登录
1. 阿拉伯数学家花拉子米在其著作《代数学》中提到构造图形来寻找某个一元二次方程的解法:先构造边长为$ x $的正方形$ ABCD $，再分别以$ BC、CD $为边作另一边长5的长方形，最后得到四边形$ AIFH $是面积为64的正方形，据此能列出关于$ x $的一元二次方程是（ ）
A. $ x^{2}+10x=25 $
B. $ x^{2}+10x=64 $
C. $ x^{2}+10x=39 $
D. $ x^{2}+10x=89 $
A. $ x^{2}+10x=25 $
B. $ x^{2}+10x=64 $
C. $ x^{2}+10x=39 $
D. $ x^{2}+10x=89 $
答案
C
2. 某农场去年种植西瓜5亩，总产量为10 000 kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进了新品种，使总产量增长到30 000 kg. 已知种植面积的增长率是平均亩产量增长率的2倍，则平均亩产量的增长率为$\underline{\hspace{5em}}$.
答案
$50\%$
3. 九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A、B两组，在每一组中进行单循环的小组赛(每两个班之间比赛一场)，再从每组中选出前4名进行比赛，最后进行决赛得出名次.若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有______个班.
答案
14
4. 某商场将进价为45元的某种服装以65元售出，平均每天可售30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：每件降价1元，每天可多售5件.如果每天要盈利800元，那么每件应降价______元.
答案
10
5. 一款服装每件进价为 80 元,当售价为 120 元时,每天可售出 20 件,为了扩大销售量,增加利润,经市场调查发现,如果每件服装降价 1 元,那么平均每天可多售出 2 件.
(1)设每件服装降价 $ x $ 元,则每天销售量增加 ______ 件,每件服装盈利 ______ 元.
(用含 $ x $ 的代数式表示)
(2)在让利于顾客的情况下,每件服装降价多少元时,商家平均每天能盈利 1 200 元?
(3)商家能达到平均每天盈利 1 500 元吗?请说明理由.
(1)设每件服装降价 $ x $ 元,则每天销售量增加 ______ 件,每件服装盈利 ______ 元.
(用含 $ x $ 的代数式表示)
(2)在让利于顾客的情况下,每件服装降价多少元时,商家平均每天能盈利 1 200 元?
(3)商家能达到平均每天盈利 1 500 元吗?请说明理由.
答案
$2x$
;
$(40 - x)$
;
解：
(2)设每件服装降价$x$元，则每件服装的销售利润为$(40 - x)$元，平均每天的销售量为$(20 + 2x)$件。 根据题意，得$(40 - x)(20 + 2x)=1200，$ 整理，得$x^{2}-30x + 200 = 0，$ 因式分解得$(x - 10)(x - 20)=0，$ 解得$x_{1}=10，$$x_{2}=20。$ 又$\because$需要让利于顾客，$\therefore x = 20。$ 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元。
(3)设每件服装降价$y$元，则每件的销售利润为$(120 - y - 80)$元，平均每天的销售量为$(20 + 2y)$件。 根据题意，得$(40 - y)(20 + 2y)=1500，$ 整理，得$y^{2}-30y + 350 = 0。$ $\because(-30)^{2}-4\times1\times350=-500＜0，$ $\therefore$此方程无实数解，故商家不可能达到平均每天盈利1500元。
(2)设每件服装降价$x$元，则每件服装的销售利润为$(40 - x)$元，平均每天的销售量为$(20 + 2x)$件。 根据题意，得$(40 - x)(20 + 2x)=1200，$ 整理，得$x^{2}-30x + 200 = 0，$ 因式分解得$(x - 10)(x - 20)=0，$ 解得$x_{1}=10，$$x_{2}=20。$ 又$\because$需要让利于顾客，$\therefore x = 20。$ 答：每件服装降价20元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利1200元。
(3)设每件服装降价$y$元，则每件的销售利润为$(120 - y - 80)$元，平均每天的销售量为$(20 + 2y)$件。 根据题意，得$(40 - y)(20 + 2y)=1500，$ 整理，得$y^{2}-30y + 350 = 0。$ $\because(-30)^{2}-4\times1\times350=-500＜0，$ $\therefore$此方程无实数解，故商家不可能达到平均每天盈利1500元。
6. 如图,在矩形ABCD中,BC=20 cm,点P、Q、M、N分别从点A、B、C、D出发,沿AD、BC、CB、DA方向在矩形的边上同时运动,当有一个点到达所在运动边的另一个端点时,所有点即停止运动.已知在相同时间内,若BQ=x cm(x≠0),则AP=2x cm,CM=3x cm,DN=x² cm.
