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3. 下列运用等式性质进行的变形，正确的是 （）
A.如果 $ac = bc$，那么 $a = b$
B.如果 $a = b$，那么 $\dfrac{a}{c^2 + 1} = \dfrac{b}{c^2 + 1}$
C.如果 $a = b$，那么 $a + c = b - c$
D.如果 $8x = 4$，那么 $x = 2$
A.如果 $ac = bc$，那么 $a = b$
B.如果 $a = b$，那么 $\dfrac{a}{c^2 + 1} = \dfrac{b}{c^2 + 1}$
C.如果 $a = b$，那么 $a + c = b - c$
D.如果 $8x = 4$，那么 $x = 2$
答案
B
解析
【分析】
解这道题的核心是熟练掌握等式的两条基本性质，解题时逐个选项对照等式性质验证即可，要特别注意“等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0”这个易错点。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当c=0时，$ac=bc$恒成立，此时无论a、b取何值都满足$ac=bc$，不能直接推出$a=b$，故A错误；
B选项：因为任何数的平方都是非负数，所以$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1$，一定不为0。根据等式性质2，等式$a=b$两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\dfrac{a}{c^2 + 1} = \dfrac{b}{c^2 + 1}$，故B正确；
C选项：根据等式性质1，等式两边要同时加或减同一个数，等式才成立，该选项左边加c，右边减c，运算不一致，故C错误；
D选项：$8x=4$，根据等式性质2，两边同时除以8，得$x=4÷8=\dfrac{1}{2}$，不是2，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质，平方的非负性
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，易错点是容易忽略A选项中除数c可能为0的情况，解题时要注意养成检查除数是否为0的习惯。
【难度系数】
0.8
解这道题的核心是熟练掌握等式的两条基本性质，解题时逐个选项对照等式性质验证即可，要特别注意“等式两边同时除以同一个数时，这个数必须不为0”这个易错点。等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：当c=0时，$ac=bc$恒成立，此时无论a、b取何值都满足$ac=bc$，不能直接推出$a=b$，故A错误；
B选项：因为任何数的平方都是非负数，所以$c^2≥0$，因此$c^2+1≥1$，一定不为0。根据等式性质2，等式$a=b$两边同时除以不为0的$c^2+1$，可得$\dfrac{a}{c^2 + 1} = \dfrac{b}{c^2 + 1}$，故B正确；
C选项：根据等式性质1，等式两边要同时加或减同一个数，等式才成立，该选项左边加c，右边减c，运算不一致，故C错误；
D选项：$8x=4$，根据等式性质2，两边同时除以8，得$x=4÷8=\dfrac{1}{2}$，不是2，故D错误。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
等式的性质，平方的非负性
【点评】
本题属于等式性质应用的基础题型，易错点是容易忽略A选项中除数c可能为0的情况，解题时要注意养成检查除数是否为0的习惯。
【难度系数】
0.8
4. 下列方程的变形,正确的是 ()
A.由$3+x=5$,得$x=5+3$
B.由$7x=-4$,得$x=-\dfrac{7}{4}$
C.由$\dfrac{1}{2}y=0$,得$y=2$
D.由$x+3=-2$,得$x=-2-3$
A.由$3+x=5$,得$x=5+3$
B.由$7x=-4$,得$x=-\dfrac{7}{4}$
C.由$\dfrac{1}{2}y=0$,得$y=2$
D.由$x+3=-2$,得$x=-2-3$
答案
D
解析
【分析】
这道题考查方程变形的正误判断，解题核心依据是等式的基本性质。我们只需要逐个分析每个选项的变形过程，对照等式性质判断是否合规即可：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：由$3+x=5$，等式两边同时减3，移项要变号，应得$x=5-3$，选项变形未变号，错误。
B选项：由$7x=-4$，等式两边同时除以7进行系数化为1，应得$x=-\dfrac{4}{7}$，选项颠倒了分子分母，错误。
C选项：由$\dfrac{1}{2}y=0$，等式两边同时乘2，应得$y=0$，选项变形错误。
D选项：由$x+3=-2$，等式两边同时减3，移项变号后得$x=-2-3$，变形符合等式性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质，方程变形规则
【点评】
本题是方程变形的基础题型，易错点为移项忘记变号、系数化为1时混淆分子分母的位置，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
