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2.(2025·河南)如图4,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为 ()
A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2} - 6$
A.2
B.$6 - 3\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{2}$
D.$6\sqrt{2} - 6$
答案
D
解析
【分析】
解题时需结合折叠性质和菱形性质逐步推导：首先，折叠前后对应边相等、对应角相等，可得到AB与AF相等，∠F与∠B相等；其次，菱形四条边长度相等，可得BC的长度；然后根据三角形内角和判断△ABF为等腰直角三角形，用勾股定理计算出BF的长度；最后用BF减去BC即可得到CF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=6
∴BC=AB=6
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在BC延长线上的点F处
∴AB=AF=6，∠F=∠B=45°
在△ABF中，∠BAF=180°-∠B-∠F=180°-45°-45°=90°，即△ABF是等腰直角三角形
根据勾股定理：$BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$
∴$CF=BF-BC=6\sqrt{2}-6$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将折叠变换与菱形性质结合考查，解题的突破口是判断出△ABF为等腰直角三角形，熟练掌握特殊几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题时需结合折叠性质和菱形性质逐步推导：首先，折叠前后对应边相等、对应角相等，可得到AB与AF相等，∠F与∠B相等；其次，菱形四条边长度相等，可得BC的长度；然后根据三角形内角和判断△ABF为等腰直角三角形，用勾股定理计算出BF的长度；最后用BF减去BC即可得到CF的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是菱形，AB=6
∴BC=AB=6
∵将△ABE沿AE折叠，点B落在BC延长线上的点F处
∴AB=AF=6，∠F=∠B=45°
在△ABF中，∠BAF=180°-∠B-∠F=180°-45°-45°=90°，即△ABF是等腰直角三角形
根据勾股定理：$BF=\sqrt{AB^2+AF^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$
∴$CF=BF-BC=6\sqrt{2}-6$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
菱形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，将折叠变换与菱形性质结合考查，解题的突破口是判断出△ABF为等腰直角三角形，熟练掌握特殊几何图形的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.7
3. 如图5,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O。
(1)若AB=4,则菱形的周长是;
(2)若AC=6,BD=8,则菱形的面积是,周长是;
(3)若∠ABC=70°,则∠ABD的度数为,∠DAC的度数为。
(1)若AB=4,则菱形的周长是;
(2)若AC=6,BD=8,则菱形的面积是,周长是;
(3)若∠ABC=70°,则∠ABD的度数为,∠DAC的度数为。
答案
解：
(1) ∵ 菱形的四条边长度相等，AB=4，
∴ 菱形周长 = 4×AB = 4×4 = 16。
(2) 菱形面积为对角线乘积的一半：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
∵ 菱形对角线互相垂直平分，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，且$∠ AOB=90°$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ 菱形周长 = 4×AB = 4×5 = 20。
(3) ∵ 菱形对角线BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2} × 70°=35°$。
∵ 菱形对边平行，$AD// BC$，
∴ $∠ BAD=180°-∠ ABC=110°$，
又∵ 菱形对角线AC平分$∠ BAD$，
∴ $∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=55°$。
答案依次为：$\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{24}$，$\boldsymbol{20}$；$\boldsymbol{35°}$，$\boldsymbol{55°}$。
(1) ∵ 菱形的四条边长度相等，AB=4，
∴ 菱形周长 = 4×AB = 4×4 = 16。
(2) 菱形面积为对角线乘积的一半：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