(1)当x为何值时,点P、N重合?
(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
(1)当x为何值时,点P、N重合?
(2)当x为何值时,以P、Q、M、N为顶点的四边形是平行四边形?
答案
解：
(1)$\because$点$P$、$N$重合，$\therefore 2x+x^{2}=20，$ 即$x^{2}+2x - 20 = 0，$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$这里$a = 1，$$b = 2，$$c = -20，$ $x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times(-20)}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 80}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{84}}{2}=-1\pm\sqrt{21}，$ $\therefore x_{1}=\sqrt{21}-1，$$x_{2}=-\sqrt{21}-1$（舍去）。 即当$x=\sqrt{21}-1$时，点$P$、$N$重合。 (2)$\because$当点$N$到达点$A$时，$x = 2\sqrt{5}，$此时点$M$和点$Q$还未相遇，$\therefore$点$Q$只能在点$M$的左侧。 ①当点$P$在点$N$的左侧时，根据题意，得$20-(x + 3x)=(2x+x^{2})-20，$ 整理得$x^{2}+6x - 40 = 0，$ 因式分解得$(x + 10)(x - 4)=0，$ 解得$x_{1}=-10$（舍去），$x_{2}=4，$ $\therefore$当$x = 4$时，四边形$NQMP$是平行四边形； ②当点$P$在点$N$的右侧时，根据题意，得$20-(x + 3x)=(2x+x^{2})-20，$ 整理得$x^{2}+6x - 40 = 0，$ 因式分解得$(x + 10)(x - 4)=0，$ 解得$x_{1}=-10$（舍去），$x_{2}=4，$ $\therefore$当$x = 4$时，四边形$NQMP$是平行四边形。 综上所述，当$x = 2$或$x = 4$时，以$P$、$Q$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形。
(1)$\because$点$P$、$N$重合，$\therefore 2x+x^{2}=20，$ 即$x^{2}+2x - 20 = 0，$ 根据求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}，$这里$a = 1，$$b = 2，$$c = -20，$ $x=\frac{-2\pm\sqrt{2^{2}-4\times1\times(-20)}}{2\times1}=\frac{-2\pm\sqrt{4 + 80}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{84}}{2}=-1\pm\sqrt{21}，$ $\therefore x_{1}=\sqrt{21}-1，$$x_{2}=-\sqrt{21}-1$（舍去）。 即当$x=\sqrt{21}-1$时，点$P$、$N$重合。 (2)$\because$当点$N$到达点$A$时，$x = 2\sqrt{5}，$此时点$M$和点$Q$还未相遇，$\therefore$点$Q$只能在点$M$的左侧。 ①当点$P$在点$N$的左侧时，根据题意，得$20-(x + 3x)=(2x+x^{2})-20，$ 整理得$x^{2}+6x - 40 = 0，$ 因式分解得$(x + 10)(x - 4)=0，$ 解得$x_{1}=-10$（舍去），$x_{2}=4，$ $\therefore$当$x = 4$时，四边形$NQMP$是平行四边形； ②当点$P$在点$N$的右侧时，根据题意，得$20-(x + 3x)=(2x+x^{2})-20，$ 整理得$x^{2}+6x - 40 = 0，$ 因式分解得$(x + 10)(x - 4)=0，$ 解得$x_{1}=-10$（舍去），$x_{2}=4，$ $\therefore$当$x = 4$时，四边形$NQMP$是平行四边形。 综上所述，当$x = 2$或$x = 4$时，以$P$、$Q$、$M$、$N$为顶点的四边形是平行四边形。
