1. 用二分法缩根时,若函数$f(x)$在范围$a,b$满足$f(a)＞0,f(b)＜0$,取平均数$m=\frac{a+b}{2}$.
若$f(m)＞0$,则根所在的区间是()

A.$(a,m)$
B.$(m,b)$
C.$(a,b)$
D.无法确定

1. B

【分析】
二分法缩小区间的核心依据是：若连续函数在某区间的两个端点处函数值符号相反（一正一负），则方程$f(x)=0$的根就在这个区间内。解题时只需比对各点函数值的符号，找到函数值异号的两个端点，即可确定根所在的新区间。本题已知$f(a)＞0$，$f(b)＜0$，中点$m$的函数值$f(m)＞0$，可发现$f(m)$与$f(b)$符号相反，因此根就在$m$和$b$构成的区间内。
【解析】
根据二分法的判断规则：连续函数在区间两端点的函数值异号时，方程的根在该区间内。
已知$f(a)＞0$，$f(b)＜0$，中点$m=\frac{a+b}{2}$，且$f(m)＞0$，
可得$f(m) · f(b) ＜ 0$，即$m$和$b$处的函数值异号，
因此根所在的区间是$(m,b)$。
故选：B
【答案】
B
【知识点】
1. 二分法
2. 根的存在判定
【点评】
本题是二分法的基础应用题，核心是理解二分法缩根时需始终保证区间两端点函数值异号的原则，掌握基础概念即可快速解题。
【难度系数】
0.8

2. 如图,以$(2,5)$为顶点的二次函数$y=ax^2+bx+c$的图象与$x$轴负半轴交于$A$点,则一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是()

A.$2＜x＜3$
B.$1＜x＜2$
C.$4＜x＜5$
D.$5＜x＜6$

2. D

【分析】
二次函数图象与x轴交点的横坐标就是对应一元二次方程的解，且二次函数图象关于过顶点且平行于y轴的直线对称。本题已知二次函数顶点为$(2,5)$，首先确定对称轴为直线$x=2$，再从图象读取负半轴交点的横坐标范围，最后利用对称性推导正半轴交点的横坐标范围，也就是方程正数解的范围。
【解析】
解：
∵二次函数$y=ax^2+bx+c$的顶点为$(2,5)$，
∴该函数图象的对称轴为直线$x=2$。
设图象与x轴负半轴交点A的横坐标为$x_1$，正半轴交点的横坐标为$x_2$，根据二次函数的对称性可得：$\frac{x_1+x_2}{2}=2$，即$x_2=4-x_1$。
由图象可知，负半轴交点A的横坐标范围是$-2＜x_1＜-1$，代入$x_2=4-x_1$计算：
当$x_1＞-2$时，$x_2＜4-(-2)=6$；当$x_1＜-1$时，$x_2＞4-(-1)=5$。
因此正半轴交点横坐标范围为$5＜x_2＜6$，即一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的正数解的范围是$5＜x＜6$。
【答案】
D
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题解题核心是利用二次函数的对称性建立两个交点横坐标的关联，结合图象读取已知交点的取值范围，即可推导出未知交点的范围，需要具备一定的读图分析能力和代数式变形能力。
【难度系数】
0.7

3. 二次函数$y=2x^2+4x-1$的图象如图所示，若方程$2x^2+4x-1=0$的一个近似根是$x=-2.2$，则方程的另一个近似根为.(结果精确到0.1)

3. 0.2

【分析】
要解决本题，首先回忆二次函数的性质：二次函数的图象是抛物线，与x轴的两个交点关于抛物线的对称轴对称，而一元二次方程的根就是对应二次函数图象与x轴交点的横坐标。所以解题步骤为：①先求出二次函数的对称轴；②利用两个根关于对称轴对称的特点，已知一个根即可计算出另一个根。
【解析】
对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，其对称轴为直线$x=-\frac{b}{2a}$。
在二次函数$y=2x^2+4x-1$中，$a=2$，$b=4$，代入得对称轴为：
$x=-\frac{4}{2×2}=-1$
方程$2x^2+4x-1=0$的根是二次函数$y=2x^2+4x-1$图象与x轴交点的横坐标，两个交点关于对称轴$x=-1$对称，即两个根到$x=-1$的距离相等。
已知一个近似根为$x=-2.2$，它到对称轴$x=-1$的距离为：$-1 - (-2.2)=1.2$
因此另一个近似根为：$-1 +1.2=0.2$
【答案】
0.2
【知识点】
二次函数的对称性；二次函数与一元二次方程的关系
【点评】
本题不需要解方程，利用二次函数的对称性即可快速求解，解题的关键是掌握二次函数图象与x轴的交点关于对称轴对称的性质，能简化计算过程。
【难度系数】
0.8

4.利用二次函数图象求一元二次方程$x^2+x-1=0$的近似根.

