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1.已知四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为菱形，还需要添加一个条件，这个条件是（）
A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$AD=BC$
D.$AC=BD$
A.$AB=CD$
B.$AB=BC$
C.$AD=BC$
D.$AC=BD$
答案
B
解析
【分析】
解题首先从已知条件入手：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此首先可确定四边形ABCD是平行四边形。接下来回忆平行四边形判定为菱形的条件：要么有一组邻边相等，要么对角线互相垂直。最后逐一核对四个选项，选出符合菱形判定的条件即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
对各选项分析如下：
A. AB=CD是平行四边形的固有性质（平行四边形对边相等），添加后不能判定为菱形，不符合要求；
B. AB=BC说明平行四边形有一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD为菱形，符合要求；
C. AD=BC是平行四边形的固有性质，添加后不能判定为菱形，不符合要求；
D. AC=BD说明平行四边形对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不是菱形，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是先根据已知条件明确原四边形的类型，再结合菱形的判定条件筛选选项，学习中要注意区分不同特殊四边形的判定定理，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题首先从已知条件入手：对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此首先可确定四边形ABCD是平行四边形。接下来回忆平行四边形判定为菱形的条件：要么有一组邻边相等，要么对角线互相垂直。最后逐一核对四个选项，选出符合菱形判定的条件即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD的对角线互相平分，
∴四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
对各选项分析如下：
A. AB=CD是平行四边形的固有性质（平行四边形对边相等），添加后不能判定为菱形，不符合要求；
B. AB=BC说明平行四边形有一组邻边相等，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，可判定四边形ABCD为菱形，符合要求；
C. AD=BC是平行四边形的固有性质，添加后不能判定为菱形，不符合要求；
D. AC=BD说明平行四边形对角线相等，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定为矩形，不是菱形，不符合要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定
【点评】
本题考查特殊平行四边形的判定，解题的关键是先根据已知条件明确原四边形的类型，再结合菱形的判定条件筛选选项，学习中要注意区分不同特殊四边形的判定定理，避免混淆。
【难度系数】
0.8
2. 下列图形一定为矩形的是（）
答案
解：
A. 该四边形仅有两个对角为直角，无法判定其余内角为直角，不一定是矩形；
B. 该四边形仅有两个相邻的底角为直角，仅能推出上下一组对边平行，无法判定为平行四边形，可能为直角梯形，不一定是矩形；
C. 该四边形的两个底角为直角，说明左右两条边均垂直于下底，因此左右两边互相平行，又左右两边长度均为3，即一组对边平行且相等，因此该四边形是平行四边形，结合有一个内角是直角，可得该平行四边形是矩形；
D. 该四边形仅有两个底角为直角，下底长度为4，左侧竖边长度为3，无法证明上下一组对边平行且相等，右侧竖边长度未知，可能为直角梯形，不一定是矩形。
综上，答案选C。
A. 该四边形仅有两个对角为直角，无法判定其余内角为直角，不一定是矩形；
B. 该四边形仅有两个相邻的底角为直角，仅能推出上下一组对边平行，无法判定为平行四边形，可能为直角梯形，不一定是矩形；
C. 该四边形的两个底角为直角，说明左右两条边均垂直于下底，因此左右两边互相平行，又左右两边长度均为3，即一组对边平行且相等，因此该四边形是平行四边形，结合有一个内角是直角，可得该平行四边形是矩形；
D. 该四边形仅有两个底角为直角，下底长度为4，左侧竖边长度为3，无法证明上下一组对边平行且相等，右侧竖边长度未知，可能为直角梯形，不一定是矩形。
综上，答案选C。
解析
【分析】
解题时需先明确矩形的判定规则：一是有三个角为直角的四边形是矩形；二是有一个角为直角的平行四边形是矩形。我们逐一分析每个选项给出的边角条件，先判断对应四边形是否满足平行四边形的判定，再结合直角条件判断是否为矩形，逐一排除不符合要求的选项即可。
【解析】
A. 该四边形仅两个对角为直角，无法判定剩余两个内角为直角，不满足矩形判定条件，不一定是矩形；
B. 该四边形仅两个相邻底角为直角，仅能推出上下一组对边平行，无法判定是平行四边形，有可能是直角梯形，不一定是矩形；