这道题考查方程变形的正误判断，解题核心依据是等式的基本性质。我们只需要逐个分析每个选项的变形过程，对照等式性质判断是否合规即可：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），等式仍然成立；等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍然成立。
【解析】
我们逐个验证选项：
A选项：由$3+x=5$，等式两边同时减3，移项要变号，应得$x=5-3$，选项变形未变号，错误。
B选项：由$7x=-4$，等式两边同时除以7进行系数化为1，应得$x=-\dfrac{4}{7}$，选项颠倒了分子分母，错误。
C选项：由$\dfrac{1}{2}y=0$，等式两边同时乘2，应得$y=0$，选项变形错误。
D选项：由$x+3=-2$，等式两边同时减3，移项变号后得$x=-2-3$，变形符合等式性质，正确。
【答案】
D
【知识点】
等式的基本性质，方程变形规则
【点评】
本题是方程变形的基础题型，易错点为移项忘记变号、系数化为1时混淆分子分母的位置，熟练掌握等式的基本性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
5.若−m=4,则m=.
答案
解：
等式两边同时乘-1，得
m = -4
等式两边同时乘-1，得
m = -4
解析
【分析】
已知等式$-m=4$，求解$m$的思路有两种：一是利用等式的性质，等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，要将左边的$-m$转化为$m$，只需给等式两边同时乘$-1$即可得到结果；二是利用相反数的定义，$-m$是$m$的相反数，已知一个数的相反数是4，那么这个数就是4的相反数，两种思路都能快速求出$m$的值。
【解析】
已知$-m = 4$，根据等式的性质，等式两边同时乘$-1$，得：
$(-m)×(-1) = 4×(-1)$
计算后得$m = -4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 相反数的概念
【点评】
本题是基础运算题，核心考察对等式性质或相反数概念的掌握，难度低，掌握基础知识点即可快速做对，是代数运算的入门类题目。
【难度系数】
0.9
已知等式$-m=4$，求解$m$的思路有两种：一是利用等式的性质，等式两边同时乘同一个不为0的数，等式仍然成立，要将左边的$-m$转化为$m$，只需给等式两边同时乘$-1$即可得到结果；二是利用相反数的定义，$-m$是$m$的相反数，已知一个数的相反数是4，那么这个数就是4的相反数，两种思路都能快速求出$m$的值。
【解析】
已知$-m = 4$，根据等式的性质，等式两边同时乘$-1$，得：
$(-m)×(-1) = 4×(-1)$
计算后得$m = -4$。
【答案】
$-4$
【知识点】
1. 等式的性质
2. 相反数的概念
【点评】
本题是基础运算题，核心考察对等式性质或相反数概念的掌握，难度低，掌握基础知识点即可快速做对，是代数运算的入门类题目。
【难度系数】
0.9
6.已知$2y=5x$,则$x:y=$.
答案
$\boldsymbol{2:5}$
解析
【分析】
本题要求根据等积式求两个量的比，解题核心是运用比例的基本性质。首先回忆比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。我们需要将给定的等积式$2y=5x$转化为$x:y$的形式，只需确定比例的外项和内项即可：如果将$x$作为比例的第一个外项，那么和$x$相乘的$5$就要作为比例的另一个外项；$y$作为比例的第一个内项，和$y$相乘的$2$就要作为比例的另一个内项，这样就能直接写出$x$与$y$的比。
【解析】
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
已知$2y=5x$，将等式转化为比例式，使$x$为前项、$y$为后项：
把$x$和$5$作为外项，$y$和$2$作为内项，可得$x:y=2:5$。
【答案】
$2:5$
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查等积式与比例式的互相转化，解题时要注意外项和内项的对应关系，避免将比例的前后项写反。
【难度系数】
0.9
本题要求根据等积式求两个量的比，解题核心是运用比例的基本性质。首先回忆比例的基本性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。我们需要将给定的等积式$2y=5x$转化为$x:y$的形式，只需确定比例的外项和内项即可：如果将$x$作为比例的第一个外项，那么和$x$相乘的$5$就要作为比例的另一个外项；$y$作为比例的第一个内项，和$y$相乘的$2$就要作为比例的另一个内项，这样就能直接写出$x$与$y$的比。
【解析】
根据比例的基本性质：两外项之积等于两内项之积。
已知$2y=5x$，将等式转化为比例式，使$x$为前项、$y$为后项：
把$x$和$5$作为外项，$y$和$2$作为内项，可得$x:y=2:5$。
【答案】
$2:5$
【知识点】
比例的基本性质
【点评】
本题是基础题型，重点考查等积式与比例式的互相转化，解题时要注意外项和内项的对应关系，避免将比例的前后项写反。
【难度系数】
0.9
7. 已知$x+y=5,xy=2$,计算$3x+3y-4xy$的值为.
