9. 如图,在$△ ABC$中,$CE$平分$∠ ACB$,$CF$平分$∠ ACD$,且$EF // BC$,交$AC$于点$M$.若$B,C,D$三点在一条直线上,且$CM=7$,则$CE^2 + CF^2 =$______.

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10. 新素养推理能力（2025·江苏宿迁模拟）如图，$∠ MON = 90°$. 在$△ ABC$中，$AC=BC=13$，$AB=10$，$△ ABC$的顶点$A,B$分别在$OM,ON$上，当点$B$在边$ON$上运动时，点$A$也同时在$OM$上运动，$△ ABC$的形状始终保持不变. 在运动的过程中，点$C$到点$O$的最小距离为$\underline{\hspace{3em}}$.

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11. (2025·江苏扬州模拟)如图，$△ ACB$和$△ ECD$都是等腰直角三角形，$∠ ACB = ∠ ECD = 90°$，$D$为边$AB$上一点，连接$AE$. 求证：
(1) $△ ACE ≌ △ BCD$；
(2) $2CD^2 = AD^2 + BD^2$.

证明：​$(1)$​∵​$\triangle ACB$​和​$\triangle ECD$​都是等腰直角三角形，​$∠ACB=∠ECD = 90°$​∴​$AC = BC，$​​$CE = CD，$​​$∠ECD-∠ACD=∠ACB-∠ACD，$​即​$∠ACE=∠BCD$​∴​$\triangle ACE≌\triangle BCD(S AS)$​​$ (2)$​∵​$\triangle ACB$​是等腰直角三角形∴​$∠B=∠BAC = 45°$​​$ $​由​$(1)，$​得​$\triangle ACE≌\triangle BCD$​∴​$AE = BD，$​​$∠CAE=∠B = 45°$​∴​$∠DAE=∠CAE+∠BAC = 90°，$​即​$\triangle ADE$​是直角三角形 由勾股定理，得​$AD^2+AE^2=DE^2$​∴​$AD^2+BD^2=DE^2$​​$ $​在等腰直角三角形​$ECD$​中，​$CE = CD$​由勾股定理，得​$DE^2=CD^2+CE^2=2CD^2$​∴​$2CD^2=AD^2+BD^2$​

12. * (2023·山东日照)已知直角三角形的三边长a,b,c满足c＞a＞b,分别以a,b,c为边长作三个正方形,把两个较小的正方形放置在最大的正方形内部如图所示.设三个正方形无重叠部分的面积为$S_1$,均重叠部分的面积为$S_2$,则
( )
A. $S_1＞S_2$
B. $S_1＜S_2$
C. $S_1=S_2$
D. $S_1,S_2$的大小无法确定

C

13. 如图，A，B 是公路 $ l $（$ l $ 为东西走向）同旁的两个村庄，A 村到公路 $ l $ 的距离 $ AC = 2 \ \mathrm{km} $，B 村到公路 $ l $ 的距离 $ BD = 4 \ \mathrm{km} $，$ CD = 8 \ \mathrm{km} $．
（1）求 A，B 两村之间的距离；
（2）为了方便运输两村的垃圾，现计划在公路边建一个垃圾中转站 $ M $，要求该垃圾中转站到两村的距离之和最小，并求距离之和的最小值；
（3）为方便村民出行，计划在公路边新建一个公共汽车站 $ P $，要求该站到两村的距离相等，请用无刻度的直尺和圆规在图中作出点 $ P $ 的位置（保留作图痕迹，并简要写明作法）．

解：​$(1)$​如图​$①，$​过点​$A$​作​$AE//l，$​交​$BD$​于点​$E，$​连接​$AB$​∵​$AC\perp l，$​​$BD\perp l$​∴​$AE\perp BD，$​四边形​$ACDE$​是长方形∵​$AC = 2\ \mathrm {km}，$​​$BD = 4\ \mathrm {km}，$​​$CD = 8\ \mathrm {km}$​∴​$DE = AC = 2\ \mathrm {km}，$​​$AE = CD = 8\ \mathrm {km}$​∴​$BE = BD - DE = 2\ \mathrm {km}$​在​$Rt\triangle ABE$​中，由勾股定理，得​$AB=\sqrt {AE^2+BE^2}=\sqrt {68}\mathrm {km}$​∴​$A，$​​$B$​两村之间的距离是​$\sqrt {68}\mathrm {km}$​​$(2)$​如图​$②，$​作点​$A$​关于直线​$l$​的对称点​$A'，$​连接​$A'B$​交直线​$l$​于点​$M，$​则​$M$​即为所求的点，且距离之和的最小值即为线段​$A'B$​的长过点​$A'$​作​$A'F\perp BD，$​交​$BD$​的延长线于点​$F$​∴​$BF = BD + DF = BD + A'C $​​$= BD + AC = 4 + 2=6(\mathrm {km})，$​​$A'F = CD = 8\ \mathrm {km}$​在​$Rt\triangle A'BF $​中，由勾股定理，得​$A'B=\sqrt {A'F^2+BF^2} = 10\ \mathrm {km}$​∴距离之和的最小值为​$10\ \mathrm {km}$​​$(3)$​如图​$③，$​连接​$AB，$​作​$AB$​的垂直平分线​$GH，$​交直线​$l$​于点​$P，$​连接​$P A，$​​$P B，$​则​$P A = PB$​∴点​$P $​即为所作