∵ 菱形对角线互相垂直平分，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，且$∠ AOB=90°$，
在$Rt△ AOB$中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ 菱形周长 = 4×AB = 4×5 = 20。
(3) ∵ 菱形对角线BD平分$∠ ABC$，
∴ $∠ ABD=\frac{1}{2}∠ ABC=\frac{1}{2} × 70°=35°$。
∵ 菱形对边平行，$AD// BC$，
∴ $∠ BAD=180°-∠ ABC=110°$，
又∵ 菱形对角线AC平分$∠ BAD$，
∴ $∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAD=55°$。
答案依次为：$\boldsymbol{16}$；$\boldsymbol{24}$，$\boldsymbol{20}$；$\boldsymbol{35°}$，$\boldsymbol{55°}$。
解析
【分析】
这道题围绕菱形的性质设置三个小问，解题时可对应调用菱形的不同性质求解：(1)第一问求周长，可利用菱形四条边长度相等的性质，用已知边长乘4即可得到周长；(2)第二问先求面积，直接套用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算，再求周长时，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形AOB的两条直角边长度，用勾股定理算出菱形边长后乘4即可得周长；(3)第三问求角度，先利用菱形对角线平分一组内角的性质算出∠ABD，再结合菱形对边平行、邻角互补的性质求出∠BAD，最后根据AC平分∠BAD算出∠DAC。
【解析】
(1)
∵ 菱形的四条边长度相等，已知AB=4，
∴ 菱形的周长 = 4×AB = 4×4 = 16。
(2) 菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入AC=6，BD=8得：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，且$∠AOB=90°$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ 菱形的周长 = 4×AB = 4×5 = 20。
(3)
∵ 菱形的对角线BD平分∠ABC，
∴ $∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2} × 70°=35°$。
∵ 菱形对边平行，AD//BC，
∴ $∠BAD=180°-∠ABC=180°-70°=110°$，
又
∵ 菱形的对角线AC平分∠BAD，
∴ $∠DAC=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2} × 110°=55°$。
【答案】
16；24，20；35°，55°
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，全面考察了菱形边、对角线、内角相关的核心性质，熟练掌握菱形的基本性质即可快速求解，是特殊平行四边形板块的基础巩固题型。
【难度系数】
0.85
这道题围绕菱形的性质设置三个小问，解题时可对应调用菱形的不同性质求解：(1)第一问求周长，可利用菱形四条边长度相等的性质，用已知边长乘4即可得到周长；(2)第二问先求面积，直接套用菱形面积等于对角线乘积一半的公式计算，再求周长时，根据菱形对角线互相垂直平分的性质，得到直角三角形AOB的两条直角边长度，用勾股定理算出菱形边长后乘4即可得周长；(3)第三问求角度，先利用菱形对角线平分一组内角的性质算出∠ABD，再结合菱形对边平行、邻角互补的性质求出∠BAD，最后根据AC平分∠BAD算出∠DAC。
【解析】
(1)
∵ 菱形的四条边长度相等，已知AB=4，
∴ 菱形的周长 = 4×AB = 4×4 = 16。
(2) 菱形的面积等于对角线乘积的一半，代入AC=6，BD=8得：
$S=\frac{1}{2} × AC × BD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
∵ 菱形的对角线互相垂直平分，
∴ $OA=\frac{1}{2}AC=3$，$OB=\frac{1}{2}BD=4$，且$∠AOB=90°$，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
∴ 菱形的周长 = 4×AB = 4×5 = 20。
(3)
∵ 菱形的对角线BD平分∠ABC，
∴ $∠ABD=\frac{1}{2}∠ABC=\frac{1}{2} × 70°=35°$。
∵ 菱形对边平行，AD//BC，
∴ $∠BAD=180°-∠ABC=180°-70°=110°$，
又
∵ 菱形的对角线AC平分∠BAD，
∴ $∠DAC=\frac{1}{2}∠BAD=\frac{1}{2} × 110°=55°$。
【答案】
16；24，20；35°，55°
【知识点】
菱形的性质、勾股定理、平行线的性质
【点评】
本题是菱形性质的基础应用题，全面考察了菱形边、对角线、内角相关的核心性质，熟练掌握菱形的基本性质即可快速求解，是特殊平行四边形板块的基础巩固题型。
【难度系数】
0.85