C. 该四边形两个底角为直角，说明左右两条边均垂直于下底，因此左右两边互相平行，又已知左右两边长度均为3，即一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，结合存在内角为直角，可得该平行四边形是矩形；
D. 该四边形仅两个底角为直角，仅已知下底长度为4、左侧竖边长度为3，右侧竖边长度未知，无法判定为平行四边形，有可能是直角梯形，不一定是矩形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题核心考查矩形与平行四边形判定定理的综合应用，解题时需注意区分矩形和直角梯形的特征，逐一验证选项的已知条件，避免遗漏边角关系造成误判。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确矩形的判定规则：一是有三个角为直角的四边形是矩形；二是有一个角为直角的平行四边形是矩形。我们逐一分析每个选项给出的边角条件，先判断对应四边形是否满足平行四边形的判定，再结合直角条件判断是否为矩形，逐一排除不符合要求的选项即可。
【解析】
A. 该四边形仅两个对角为直角，无法判定剩余两个内角为直角，不满足矩形判定条件，不一定是矩形；
B. 该四边形仅两个相邻底角为直角，仅能推出上下一组对边平行，无法判定是平行四边形，有可能是直角梯形，不一定是矩形；
C. 该四边形两个底角为直角，说明左右两条边均垂直于下底，因此左右两边互相平行，又已知左右两边长度均为3，即一组对边平行且相等，可判定该四边形是平行四边形，结合存在内角为直角，可得该平行四边形是矩形；
D. 该四边形仅两个底角为直角，仅已知下底长度为4、左侧竖边长度为3，右侧竖边长度未知，无法判定为平行四边形，有可能是直角梯形，不一定是矩形。
综上，本题选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的判定；平行四边形的判定
【点评】
本题核心考查矩形与平行四边形判定定理的综合应用，解题时需注意区分矩形和直角梯形的特征，逐一验证选项的已知条件，避免遗漏边角关系造成误判。
【难度系数】
0.7
3. 如图1,一个四边形顺次添加下列中的三个条件便得到正方形:
a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角。顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c。
则正确的是 ()
A.仅①
B.仅③
C.①②
D.②③
a.两组对边分别相等;b.一组对边平行且相等;c.一组邻边相等;d.一个角是直角。顺次添加的条件:①a→c→d;②b→d→c;③a→b→c。
则正确的是 ()
A.仅①
B.仅③
C.①②
D.②③
答案
C
解析
【分析】
解题时需先明确每个条件添加后四边形的类型变化，最终判断是否能得到正方形。首先回忆特殊四边形的判定定理：普通四边形添加“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”均可判定为平行四边形；平行四边形添加“一组邻边相等”可判定为菱形，添加“一个角是直角”可判定为矩形；正方形需要同时具备菱形和矩形的特征，据此逐一验证三个条件序列即可。
【解析】
我们逐个分析三个顺次添加条件的情况：
1. 验证①$\boldsymbol{a→c→d}$：
第一步：四边形添加条件a（两组对边分别相等），由平行四边形判定定理可得，此时四边形为平行四边形；
第二步：平行四边形添加条件c（一组邻边相等），由菱形判定定理可得，此时四边形为菱形；
第三步：菱形添加条件d（一个角是直角），由正方形判定定理“有一个角是直角的菱形是正方形”可知，最终得到正方形，故①符合要求。
2. 验证②$\boldsymbol{b→d→c}$：
第一步：四边形添加条件b（一组对边平行且相等），由平行四边形判定定理可得，此时四边形为平行四边形；
第二步：平行四边形添加条件d（一个角是直角），由矩形判定定理可得，此时四边形为矩形；
第三步：矩形添加条件c（一组邻边相等），由正方形判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”可知，最终得到正方形，故②符合要求。
3. 验证③$\boldsymbol{a→b→c}$：
第一步：四边形添加条件a，得到平行四边形；
第二步：平行四边形添加条件b，图形属性无变化，仍为平行四边形；
第三步：平行四边形添加条件c，得到菱形，缺少“有一个直角”的条件，不是正方形，故③不符合要求。
综上，正确的是①②。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的递进判定逻辑，需要熟练掌握各类特殊四边形的判定条件，解题时要注意每一步添加条件后图形属性的变化，明确正方形需同时满足矩形和菱形的特征。
【难度系数】
0.7
解题时需先明确每个条件添加后四边形的类型变化，最终判断是否能得到正方形。首先回忆特殊四边形的判定定理：普通四边形添加“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”均可判定为平行四边形；平行四边形添加“一组邻边相等”可判定为菱形，添加“一个角是直角”可判定为矩形；正方形需要同时具备菱形和矩形的特征，据此逐一验证三个条件序列即可。
【解析】
我们逐个分析三个顺次添加条件的情况：
1. 验证①$\boldsymbol{a→c→d}$：
第一步：四边形添加条件a（两组对边分别相等），由平行四边形判定定理可得，此时四边形为平行四边形；
第二步：平行四边形添加条件c（一组邻边相等），由菱形判定定理可得，此时四边形为菱形；
第三步：菱形添加条件d（一个角是直角），由正方形判定定理“有一个角是直角的菱形是正方形”可知，最终得到正方形，故①符合要求。
