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10. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x - 2m + 5 = 0 $有两个不相等的实数根.
(1)求实数$ m $的取值范围.
(2)若该方程的两个根是符号相同的整数,求整数$ m $的值.
(1)求实数$ m $的取值范围.
(2)若该方程的两个根是符号相同的整数,求整数$ m $的值.
答案
解：
(1)根据题意，得$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(-2m + 5)＞0，$ $16 + 8m - 20＞0，$ $8m＞4，$ 解得$m＞\frac{1}{2}。$ (2)设$x_{1}$、$x_{2}$是方程的两根。 根据题意，得$x_{1}+x_{2}=4＞0，$$x_{1}x_{2}=-2m + 5＞0，$ 解得$m＜\frac{5}{2}，$ $\therefore m$的取值范围为$\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}，$ $\therefore m = 1$或$m = 2，$ 当$m = 1$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=3，$符合题意； 当$m = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 1 = 0，$解得$x_{1}=2+\sqrt{3}，$$x_{2}=2-\sqrt{3}，$不是整数，不符合题意，舍去。 $\therefore$整数$m$的值为1。
(1)根据题意，得$b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(-2m + 5)＞0，$ $16 + 8m - 20＞0，$ $8m＞4，$ 解得$m＞\frac{1}{2}。$ (2)设$x_{1}$、$x_{2}$是方程的两根。 根据题意，得$x_{1}+x_{2}=4＞0，$$x_{1}x_{2}=-2m + 5＞0，$ 解得$m＜\frac{5}{2}，$ $\therefore m$的取值范围为$\frac{1}{2}＜m＜\frac{5}{2}，$ $\therefore m = 1$或$m = 2，$ 当$m = 1$时，方程为$x^{2}-4x + 3 = 0，$解得$x_{1}=1，$$x_{2}=3，$符合题意； 当$m = 2$时，方程为$x^{2}-4x + 1 = 0，$解得$x_{1}=2+\sqrt{3}，$$x_{2}=2-\sqrt{3}，$不是整数，不符合题意，舍去。 $\therefore$整数$m$的值为1。
11. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^2 - 6x - k^2 = 0 $（$ k $ 为常数）。
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)设 $ x_1 $、$ x_2 $ 为方程的两个实数根，且 $ x_1 + 2x_2 = 14 $，求方程的两个实数根和 $ k $ 的值.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根.
(2)设 $ x_1 $、$ x_2 $ 为方程的两个实数根，且 $ x_1 + 2x_2 = 14 $，求方程的两个实数根和 $ k $ 的值.
答案
解：
(1)证明：$\because b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\times1\times(-k^{2})=36 + 4k^{2}＞0，$ $\therefore$方程有两个不相等的实数根。 (2)由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=6。$ 又$\because x_{1}+2x_{2}=14，$ 联立可得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=6\\x_{1}+2x_{2}=14\end{cases}，$ 用第二个方程减去第一个方程得：$x_{2}=8，$ 把$x_{2}=8$代入$x_{1}+x_{2}=6，$得$x_{1}=-2。$ 把$x_{1}=-2$代入原方程，得$(-2)^{2}-6\times(-2)-k^{2}=0，$ $4 + 12 - k^{2}=0，$ $k^{2}=16，$ 解得$k=\pm4。$
(1)证明：$\because b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4\times1\times(-k^{2})=36 + 4k^{2}＞0，$ $\therefore$方程有两个不相等的实数根。 (2)由根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=6。$ 又$\because x_{1}+2x_{2}=14，$ 联立可得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=6\\x_{1}+2x_{2}=14\end{cases}，$ 用第二个方程减去第一个方程得：$x_{2}=8，$ 把$x_{2}=8$代入$x_{1}+x_{2}=6，$得$x_{1}=-2。$ 把$x_{1}=-2$代入原方程，得$(-2)^{2}-6\times(-2)-k^{2}=0，$ $4 + 12 - k^{2}=0，$ $k^{2}=16，$ 解得$k=\pm4。$
12. 已知关于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x + m + 3 = 0 $有两个实数根$ x_1 $、$ x_2 $。