4. 如图6，菱形ABCD的边长为10，$∠ ABC=60°$，对角线AC，BD相交于点O，求菱形ABCD的面积。
答案
解：
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=10，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵ ∠ABC=60°，AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AC=AB=10，
∴ OA=$\frac{1}{2}$AC=5。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，
∴ BD=2OB=$10\sqrt{3}$。
∴ 菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=10，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵ ∠ABC=60°，AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AC=AB=10，
∴ OA=$\frac{1}{2}$AC=5。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，
∴ BD=2OB=$10\sqrt{3}$。
∴ 菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
解析
【分析】
要求菱形的面积，可利用菱形面积等于对角线乘积的一半的公式计算，因此需要先求出两条对角线AC、BD的长度。首先根据菱形的性质可知四条边相等、对角线互相垂直平分，结合已知∠ABC=60°且AB=BC，可判定△ABC为等边三角形，先得到AC的长度；再在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB的长度，进而得到BD的长度，最后代入面积公式即可求出菱形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=10，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵ ∠ABC=60°，AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AC=AB=10，
∴ OA=$\frac{1}{2}$AC=5。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，
∴ BD=2OB=$10\sqrt{3}$。
∴ 菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
【答案】
$50\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形计算的基础题型，解题核心是灵活运用菱形的性质，结合等边三角形判定和勾股定理求解对角线长度，需熟练掌握菱形面积的计算方法，根据题目条件灵活选择解题路径。
【难度系数】
0.75
要求菱形的面积，可利用菱形面积等于对角线乘积的一半的公式计算，因此需要先求出两条对角线AC、BD的长度。首先根据菱形的性质可知四条边相等、对角线互相垂直平分，结合已知∠ABC=60°且AB=BC，可判定△ABC为等边三角形，先得到AC的长度；再在Rt△AOB中利用勾股定理求出OB的长度，进而得到BD的长度，最后代入面积公式即可求出菱形的面积。
【解析】
∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ AB=BC=10，AC⊥BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，OB=OD=$\frac{1}{2}$BD。
∵ ∠ABC=60°，AB=BC，
∴ △ABC是等边三角形，
∴ AC=AB=10，
∴ OA=$\frac{1}{2}$AC=5。
在Rt△AOB中，由勾股定理得：
OB=$\sqrt{AB^2 - OA^2}=\sqrt{10^2 - 5^2}=5\sqrt{3}$，
∴ BD=2OB=$10\sqrt{3}$。
∴ 菱形ABCD的面积$S=\frac{1}{2}×AC×BD=\frac{1}{2}×10×10\sqrt{3}=50\sqrt{3}$。
【答案】
$50\sqrt{3}$
【知识点】
菱形的性质，等边三角形的判定，勾股定理
【点评】
本题是特殊平行四边形计算的基础题型，解题核心是灵活运用菱形的性质，结合等边三角形判定和勾股定理求解对角线长度，需熟练掌握菱形面积的计算方法，根据题目条件灵活选择解题路径。
【难度系数】
0.75
1. 下列说法正确的是 （）
A.对角线相等的四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
A.对角线相等的四边形是菱形
B.四条边相等的四边形是菱形
C.一组邻边相等的四边形是菱形
D.对角线互相垂直的四边形是菱形
答案
B
解析
【分析】
这道题考查菱形的判定定理，解题时需要先明确菱形的各个判定条件，再逐一核对每个选项的表述是否满足判定的完整要求，注意区分普通四边形和平行四边形的判定前提，避免遗漏条件导致判断失误。解题时先回忆菱形的常用判定规则：1.四条边相等的四边形是菱形；2.一组邻边相等的平行四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直平分的四边形是菱形），再逐一排查选项即可。
