8. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC,AF ⊥ BC$,垂足为$F$,$AB$的垂直平分线分别交$AB$,$AC$于$D$,$E$两点,连接$BE$,$EF$.若$BE ⊥ AC$,则$∠ EFC$的度数为 （ ）
A. $35°$
B. $40°$
C. $45°$
D. $60°$

C

9. 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AB = 10$, $BD ⊥ AD$. 若将 $△ BCD$ 沿 $BD$ 折叠, 点 $C$ 与边 $AB$ 的中点 $E$ 恰好重合, 则四边形 $BCDE$ 的周长为______．

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10. * 如图,在$△ ABC$中,D是BC上一点,$AB=AD$,E,F分别是AC,BD的中点.若$EF=2$,则AC的长是______.

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11. 如图,在$△ ABC$中,$CF ⊥ AB$于点$F$,$BE ⊥ AC$于点$E$,$M$为$BC$的中点,连接$MF$,$ME$.当$△ ABC$满足______时(添加一个合适的条件),$△ MEF$是等边三角形.

$\angle A = 60^{\circ}$

12. 新素养 模型观念
（1）如图①，P 是$∠ AOB$内部任意一点，$PM ⊥ OA$，$PN ⊥ OB$，垂足分别是$M,N$，$D$是$OP$的中点，连接$DM$，$DN$.求证：$∠ MDN=2∠ MON$；
（2）如图②，在$△ ABC$中，$CD,BE$分别是边$AB,AC$上的高，$M$是边$BC$的中点.连接$DM,ME$，判断$∠ DME$与$∠ A$之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图③，将图②的锐角三角形$ABC$变为钝角三角形$ABC$，其余条件不变，直接写出$∠ DME$与$∠ BAC$之间的数量关系.

​$(1)$​证明：∵​$PM\perp OA，$​∴​$∠OMP = 90°$​在​$Rt\triangle OMP $​中，​$D$​是​$OP $​的中点∴​$DM = DO=\frac 12OP$​∴​$∠DMO = ∠DOM$​又∵​$∠MDP = ∠DMO+∠DOM$​∴​$∠MDP = 2∠MOP$​同理，在​$Rt\triangle ONP $​中，可得​$∠NDP = 2∠NOP$​∴​$∠MDN = ∠MDP+∠NDP $​​$= 2∠MOP + 2∠NOP=2∠MON$​​$(2)$​解：​$∠DME = 180°-2∠A，$​理由如下：∵​$CD，$​​$BE$​分别是边​$AB，$​​$AC$​上的高，​$M$​是​$BC$​的中点∴​$DM = BM = CM=\frac 12BC，$​​$ME = BM = CM=\frac 12BC$​即​$DM = ME = BM = CM$​∴​$∠MDB = ∠ABC，$​​$∠MEC = ∠ACB$​又∵​$∠BMD + ∠MDB + ∠ABC = 180°，$​​$∠CME+∠MEC+∠ACB = 180°$​∴​$∠BMD + ∠CME$​​$=(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB)$​​$=360°-2(∠ABC + ∠ACB)$​∵​$∠ABC+∠ACB = 180°-∠A$​∴​$∠BMD + ∠CME = 2∠A$​又∵​$∠BMD + ∠CME+∠DME = 180°$​∴​$∠DME = 180°-2∠A$​​$(3)∠DME = 2∠BAC - 180°$​

13. (2025·江苏泰州期中)如图，$∠ MON = 90°$，$\mathrm{Rt}△ ABC$的顶点$A,B$分别在$OM$，$ON$上，$∠ ACB = 90°$，点$A$从点$O$出发沿射线$OM$运动，同时点$B$从点$O$出发沿射线$ON$运动，连接$OC$.若$AB = 5$，则$OC$的长的最大值是______.

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