答案
$\boldsymbol{7}$
解析
【分析】
解题时首先观察已知条件和待求代数式的特征，不需要单独求出x、y的具体值，采用整体代入的思想更简便：第一步先对待求式变形，提取公因式将3x+3y转化为3(x+y)，此时待求式可整理为含x+y和xy的形式，再直接代入已知的x+y=5、xy=2计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式进行变形：
$3x+3y-4xy = 3(x+y) - 4xy$
将$x+y=5$，$xy=2$代入上式：
原式$= 3×5 - 4×2$
$=15 - 8$
$=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
代数式求值、整体代入法、提取公因式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是灵活运用整体代入思想，无需求解单个未知数，只需根据代数式结构合理变形后代入已知条件即可，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察已知条件和待求代数式的特征，不需要单独求出x、y的具体值，采用整体代入的思想更简便：第一步先对待求式变形，提取公因式将3x+3y转化为3(x+y)，此时待求式可整理为含x+y和xy的形式，再直接代入已知的x+y=5、xy=2计算即可得到结果。
【解析】
先对所求代数式进行变形：
$3x+3y-4xy = 3(x+y) - 4xy$
将$x+y=5$，$xy=2$代入上式：
原式$= 3×5 - 4×2$
$=15 - 8$
$=7$
【答案】
$\boldsymbol{7}$
【知识点】
代数式求值、整体代入法、提取公因式
【点评】
本题考查代数式的化简求值，解题核心是灵活运用整体代入思想，无需求解单个未知数，只需根据代数式结构合理变形后代入已知条件即可，能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8
1. 若$2a$与$1-a$互为相反数，则$a$的值等于（）
A.0
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
A.0
B.$-1$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{1}{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0。结合题目给出的条件，可列出关于a的一元一次方程，再通过解一元一次方程的步骤求出a的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵互为相反数的两个数之和为0，
∴根据题意可列方程：$2a + (1 - a) = 0$，
去括号得：$2a + 1 - a = 0$，
合并同类项得：$a + 1 = 0$，
解得：$a = -1$。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查相反数性质的应用，结合简单一元一次方程的求解，掌握“互为相反数的两数和为0”是解题的突破口，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相反数的性质：互为相反数的两个数的和为0。结合题目给出的条件，可列出关于a的一元一次方程，再通过解一元一次方程的步骤求出a的值，对应选项即可得到答案。
【解析】
解：
∵互为相反数的两个数之和为0，
∴根据题意可列方程：$2a + (1 - a) = 0$，
去括号得：$2a + 1 - a = 0$，
合并同类项得：$a + 1 = 0$，
解得：$a = -1$。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，核心考查相反数性质的应用，结合简单一元一次方程的求解，掌握“互为相反数的两数和为0”是解题的突破口，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8
2. 方程$3x=2x+7$的解是 （）
A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=7$
D.$x=-7$
A.$x=4$
B.$x=-4$
C.$x=7$
D.$x=-7$
答案
C
解析
【分析】