【解析】
结合菱形的判定定理逐一分析选项：
A选项：对角线相等的四边形不一定是菱形，例如矩形的对角线相等，但矩形不属于菱形，菱形的对角线性质为互相垂直且平分，不一定相等，因此A错误；
B选项：根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，该表述符合判定的完整要求，因此B正确；
C选项：只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，普通四边形仅满足一组邻边相等的条件，无法判定为菱形，因此C错误；
D选项：只有对角线互相垂直的平行四边形（或对角线互相垂直且平分的四边形）才是菱形，普通四边形仅满足对角线互相垂直的条件，无法判定为菱形，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对菱形判定定理的记忆和理解，解题的关键是牢记菱形判定的完整条件，切勿遗漏“平行四边形”这个前提，也不要混淆其他特殊四边形的性质。
【难度系数】
0.8
这道题考查菱形的判定定理，解题时需要先明确菱形的各个判定条件，再逐一核对每个选项的表述是否满足判定的完整要求，注意区分普通四边形和平行四边形的判定前提，避免遗漏条件导致判断失误。解题时先回忆菱形的常用判定规则：1.四条边相等的四边形是菱形；2.一组邻边相等的平行四边形是菱形；3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形（或对角线互相垂直平分的四边形是菱形），再逐一排查选项即可。
【解析】
结合菱形的判定定理逐一分析选项：
A选项：对角线相等的四边形不一定是菱形，例如矩形的对角线相等，但矩形不属于菱形，菱形的对角线性质为互相垂直且平分，不一定相等，因此A错误；
B选项：根据菱形的判定定理，四条边相等的四边形是菱形，该表述符合判定的完整要求，因此B正确；
C选项：只有一组邻边相等的平行四边形才是菱形，普通四边形仅满足一组邻边相等的条件，无法判定为菱形，因此C错误；
D选项：只有对角线互相垂直的平行四边形（或对角线互相垂直且平分的四边形）才是菱形，普通四边形仅满足对角线互相垂直的条件，无法判定为菱形，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
菱形的判定定理
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对菱形判定定理的记忆和理解，解题的关键是牢记菱形判定的完整条件，切勿遗漏“平行四边形”这个前提，也不要混淆其他特殊四边形的性质。
【难度系数】
0.8
2. 如图7,在平行四边形ABCD中,AB=4,BC=6,将线段AB水平向右平移a个单位长度得到线段EF,若四边形ECDF为菱形,则a的值为 ()
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
【分析】
首先梳理已知条件：平行四边形ABCD中，对边平行且相等，可得CD=AB=4，BC=6，AB//CD、BC//AD；再根据平移的性质，AB平移得到EF，则EF与AB平行且相等，平移距离a等于对应点连线BE的长度。接下来先判定四边形ECDF的形状：由EF//AB、AB//CD可推出EF//CD，又EF=AB=CD，因此四边形ECDF是平行四边形。根据菱形的判定定理，邻边相等的平行四边形是菱形，因此只需满足EC=CD，代入线段长度列等式即可求出a的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=4，AB//CD
∵线段AB向右平移a个单位长度得到EF
∴EF=AB=4，EF//AB，BE=a
∴EF//CD，EF=CD
∴四边形ECDF是平行四边形
若四边形ECDF为菱形，则需EC=CD=4
又
∵EC=BC-BE=6-a
∴6-a=4
解得a=2
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平移、平行四边形、菱形的知识点结合考察，解题的关键是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形邻边相等的性质建立等式计算。
【难度系数】
0.7
首先梳理已知条件：平行四边形ABCD中，对边平行且相等，可得CD=AB=4，BC=6，AB//CD、BC//AD；再根据平移的性质，AB平移得到EF，则EF与AB平行且相等，平移距离a等于对应点连线BE的长度。接下来先判定四边形ECDF的形状：由EF//AB、AB//CD可推出EF//CD，又EF=AB=CD，因此四边形ECDF是平行四边形。根据菱形的判定定理，邻边相等的平行四边形是菱形，因此只需满足EC=CD，代入线段长度列等式即可求出a的值。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴CD=AB=4，AB//CD
∵线段AB向右平移a个单位长度得到EF
∴EF=AB=4，EF//AB，BE=a
∴EF//CD，EF=CD
∴四边形ECDF是平行四边形
若四边形ECDF为菱形，则需EC=CD=4
又
∵EC=BC-BE=6-a
∴6-a=4
解得a=2
【答案】
B
【知识点】
平行四边形的性质；平移的性质；菱形的判定
【点评】
本题是基础的几何综合题，将平移、平行四边形、菱形的知识点结合考察，解题的关键是先确定四边形ECDF为平行四边形，再利用菱形邻边相等的性质建立等式计算。
【难度系数】
0.7