2. 验证②$\boldsymbol{b→d→c}$：
第一步：四边形添加条件b（一组对边平行且相等），由平行四边形判定定理可得，此时四边形为平行四边形；
第二步：平行四边形添加条件d（一个角是直角），由矩形判定定理可得，此时四边形为矩形；
第三步：矩形添加条件c（一组邻边相等），由正方形判定定理“有一组邻边相等的矩形是正方形”可知，最终得到正方形，故②符合要求。
3. 验证③$\boldsymbol{a→b→c}$：
第一步：四边形添加条件a，得到平行四边形；
第二步：平行四边形添加条件b，图形属性无变化，仍为平行四边形；
第三步：平行四边形添加条件c，得到菱形，缺少“有一个直角”的条件，不是正方形，故③不符合要求。
综上，正确的是①②。
【答案】
C
【知识点】
平行四边形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【点评】
本题考查特殊四边形的递进判定逻辑，需要熟练掌握各类特殊四边形的判定条件，解题时要注意每一步添加条件后图形属性的变化，明确正方形需同时满足矩形和菱形的特征。
【难度系数】
0.7
4. 为判断一块地砖是否为菱形，甲、乙二人分别用仪器进行了测量，甲测量出两组对边分别相等，然后乙进行测量，最后得到结论：地砖是菱形，则乙测量的结果是。（填序号）
①两组对边分别平行；②一组邻边相等；③一组邻角相等。
①两组对边分别平行；②一组邻边相等；③一组邻角相等。
答案
②
解析
【分析】
解题时首先从甲的测量结果入手，先确定当前地砖的形状：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此地砖已经是平行四边形。接下来问题转化为：在平行四边形的基础上，添加哪个条件可以判定它是菱形。结合菱形的判定定理逐一分析3个选项即可得出答案。
【解析】
1. 由甲的测量结果可知：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此该地砖首先是平行四边形。
2. 逐一分析选项：
① 两组对边分别平行是平行四边形的固有性质，测量该条件只能再次确认它是平行四边形，无法判定为菱形，不符合要求；
② 根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，若测量出一组邻边相等，即可判定该平行四边形为菱形，符合要求；
③ 平行四边形的邻角互补，若一组邻角相等，则每个邻角均为90°，此时该图形为矩形，不是菱形，不符合要求。
综上，乙测量的结果是②。
【答案】
②
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是先根据已知条件明确图形已满足的属性，再结合特殊平行四边形的判定条件筛选正确选项，注意不要混淆菱形和矩形的判定规则。
【难度系数】
0.8
解题时首先从甲的测量结果入手，先确定当前地砖的形状：根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此地砖已经是平行四边形。接下来问题转化为：在平行四边形的基础上，添加哪个条件可以判定它是菱形。结合菱形的判定定理逐一分析3个选项即可得出答案。
【解析】
1. 由甲的测量结果可知：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，因此该地砖首先是平行四边形。
2. 逐一分析选项：
① 两组对边分别平行是平行四边形的固有性质，测量该条件只能再次确认它是平行四边形，无法判定为菱形，不符合要求；
② 根据菱形的判定定理：一组邻边相等的平行四边形是菱形，若测量出一组邻边相等，即可判定该平行四边形为菱形，符合要求；
③ 平行四边形的邻角互补，若一组邻角相等，则每个邻角均为90°，此时该图形为矩形，不是菱形，不符合要求。
综上，乙测量的结果是②。
【答案】
②
【知识点】
平行四边形的判定；菱形的判定
【点评】
本题属于基础概念应用题，解题关键是先根据已知条件明确图形已满足的属性，再结合特殊平行四边形的判定条件筛选正确选项，注意不要混淆菱形和矩形的判定规则。
【难度系数】
0.8
5. 如图2，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O的直线EF分别交AB，CD于点E，F，若AB=6，BC=8，则图中阴影部分的面积为。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，AB//CD，
∴ ∠OAE=∠OCF，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴ 阴影部分的面积之和等于$△ BCD$的面积。
∵ $S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB· BC=6×8=48$，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$。
即图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{24}$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，AB//CD，
∴ ∠OAE=∠OCF，
又∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴ 阴影部分的面积之和等于$△ BCD$的面积。
