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3. 小惠自编一题:“如图8,在四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AC⊥BD,OB=OD。求证:四边形ABCD是菱形。”她将自己的证明过程与同学小洁交流。
小惠:
证明:∵ AC⊥BD,OB=OD,
∴ AC垂直平分BD。
∴ AB=AD,CB=CD。
∴ 四边形ABCD是菱形。
小洁:
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明。
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明。
小惠:
证明:∵ AC⊥BD,OB=OD,
∴ AC垂直平分BD。
∴ AB=AD,CB=CD。
∴ 四边形ABCD是菱形。
小洁:
这个题目还缺少条件,需要补充一个条件才能证明。
若赞同小惠的证法,请在第一个方框内打“√”;若赞成小洁的说法,请你补充一个条件,并证明。
答案
解：赞成小洁的说法，补充条件：$OA=OC$（答案不唯一）。
证明：
$\because OB=OD$，$OA=OC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
证明：
$\because OB=OD$，$OA=OC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$是平行四边形。
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore$ 平行四边形$ABCD$是菱形。
解析
【分析】
首先明确菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。首先判断小惠的证法：已知$AC⊥BD$，$OB=OD$，仅能推出$AC$垂直平分$BD$，得到$AB=AD$、$CB=CD$，既无法证明四边形$ABCD$是平行四边形，也不能证明四条边全部相等，因此无法直接判定是菱形，小洁的说法正确。我们可以补充条件让四边形先满足平行四边形的判定要求，例如补充$OA=OC$，即可结合已知条件先判定为平行四边形，再结合$AC⊥BD$的条件证明是菱形。
【解析】
赞成小洁的说法，补充条件：$OA=OC$（答案不唯一）。
证明：
$\because OB=OD$，$OA=OC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的对角线互相平分，即四边形$ABCD$是平行四边形。
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore$ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
赞成小洁的说法，补充条件为$OA=OC$（答案不唯一），证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，需要准确区分平行四边形和菱形的判定条件，避免出现“对角线垂直的四边形就是菱形”的错误认知，解题时要严格按照定理要求的条件逐步推导。
【难度系数】
0.7
首先明确菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形；一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形。首先判断小惠的证法：已知$AC⊥BD$，$OB=OD$，仅能推出$AC$垂直平分$BD$，得到$AB=AD$、$CB=CD$，既无法证明四边形$ABCD$是平行四边形，也不能证明四条边全部相等，因此无法直接判定是菱形，小洁的说法正确。我们可以补充条件让四边形先满足平行四边形的判定要求，例如补充$OA=OC$，即可结合已知条件先判定为平行四边形，再结合$AC⊥BD$的条件证明是菱形。
【解析】
赞成小洁的说法，补充条件：$OA=OC$（答案不唯一）。
证明：
$\because OB=OD$，$OA=OC$，
$\therefore$ 四边形$ABCD$的对角线互相平分，即四边形$ABCD$是平行四边形。
又$\because AC⊥ BD$，
$\therefore$ 对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即平行四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
赞成小洁的说法，补充条件为$OA=OC$（答案不唯一），证明过程如上。
【知识点】
平行四边形的判定、菱形的判定、线段垂直平分线的性质
【点评】
本题考查特殊四边形的判定，需要准确区分平行四边形和菱形的判定条件，避免出现“对角线垂直的四边形就是菱形”的错误认知，解题时要严格按照定理要求的条件逐步推导。
【难度系数】
0.7
1. (2024·青海)如图9,在$Rt△ ABC$中,D是AC的中点,$∠ BDC=60°$,$AC=6$,则BC的长是 ()
A.3
B.6
C.$\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
A.3
B.6
C.$\sqrt{3}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
A