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题思路是运用移项法则，把含未知数的项统一移到等号的同一侧，常数项留在另一侧，注意移项时要改变符号，之后合并同类项即可求出方程的解。
【解析】
解：对$3x=2x+7$进行移项操作，将等号右侧的$2x$移到左侧，符号变为负，可得：
$3x-2x=7$
合并同类项后得到：$x=7$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次方程；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次方程的基本求解方法，熟练掌握移项变号的规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
这是一道求解一元一次方程的基础题，解题思路是运用移项法则，把含未知数的项统一移到等号的同一侧，常数项留在另一侧，注意移项时要改变符号，之后合并同类项即可求出方程的解。
【解析】
解：对$3x=2x+7$进行移项操作，将等号右侧的$2x$移到左侧，符号变为负，可得：
$3x-2x=7$
合并同类项后得到：$x=7$
对应选项为C。
【答案】
C
【知识点】
解一元一次方程；移项法则
【点评】
本题属于基础题型，主要考查一元一次方程的基本求解方法，熟练掌握移项变号的规则即可快速得出正确结果。
【难度系数】
0.9
3. 在解方程$\frac{x-1}{3}+x=\frac{3x+1}{2}$时，方程两边同时乘6，去分母后，正确的是（）
A.$2x-1+6x=3(3x+1)$
B.$2(x-1)+6x=3(3x+1)$
C.$2(x-1)+x=3(3x+1)$
D.$(x-1)+x=3(x+1)$
A.$2x-1+6x=3(3x+1)$
B.$2(x-1)+6x=3(3x+1)$
C.$2(x-1)+x=3(3x+1)$
D.$(x-1)+x=3(x+1)$
答案
B
解析
【分析】
这是一道一元一次方程去分母的选择题，解题核心是运用等式的性质，给方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，需注意两个易错点：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，乘完后要给分子整体加括号，避免运算错误。首先找到方程中分母3和2的最小公倍数是6，再依次计算方程左右两边每一项乘6后的结果，对应选项判断即可。
【解析】
解：方程$\frac{x-1}{3}+x=\frac{3x+1}{2}$的分母为3和2，最小公倍数是6，给方程两边同时乘6：
1. 左边第一项$\frac{x-1}{3} × 6 = 2(x-1)$；
2. 左边第二项$x × 6 = 6x$；
3. 右边$\frac{3x+1}{2} × 6 = 3(3x+1)$。
将各项结果组合，得到去分母后的方程为$2(x-1)+6x=3(3x+1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程去分母
【点评】
本题考查一元一次方程去分母的运算规则，易错点为漏乘不含分母的整数项、分子为多项式时忘记加括号，掌握去分母的基本要求即可准确作答。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程去分母的选择题，解题核心是运用等式的性质，给方程两边同时乘所有分母的最小公倍数，需注意两个易错点：①不要漏乘不含分母的项；②分子是多项式时，乘完后要给分子整体加括号，避免运算错误。首先找到方程中分母3和2的最小公倍数是6，再依次计算方程左右两边每一项乘6后的结果，对应选项判断即可。
【解析】
解：方程$\frac{x-1}{3}+x=\frac{3x+1}{2}$的分母为3和2，最小公倍数是6，给方程两边同时乘6：
1. 左边第一项$\frac{x-1}{3} × 6 = 2(x-1)$；
2. 左边第二项$x × 6 = 6x$；
3. 右边$\frac{3x+1}{2} × 6 = 3(3x+1)$。
将各项结果组合，得到去分母后的方程为$2(x-1)+6x=3(3x+1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 等式的性质
2. 一元一次方程去分母
【点评】
本题考查一元一次方程去分母的运算规则，易错点为漏乘不含分母的整数项、分子为多项式时忘记加括号，掌握去分母的基本要求即可准确作答。
【难度系数】
0.8
4. $x=\_\_\_\_\_\_$时,代数式$\dfrac{2x+1}{3}$的值比$\dfrac{5x-1}{6}$的值大1.