(1)求实数$ m $的取值范围。
(2)若$ x_1 $、$ x_2 $满足$ 3x_1 + |x_2| = 2 $，求$ m $的值。
(1)求实数$ m $的取值范围。
(2)若$ x_1 $、$ x_2 $满足$ 3x_1 + |x_2| = 2 $，求$ m $的值。
答案
解：
(1)$\because$原方程有两个实数根， $\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(m + 3)=16 - 4m - 12 = 4 - 4m\geq0，$ 解得$m\leq1，$ $\therefore m$的取值范围是$m\leq1。$ (2)根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=4，$$x_{1}x_{2}=m + 3。$ 当$x_{2}\geq0$时，根据题意可得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4\\3x_{1}+x_{2}=2\end{cases}，$ 两式相减得：$2x_{1}=-2，$解得$x_{1}=-1，$ 把$x_{1}=-1$代入$x_{1}+x_{2}=4，$得$x_{2}=5，$ 则$m + 3=-1\times5，$$\therefore m=-8；$ 当$x_{2}＜0$时，根据题意可得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4\\3x_{1}-x_{2}=2\end{cases}，$ 两式相加得：$4x_{1}=6，$解得$x_{1}=\frac{3}{2}，$ 把$x_{1}=\frac{3}{2}$代入$x_{1}+x_{2}=4，$得$x_{2}=\frac{5}{2}，$不符合$x_{2}＜0，$舍去。 综上所述，$m$的值为$-8。$
(1)$\because$原方程有两个实数根， $\therefore b^{2}-4ac=(-4)^{2}-4\times1\times(m + 3)=16 - 4m - 12 = 4 - 4m\geq0，$ 解得$m\leq1，$ $\therefore m$的取值范围是$m\leq1。$ (2)根据一元二次方程根与系数的关系，得$x_{1}+x_{2}=4，$$x_{1}x_{2}=m + 3。$ 当$x_{2}\geq0$时，根据题意可得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4\\3x_{1}+x_{2}=2\end{cases}，$ 两式相减得：$2x_{1}=-2，$解得$x_{1}=-1，$ 把$x_{1}=-1$代入$x_{1}+x_{2}=4，$得$x_{2}=5，$ 则$m + 3=-1\times5，$$\therefore m=-8；$ 当$x_{2}＜0$时，根据题意可得$\begin{cases}x_{1}+x_{2}=4\\3x_{1}-x_{2}=2\end{cases}，$ 两式相加得：$4x_{1}=6，$解得$x_{1}=\frac{3}{2}，$ 把$x_{1}=\frac{3}{2}$代入$x_{1}+x_{2}=4，$得$x_{2}=\frac{5}{2}，$不符合$x_{2}＜0，$舍去。 综上所述，$m$的值为$-8。$
13. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ mx^2 - (4m + 2)x + (3m + 6) = 0 $。
(1)试讨论该方程的根的情况并说明理由。
(2)无论 $ m $ 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根。
(1)试讨论该方程的根的情况并说明理由。
(2)无论 $ m $ 为何值，该方程都有一个固定的实数根，试求出这个根。
答案
解：
(1)$\because b^{2}-4ac=[-(4m + 2)]^{2}-4m(3m + 6)$ $=16m^{2}+16m + 4 - 12m^{2}-24m$ $=4m^{2}-8m + 4$ $=4(m - 1)^{2}\geq0，$ $\therefore$关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(4m + 2)x+(3m + 6)=0$有实数根。 (2)原方程可化为$m(x^{2}-4x + 3)-2x + 6 = 0。$ $\because$无论$m$为何值，该方程都有一个固定的实数根， $\therefore x^{2}-4x + 3 = 0$且$-2x + 6 = 0，$ 解$x^{2}-4x + 3 = 0，$即$(x - 1)(x - 3)=0，$得$x = 1$或$x = 3，$ 解$-2x + 6 = 0，$得$x = 3，$ $\therefore$无论$m$为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为$x = 3。$
(1)$\because b^{2}-4ac=[-(4m + 2)]^{2}-4m(3m + 6)$ $=16m^{2}+16m + 4 - 12m^{2}-24m$ $=4m^{2}-8m + 4$ $=4(m - 1)^{2}\geq0，$ $\therefore$关于$x$的一元二次方程$mx^{2}-(4m + 2)x+(3m + 6)=0$有实数根。 (2)原方程可化为$m(x^{2}-4x + 3)-2x + 6 = 0。$ $\because$无论$m$为何值，该方程都有一个固定的实数根， $\therefore x^{2}-4x + 3 = 0$且$-2x + 6 = 0，$ 解$x^{2}-4x + 3 = 0，$即$(x - 1)(x - 3)=0，$得$x = 1$或$x = 3，$ 解$-2x + 6 = 0，$得$x = 3，$ $\therefore$无论$m$为何值，该方程都有一个固定的实数根，这个根为$x = 3。$