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先题目给出Rt△ABC，且D是斜边AC的中点，可优先联想到直角三角形斜边中线的性质，得到BD与DC的长度相等；再结合已知∠BDC=60°，可判定△BDC的形状，进而求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，D是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BD=DC=\frac{1}{2}AC$。
∵ $AC=6$，
∴ $BD=DC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵ $∠BDC=60°$，
∴ △BDC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $BC=DC=3$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，核心是将直角三角形的性质与等边三角形的判定结合应用，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，快速找到边与角的关系。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先题目给出Rt△ABC，且D是斜边AC的中点，可优先联想到直角三角形斜边中线的性质，得到BD与DC的长度相等；再结合已知∠BDC=60°，可判定△BDC的形状，进而求出BC的长度。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，D是AC的中点，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$BD=DC=\frac{1}{2}AC$。
∵ $AC=6$，
∴ $BD=DC=\frac{1}{2}×6=3$。
又
∵ $∠BDC=60°$，
∴ △BDC是有一个角为60°的等腰三角形，即等边三角形，
∴ $BC=DC=3$。
【答案】
A
【知识点】
直角三角形斜边中线的性质；等边三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础题，核心是将直角三角形的性质与等边三角形的判定结合应用，解题的关键是熟练掌握相关几何定理，快速找到边与角的关系。
【难度系数】
0.8
2.(2024·成都)如图10,在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,则下列结论一定正确的是 ()
A.$AB=AD$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ACB=∠ ACD$
A.$AB=AD$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AC=BD$
D.$∠ ACB=∠ ACD$
答案
C
解析
【分析】
要解决这道题，需结合矩形的性质逐一判断每个选项：首先回忆矩形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，还有自身独有的性质：四个角都是直角、对角线相等。再区分矩形和菱形、正方形等其他特殊平行四边形的性质差异，逐一排除错误选项即可找到正确结论。
【解析】
我们根据矩形的性质逐个分析选项：
A. 矩形的对边相等，但邻边不一定相等，仅当矩形是正方形时才有$AB=AD$，该结论不是一定成立，故A错误；
B. 矩形的对角线互相平分但不互相垂直，仅当矩形是正方形时才有$AC ⊥ BD$，该结论不是一定成立，故B错误；
C. 对角线相等是矩形的核心性质之一，任意矩形的对角线都满足$AC=BD$，该结论一定成立，故C正确；
D. 矩形的对角线不平分内角，仅当矩形是正方形时才有$∠ ACB=∠ ACD$，该结论不是一定成立，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；特殊平行四边形的性质区分
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形的基本性质，以及不同特殊平行四边形的性质差异，熟练掌握各类特殊四边形的性质即可快速判断正误。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，需结合矩形的性质逐一判断每个选项：首先回忆矩形是特殊的平行四边形，既具备平行四边形的所有性质，还有自身独有的性质：四个角都是直角、对角线相等。再区分矩形和菱形、正方形等其他特殊平行四边形的性质差异，逐一排除错误选项即可找到正确结论。
【解析】
我们根据矩形的性质逐个分析选项：
A. 矩形的对边相等，但邻边不一定相等，仅当矩形是正方形时才有$AB=AD$，该结论不是一定成立，故A错误；
B. 矩形的对角线互相平分但不互相垂直，仅当矩形是正方形时才有$AC ⊥ BD$，该结论不是一定成立，故B错误；
C. 对角线相等是矩形的核心性质之一，任意矩形的对角线都满足$AC=BD$，该结论一定成立，故C正确；
D. 矩形的对角线不平分内角，仅当矩形是正方形时才有$∠ ACB=∠ ACD$，该结论不是一定成立，故D错误。
综上，选C。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；特殊平行四边形的性质区分
【点评】
本题属于基础题，重点考查矩形的基本性质，以及不同特殊平行四边形的性质差异，熟练掌握各类特殊四边形的性质即可快速判断正误。
【难度系数】
0.9
3. 如图11,在矩形ABCD中,BD=10 cm,E,F分别是边AB,BC的中点,BD,EF交于点G,若G是EF的中点,则BG的长为 cm。
答案
$\boldsymbol{2.5}$（或$\frac{5}{2}$）
解析
【分析】