答案
解：根据题意列方程，得
$\frac{2x+1}{3} - \frac{5x-1}{6} = 1$
去分母，两边同乘6，得
$2(2x+1) - (5x-1) = 6$
去括号，得
$4x + 2 - 5x + 1 = 6$
移项，得
$4x - 5x = 6 - 2 - 1$
合并同类项，得
$-x = 3$
系数化为1，得
$x = -3$
$\frac{2x+1}{3} - \frac{5x-1}{6} = 1$
去分母，两边同乘6，得
$2(2x+1) - (5x-1) = 6$
去括号，得
$4x + 2 - 5x + 1 = 6$
移项，得
$4x - 5x = 6 - 2 - 1$
合并同类项，得
$-x = 3$
系数化为1，得
$x = -3$
解析
【分析】
首先抓取题目中“代数式$\dfrac{2x+1}{3}$的值比$\dfrac{5x-1}{6}$的值大1”的关键描述，确定等量关系：$\dfrac{2x+1}{3}$减去$\dfrac{5x-1}{6}$的差等于1，据此列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算，即可求出x的取值。
【解析】
根据题意列方程，得
$\frac{2x+1}{3} - \frac{5x-1}{6} = 1$
去分母，两边同乘6，得
$2(2x+1) - (5x-1) = 6$
去括号，得
$4x + 2 - 5x + 1 = 6$
移项，得
$4x - 5x = 6 - 2 - 1$
合并同类项，得
$-x = 3$
系数化为1，得
$x = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
列一元一次方程，解一元一次方程
【点评】
本题核心考察文字数量关系转数学方程的转化能力，以及一元一次方程的计算能力，解题时要注意找准等量关系，去分母、去括号时格外注意符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
首先抓取题目中“代数式$\dfrac{2x+1}{3}$的值比$\dfrac{5x-1}{6}$的值大1”的关键描述，确定等量关系：$\dfrac{2x+1}{3}$减去$\dfrac{5x-1}{6}$的差等于1，据此列出一元一次方程，再按照解一元一次方程的标准步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）逐步计算，即可求出x的取值。
【解析】
根据题意列方程，得
$\frac{2x+1}{3} - \frac{5x-1}{6} = 1$
去分母，两边同乘6，得
$2(2x+1) - (5x-1) = 6$
去括号，得
$4x + 2 - 5x + 1 = 6$
移项，得
$4x - 5x = 6 - 2 - 1$
合并同类项，得
$-x = 3$
系数化为1，得
$x = -3$
【答案】
$-3$
【知识点】
列一元一次方程，解一元一次方程
【点评】
本题核心考察文字数量关系转数学方程的转化能力，以及一元一次方程的计算能力，解题时要注意找准等量关系，去分母、去括号时格外注意符号变化，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
5. (2025·遂宁)已知$x=2$是方程$3a-2x=2$的解，则$a=$.
答案
$\boldsymbol{2}$
解析
【分析】
解题的关键是明确方程的解的含义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=2是方程的解，我们可以先将x=2代入原方程，把含有两个未知数的方程转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算，就能得到a的值。
【解析】
∵ $x=2$是方程$3a-2x=2$的解
∴ 将$x=2$代入原方程，可得：
$\begin{aligned}3a - 2× 2 &= 2 \\3a - 4 &= 2 \\3a &= 2 + 4 \\3a &= 6 \\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用方程的解的意义将已知解代入原方程，转化为关于待求参数的一元一次方程求解，计算量小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.9
解题的关键是明确方程的解的含义：方程的解是能使方程左右两边相等的未知数的值。已知x=2是方程的解，我们可以先将x=2代入原方程，把含有两个未知数的方程转化为仅含未知数a的一元一次方程，再按照一元一次方程的求解步骤计算，就能得到a的值。
【解析】
∵ $x=2$是方程$3a-2x=2$的解
∴ 将$x=2$代入原方程，可得：
$\begin{aligned}3a - 2× 2 &= 2 \\3a - 4 &= 2 \\3a &= 2 + 4 \\3a &= 6 \\a &= 2\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
方程的解的定义；解一元一次方程
【点评】
本题属于基础常考题，核心是利用方程的解的意义将已知解代入原方程，转化为关于待求参数的一元一次方程求解，计算量小，掌握基础概念即可得分。
【难度系数】
0.9
