
② 正方体的面数：正方体有上下、前后、左右共6个面，因此面数$F=6$；
③ 正八面体的顶点数：上下各1个顶点，中间正方形有4个顶点，总顶点数为$1+1+4=6$；
④ 正八面体的棱数：上顶点连接中间4个顶点有4条棱，下顶点连接中间4个顶点有4条棱，中间正方形有4条棱，总棱数为$4+4+4=12$。
(2) 将四组数据分别代入验证运算：
三棱锥：$V+F-E=4+4-6=2$；
三棱柱：$V+F-E=6+5-9=2$；
正方体：$V+F-E=8+6-12=2$；
正八面体：$V+F-E=6+8-12=2$；
四组数据的运算结果均为2，因此可得到三者的数量关系。
【答案】
(1) 表格空缺从上到下、从左到右依次填：$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{6}$；
(2) $V,E,F$之间的关系为$\boldsymbol{V + F - E = 2}$。
【知识点】
多面体的认识，欧拉公式，规律探究
【点评】
本题结合常见立体图形考查计数能力和归纳探究能力，解题的关键是准确识别多面体的结构，正确计数顶点、棱、面的数量，探究规律时可通过尝试不同的加减组合寻找统一的等量关系，能帮助学生体会从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.8
本题分为两小问，解题思路如下：
(1) 第一问需要结合多面体的结构，分别计数对应几何体的顶点数、棱数、面数：①三棱柱的上下是2个三角形底面，侧面是3个长方形，棱可以分为上下底的棱和侧棱两部分计数；②正方体是常见立方体，可直接回忆面数；③正八面体可以看成两个四棱锥底面重合组成的图形，分别计数顶点和棱即可。
(2) 第二问是规律探究题，把四个多面体对应的V、F、E三个数值分别进行加减运算，寻找共同的运算结果，即可总结出三者的数量关系。
【解析】
(1) 依次计算各空缺项：
① 三棱柱的棱数：上下底面各有3条棱，侧面有3条侧棱，总棱数为$3×2+3=9$；
② 正方体的面数：正方体有上下、前后、左右共6个面，因此面数$F=6$；
③ 正八面体的顶点数：上下各1个顶点，中间正方形有4个顶点，总顶点数为$1+1+4=6$；
④ 正八面体的棱数：上顶点连接中间4个顶点有4条棱，下顶点连接中间4个顶点有4条棱，中间正方形有4条棱，总棱数为$4+4+4=12$。
(2) 将四组数据分别代入验证运算：
三棱锥：$V+F-E=4+4-6=2$；
三棱柱：$V+F-E=6+5-9=2$；
正方体：$V+F-E=8+6-12=2$；
正八面体：$V+F-E=6+8-12=2$；
四组数据的运算结果均为2，因此可得到三者的数量关系。
【答案】
(1) 表格空缺从上到下、从左到右依次填：$\boldsymbol{6}$，$\boldsymbol{9}$，$\boldsymbol{12}$，$\boldsymbol{6}$；
(2) $V,E,F$之间的关系为$\boldsymbol{V + F - E = 2}$。
【知识点】
多面体的认识，欧拉公式，规律探究
【点评】
本题结合常见立体图形考查计数能力和归纳探究能力，解题的关键是准确识别多面体的结构，正确计数顶点、棱、面的数量，探究规律时可通过尝试不同的加减组合寻找统一的等量关系，能帮助学生体会从特殊到一般的数学思想。
【难度系数】
0.8
1. 如图3,在直线$l$上有$A,B,C$三点,则图中线段共有 ()
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案
C
解析
【分析】
解题时首先明确线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，两个端点确定唯一一条线段。我们按顺序枚举所有两个点的组合，避免重复或遗漏：先固定左端点A，能和A组成线段的右端点有B、C，得到AB、AC；再固定左端点B，能和B组成线段的右端点有C，得到BC，汇总即可得到总线段数。
【解析】
根据线段的定义，图中A、B、C三点可组成的线段分别为线段AB、线段BC、线段AC，合计共有3条线段。
【答案】
C
【知识点】
线段的定义；线段计数
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段的识别与计数，计数时按照一定顺序枚举即可有效避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.9
解题时首先明确线段的定义：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，两个端点确定唯一一条线段。我们按顺序枚举所有两个点的组合，避免重复或遗漏：先固定左端点A，能和A组成线段的右端点有B、C，得到AB、AC；再固定左端点B，能和B组成线段的右端点有C，得到BC，汇总即可得到总线段数。
【解析】
根据线段的定义，图中A、B、C三点可组成的线段分别为线段AB、线段BC、线段AC，合计共有3条线段。
【答案】
C
【知识点】
线段的定义；线段计数
【点评】
本题属于基础题，主要考查线段的识别与计数，计数时按照一定顺序枚举即可有效避免重复或遗漏。
【难度系数】
0.9
2. 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是 （）
A.1或3
B.3
C.2
D.1
A.1或3
B.3
C.2
D.1
答案
A
解析
【分析】
解决这道题需要结合直线的性质，分情况讨论三点的位置关系：首先回忆“两点确定一条直线”的性质，由于题目没有说明三点的位置，所以要考虑两种情况：①三点在同一条直线上；②三点不在同一条直线上，分别计算两种情况下能画出的直线数量，再汇总结果即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当三点在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，此时过任意两点画出的直线都是同一条，共可以画出1条直线；
2. 当三点不在同一条直线上时，设三个点分别为A、B、C，可画出直线AB、直线AC、直线BC，共3条直线。
综上，经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是1或3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略三点共线的情况，直接认为三点不在同一直线上而错选B，解题时要注意题目没有明确点的位置关系时，需考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解决这道题需要结合直线的性质，分情况讨论三点的位置关系：首先回忆“两点确定一条直线”的性质，由于题目没有说明三点的位置，所以要考虑两种情况：①三点在同一条直线上；②三点不在同一条直线上，分别计算两种情况下能画出的直线数量，再汇总结果即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当三点在同一条直线上时，根据“两点确定一条直线”，此时过任意两点画出的直线都是同一条，共可以画出1条直线；
2. 当三点不在同一条直线上时，设三个点分别为A、B、C，可画出直线AB、直线AC、直线BC，共3条直线。
综上，经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是1或3，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
两点确定一条直线；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略三点共线的情况，直接认为三点不在同一直线上而错选B，解题时要注意题目没有明确点的位置关系时，需考虑所有可能的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7