首先回忆矩形的性质，矩形对角线相等且互相平分，因此可以先求出对角线BD一半的长度；再观察到E、F是AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到EF与AC的平行关系；最后结合平行线分线段成比例的性质，由E是AB中点推导得出G是BO的中点，即可求出BG的长度。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 对角线相等且互相平分，即AC=BD=10cm，$BO=\frac{1}{2}BD=5\mathrm{cm}$。
∵ E、F分别是AB、BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得$EF// AC$。
在△ABO中，E是AB中点，且$EG// AO$（由$EF// AC$可得），
∴ G是BO的中点（三角形中位线逆定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边），
∴ $BG=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{cm}$（或$\frac{5}{2}\mathrm{cm}$）。
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$（或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$）
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，将矩形性质和三角形中位线知识结合考查，解题的关键是利用中位线的平行关系确定G点的位置，需要熟练掌握常见几何图形的基本性质并能灵活应用。
【难度系数】
0.7
首先回忆矩形的性质，矩形对角线相等且互相平分，因此可以先求出对角线BD一半的长度；再观察到E、F是AB、BC的中点，可联想到三角形中位线定理，得到EF与AC的平行关系；最后结合平行线分线段成比例的性质，由E是AB中点推导得出G是BO的中点，即可求出BG的长度。
【解析】
设矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 对角线相等且互相平分，即AC=BD=10cm，$BO=\frac{1}{2}BD=5\mathrm{cm}$。
∵ E、F分别是AB、BC的中点，
∴ EF是△ABC的中位线，根据三角形中位线定理可得$EF// AC$。
在△ABO中，E是AB中点，且$EG// AO$（由$EF// AC$可得），
∴ G是BO的中点（三角形中位线逆定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线平分第三边），
∴ $BG=\frac{1}{2}BO=\frac{1}{2}×5=2.5\mathrm{cm}$（或$\frac{5}{2}\mathrm{cm}$）。
【答案】
$\boldsymbol{2.5}$（或$\boldsymbol{\frac{5}{2}}$）
【知识点】
矩形的性质；三角形中位线定理；平行线分线段成比例
【点评】
本题是几何基础综合题，将矩形性质和三角形中位线知识结合考查，解题的关键是利用中位线的平行关系确定G点的位置，需要熟练掌握常见几何图形的基本性质并能灵活应用。
【难度系数】
0.7
4. 在矩形ABCD中，O为对角线AC，BD的交点，且AB=AO，则∠ACB=。
答案
$\boldsymbol{30°}$
解析
【分析】
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，由此可得对角线交点到各顶点的距离相等，即AO=BO。结合题目给出的AB=AO，可判断△ABO是等边三角形，得到∠BAC的度数；再利用矩形四个内角都是直角的性质，在Rt△ABC中根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$∠ ABC=90°$
∴OA=OB
又
∵AB=AO
∴AB=AO=OB
∴△AOB是等边三角形
∴$∠ BAC=60°$
在Rt△ABC中，$∠ ACB=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是结合矩形对角线的性质判断出△AOB为等边三角形，再结合直角三角形的角度关系求解，主要考查对基础几何性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆矩形的性质：矩形的对角线相等且互相平分，由此可得对角线交点到各顶点的距离相等，即AO=BO。结合题目给出的AB=AO，可判断△ABO是等边三角形，得到∠BAC的度数；再利用矩形四个内角都是直角的性质，在Rt△ABC中根据直角三角形两锐角互余即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形
∴AC=BD，$OA=OC=\frac{1}{2}AC$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD$，$∠ ABC=90°$
∴OA=OB
又
∵AB=AO
∴AB=AO=OB
∴△AOB是等边三角形
∴$∠ BAC=60°$
在Rt△ABC中，$∠ ACB=90°-∠ BAC=90°-60°=30°$
【答案】
$30°$
【知识点】
矩形的性质；等边三角形的判定与性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题，解题的突破口是结合矩形对角线的性质判断出△AOB为等边三角形，再结合直角三角形的角度关系求解，主要考查对基础几何性质的理解和灵活运用能力。
【难度系数】
0.8