4. x₁ = - 1.6, x₂ = 0.6

【分析】
解题的核心是利用二次函数与一元二次方程的对应关系：一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根就是对应二次函数$y=ax^2+bx+c$图象与x轴交点的横坐标。解题步骤如下：1. 先确定本题对应的二次函数为$y=x^2+x-1$；2. 结合二次函数开口方向、对称轴确定根的大致分布区间；3. 在区间内逐一代入数值计算函数值，找到函数值最接近0时对应的x值，保留1位小数即为近似根。
【解析】
解：设二次函数$y=x^2+x-1$，则一元二次方程$x^2+x-1=0$的根就是该函数图象与x轴交点的横坐标。
1. 确定函数基本性质：该函数开口向上，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}=-0.5$，顶点纵坐标为$y=(-0.5)^2-0.5-1=-1.25＜0$，因此函数图象与x轴有两个交点，分别在对称轴$x=-0.5$的左右两侧。
2. 估算右侧根：当$x=0$时，$y=-1＜0$；当$x=1$时，$y=1＞0$，说明右侧根在0~1之间。代入计算：
$x=0.6$时，$y=0.6^2+0.6-1=-0.04$，接近0；
$x=0.7$时，$y=0.7^2+0.7-1=0.19$，离0更远，因此右侧近似根为$x\approx0.6$。
3. 估算左侧根：当$x=-1$时，$y=-1＜0$；当$x=-2$时，$y=1＞0$，说明左侧根在-2~-1之间。代入计算：
$x=-1.6$时，$y=(-1.6)^2-1.6-1=-0.04$，接近0；
$x=-1.7$时，$y=(-1.7)^2-1.7-1=0.19$，离0更远，因此左侧近似根为$x\approx-1.6$。
【答案】
$x_1\approx-1.6$，$x_2\approx0.6$
【知识点】
二次函数与一元二次方程的联系、二次函数图象性质、近似根估算
【点评】
本题考查数形结合思想的应用，解题关键是建立方程的根与函数图象和x轴交点横坐标的对应关系，通过试值逐步缩小根所在的区间即可得到近似结果，熟练掌握二次函数的基本性质能提高解题效率。
【难度系数】
0.7

5. (1)请在坐标系中画出二次函数$y = x^2 -2x -1$的大致图象.
(2)根据方程的根与函数图象之间的关系,将方程$x^2 -2x -1 =0$的根在图上近似的表示出来;(描点)
(3)观察图象,直接写出方程$x^2 -2x -1 =0$的根.(精确到0.1)

5. (1) 略;(2) 略;(3) x₁ ≈ - 0.4, x₂ ≈ 2.4

【分析】
解题思路如下：1. 画二次函数图象：先将函数解析式配方得到顶点式，确定顶点坐标和对称轴，再选取对称的几个特殊点计算对应函数值，描点后用平滑曲线连接即可得到大致图象；2. 表示方程的根：根据一元二次方程的根与对应二次函数图象的关系，方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标，找到图象与x轴的两个交点描点即可；3. 求近似根：观察图象中两个交点的横坐标，结合刻度估算出精确到0.1的数值即可。
【解析】
(1) 先将二次函数配方：$y=x^2-2x-1=(x-1)^2-2$，可得函数顶点坐标为$(1,-2)$，对称轴为直线$x=1$；选取特殊点计算函数值：当$x=-1$时$y=2$，$x=0$时$y=-1$，$x=2$时$y=-1$，$x=3$时$y=2$；在坐标系中描出上述点，用平滑曲线顺次连接，即可得到二次函数的大致图象。
(2) 方程$x^2-2x-1=0$的根对应二次函数$y=x^2-2x-1$的图象与$x$轴交点的横坐标，在图象上找到与$x$轴相交的两个点，分别描点即可。
(3) 观察所画图象，两个交点的横坐标分别在$-0.4$和$2.4$附近，因此方程$x^2-2x-1=0$的根约为$x_1\approx-0.4$，$x_2\approx2.4$。
【答案】
(1) 略；(2) 略；(3) $x_1\approx -0.4$，$x_2\approx 2.4$
【知识点】
二次函数的图象画法，二次函数与一元二次方程的关系，图象法求方程近似根
【点评】
本题围绕二次函数与一元二次方程的联系展开，既考查了二次函数图象的绘制方法，又考查了数形结合思想的应用，掌握二次函数顶点式的转化、理解函数图象与对应方程根的对应关系是解题的核心。
【难度系数】
0.7