1. 「2025河南许昌期中」已知方程组$\begin{cases}2x - y = 4, \\x - 2y = 2,\end{cases}$则$3x - 3y$的值是 ______ 。

1. 答案 6
解析 两个方程相加，得 $ 3x - 3y = 6 $。

2. 「2024湖南沅江月考」小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款元。

2.答案　600
　解析　设甲、乙、丙的单价分别为x元、y元、元，
　由题意知{32xx++23yy++z4=z=425080①②,,
　①+②,得5(x+y+z)=1000,∴x+y+z=200,
　∴3(x+y+z)=600,
　故购买甲、乙、丙各三件时应该付款600元

3. 「2025河南周口月考」小明热爱数学，在数学课外资料上看到一道用整体代换法解二元一次方程组的题：解方程组$\begin{cases}3x - 2y = 4①, \\6x - 5y = 7②.\end{cases}$
解：将方程②变形，得$6x - 4y - y = 7$，即$2(3x - 2y) - y = 7$③。把方程①代入③，得$2×4 - y = 7$，解得$y = 1$。把$y = 1$代入①，得$3x - 2 = 4$，解得$x = 2$，
$\therefore$方程组的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 1.\end{cases}$
整体代换法体现了整体思想，请你使用整体思想解决以下问题：
(1) 解方程组$\begin{cases}4x - 5y = 9①, \\9x - 10y = 15②.\end{cases}$
(2) 已知$x$，$y$满足方程组$\begin{cases}4x + 3y = 7, \\2(3x + 2y) + 2(x + y) - y = 6,\end{cases}$求$x + y$的值。

3.解析　(1)将方程②变形,得x+8x−10y=15,
　即x+2(4x−5y)=15③,
　把方程①代入③,得x+2x9=15,解得x=−3.
　把x=−3代入①,得−12−5y=9,解得y=$\frac{21}{5}$.
　　　　　　　　　x=−3,
　所以原方程组的解为
　　　　　　　　　y=$\frac{21}{5}$
　(2)原方程组可变形为{x3x++35(x(x++yy)=)=7①6②,,
　①×3,得3x+9(x+y)=21③,
　③−②,得4(x+y)=15,所以x+y=$\frac{15}{4}$.

4. 新考向 「2025浙江台州期中节选」换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法，我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使得复杂问题简单化。换元的实质是转化，关键是构造元和设元。
例如：解方程组$\begin{cases}\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = 12, \\ \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{y} = 20,\end{cases}$设$m = \dfrac{1}{x}$，$n = \dfrac{1}{y}$，
则原方程组可化为$\begin{cases}m + n = 12, \\2m + n = 20,\end{cases}$解得$\begin{cases}m = 8, \\n = 4,\end{cases}$
即$\begin{cases}\dfrac{1}{x} = 8, \\ \dfrac{1}{y} = 4,\end{cases}$所以原方程组的解为$\begin{cases}x = \dfrac{1}{8}, \\y = \dfrac{1}{4}.\end{cases}$
运用以上知识解决下列问题：
(1) 求方程组$\begin{cases}\dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{y} = 2, \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{y} = 4\end{cases}$的解。
(2) 关于$x$，$y$的二元一次方程组$\begin{cases}3x + 5y = 11, \\ax + 11y = 12\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2, \\y = 1,\end{cases}$则方程组$\begin{cases}3(x - 2) + 5(y + 1) = 11, \\a(x - 2) + 11(y + 1) = 12\end{cases}$的解为 ______ 。

解：
(1)设$m=\dfrac{1}{x}$，$n=\dfrac{2}{y}$，
则原方程组可化为$\begin{cases}m + n = 2 \\3m + n = 4\end{cases}$
②$-$①得：$2m=2$，解得$m=1$，
将$m=1$代入①得：$1 + n=2$，解得$n=1$，
即$\begin{cases}\dfrac{1}{x}=1 \\\dfrac{2}{y}=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=1 \\y=2\end{cases}$。
(2)设$u=x-2$，$v=y+1$，
则原方程组可化为$\begin{cases}3u + 5v = 11 \\au + 11v = 12\end{cases}$，
因为方程组$\begin{cases}3x + 5y = 11 \\ax + 11y = 12\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2 \\y=1\end{cases}$，
所以$\begin{cases}u=2 \\v=1\end{cases}$，
即$\begin{cases}x - 2=2 \\y + 1=1\end{cases}$，
解得$\begin{cases}x=4 \\y=0\end{cases}$。