∵ $S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB· BC=6×8=48$，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$。
即图中阴影部分的面积为$\boldsymbol{24}$。
解析
【分析】
本题要求阴影部分的面积，观察可知阴影部分图形分散，直接分别计算复杂度高，因此优先考虑面积转化法求解。首先结合矩形的性质得到相等的边角，证明相关三角形全等，将零散的阴影面积转化为规则图形的面积，再通过规则图形的面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，AB//CD，
∴ ∠OAE=∠OCF，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴ 阴影部分的面积之和等于$△ BCD$的面积。
∵ $S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB· BC=6×8=48$，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$。
【答案】
24
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题核心是通过全等三角形将分散的阴影面积转化为规则的三角形面积，是组合图形面积求解的典型考法，熟练掌握矩形性质和全等证明是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题要求阴影部分的面积，观察可知阴影部分图形分散，直接分别计算复杂度高，因此优先考虑面积转化法求解。首先结合矩形的性质得到相等的边角，证明相关三角形全等，将零散的阴影面积转化为规则图形的面积，再通过规则图形的面积公式计算即可。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OC，AB//CD，
∴ ∠OAE=∠OCF，
又
∵ ∠AOE=∠COF，
∴ △AOE ≌ △COF（ASA），
∴ $S_{△ AOE}=S_{△ COF}$，
∴ 阴影部分的面积之和等于$△ BCD$的面积。
∵ $S_{\mathrm{矩形}ABCD}=AB· BC=6×8=48$，
∴ $S_{△ BCD}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{矩形}ABCD}=\frac{1}{2}×48=24$。
【答案】
24
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定与性质，割补法求面积
【点评】
本题核心是通过全等三角形将分散的阴影面积转化为规则的三角形面积，是组合图形面积求解的典型考法，熟练掌握矩形性质和全等证明是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1.(2024·济宁)如图3,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,连接OE,若OE=3,则菱形的边长为 ()
A.6
B.8
C.10
D.12
图3 图4 图5
A.6
B.8
C.10
D.12
图3 图4 图5
答案
A
解析
【分析】
解题时先回忆菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直，因此对角线相交形成的四个三角形都是直角三角形；再结合E是AB中点的条件，想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可建立OE和菱形边长AB的数量关系，代入数值计算就能得到边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形
又
∵E是AB的中点，即OE是Rt△AOB斜边AB上的中线
∴根据直角三角形斜边中线的性质，可得OE = $\frac{1}{2}$AB
已知OE=3，代入得AB=2OE=2×3=6
∵菱形的四条边长相等，
∴菱形的边长为6
【答案】
A
【知识点】
1.菱形的性质 2.直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何题，将菱形的性质和直角三角形的性质结合考察，解题关键是识别出直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆菱形的基本性质，菱形的对角线互相垂直，因此对角线相交形成的四个三角形都是直角三角形；再结合E是AB中点的条件，想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可建立OE和菱形边长AB的数量关系，代入数值计算就能得到边长。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是菱形
∴AC⊥BD，即∠AOB=90°，△AOB为直角三角形
又
∵E是AB的中点，即OE是Rt△AOB斜边AB上的中线
∴根据直角三角形斜边中线的性质，可得OE = $\frac{1}{2}$AB
已知OE=3，代入得AB=2OE=2×3=6
∵菱形的四条边长相等，
∴菱形的边长为6
【答案】
A
【知识点】
1.菱形的性质 2.直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题是基础几何题，将菱形的性质和直角三角形的性质结合考察，解题关键是识别出直角三角形斜边上的中线，熟练掌握相关性质即可快速得出结果。
【难度系数】
0.8
