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1. 「2025 北京西城月考」幻方的起源与中国古代的“洛书”紧密相关，“洛书”被认为是三阶幻方的最早形式.现将 9 个不同的整数填入方格中(如图)，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则 $ a $ 和 $ b $ 的值分别是(
A.$-4$，$3$
B.$-4$，$-3$
C.$4$，$3$
D.$4$，$-3$
C
)A.$-4$，$3$
B.$-4$，$-3$
C.$4$，$3$
D.$4$，$-3$
答案
1. C 根据题意得$\begin{cases}4b - 2 + 2a + 1 = 12 + 7,\\2a + 1 + 3b - 3 = 7 + 2a,\end{cases}$
解得$\begin{cases}a = 4,\\b = 3.\end{cases}$故选 C.
解得$\begin{cases}a = 4,\\b = 3.\end{cases}$故选 C.
2. 「2025 山东中考」明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是有 3 个头、6 只手的哪吒若干个，有 1 个头、8 只手的夜叉若干个，两方交战，共有 36 个头，108 只手.问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有 $ x $ 个，夜叉有 $ y $ 个，则根据条件所列方程组为(
A.$\begin{cases}x + 3y = 36\\8x + 6y = 108\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 3y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 36\\8x + 6y = 108\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
D
)A.$\begin{cases}x + 3y = 36\\8x + 6y = 108\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + 3y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
C.$\begin{cases}3x + y = 36\\8x + 6y = 108\end{cases}$
D.$\begin{cases}3x + y = 36\\6x + 8y = 108\end{cases}$
答案
2. D 根据“共有 36 个头”和“108 只手”列出二元一次方程组$\begin{cases}3x + y = 36,\\6x + 8y = 108.\end{cases}$故选 D.
3. 「2025 四川眉山中考」我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”其大意是用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果、苦果各买几个？若设买甜果 $ x $ 个，苦果 $ y $ 个，根据题意可列方程组为(
A.$\begin{cases}x + y = 1000\\9x + 7y = 999\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 999\\11x + 4y = 1000\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 1000\\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 1000\\\dfrac{9}{11}x + \dfrac{7}{4}y = 999\end{cases}$
C
)A.$\begin{cases}x + y = 1000\\9x + 7y = 999\end{cases}$
B.$\begin{cases}x + y = 999\\11x + 4y = 1000\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 1000\\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999\end{cases}$
D.$\begin{cases}x + y = 1000\\\dfrac{9}{11}x + \dfrac{7}{4}y = 999\end{cases}$
答案
3. C
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，
∴$x + y = 1000$.
∵甜果 9 个 11 文，苦果 7 个 4 文，
∴每个甜果$\dfrac{11}{9}$文，每个苦果$\dfrac{4}{7}$文.
∵总费用为 999 文，
∴$\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999$.
故列方程组为$\begin{cases}x + y = 1000,\\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999.\end{cases}$故选 C.
∵用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，
∴$x + y = 1000$.
∵甜果 9 个 11 文，苦果 7 个 4 文，
∴每个甜果$\dfrac{11}{9}$文，每个苦果$\dfrac{4}{7}$文.
∵总费用为 999 文，
∴$\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999$.
故列方程组为$\begin{cases}x + y = 1000,\\\dfrac{11}{9}x + \dfrac{4}{7}y = 999.\end{cases}$故选 C.
4. 「2024 湖北十堰模拟」《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗.问上、中、下禾实一秉各几何？”译文：今有上禾 3 束，中禾 2 束，下禾 1 束，得实 39 斗；上禾 2 束，中禾 3 束，下禾 1 束，得实 34 斗；上禾 1 束，中禾 2 束，下禾 3 束，得实 26 斗.问上禾、中禾、下禾每一束得实各是多少斗？设上禾、中禾、下禾每一束得实各为 $ x $ 斗、$ y $ 斗、$ z $ 斗，可列方程组为.
答案
4. 答案 $\begin{cases}3x + 2y + z = 39\\2x + 3y + z = 34\\x + 2y + 3z = 26\end{cases}$
解析 根据“上禾 3 束，中禾 2 束，下禾 1 束，得实 39 斗”得$3x + 2y + z = 39$；根据“上禾 2 束，中禾 3 束，下禾 1 束，得实 34 斗”得$2x + 3y + z = 34$；根据“上禾 1 束，中禾 2 束，下禾 3 束，得实 26 斗”得$x + 2y + 3z = 26$.联立得$\begin{cases}3x + 2y + z = 39,\\2x + 3y + z = 34,\\x + 2y + 3z = 26.\end{cases}$
解析 根据“上禾 3 束，中禾 2 束，下禾 1 束，得实 39 斗”得$3x + 2y + z = 39$；根据“上禾 2 束，中禾 3 束，下禾 1 束，得实 34 斗”得$2x + 3y + z = 34$；根据“上禾 1 束，中禾 2 束，下禾 3 束，得实 26 斗”得$x + 2y + 3z = 26$.联立得$\begin{cases}3x + 2y + z = 39,\\2x + 3y + z = 34,\\x + 2y + 3z = 26.\end{cases}$
5. 「2025 河南周口郸城期中」我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详.甲云得乙九只羊，多乙一倍之上.乙说得甲九只，两家之数相当.”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊.如果乙给甲 9 只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的 2 倍；如果甲给乙 9 只羊，那么两人拥有的羊数相等.问甲、乙各有多少只羊？
答案
5. 解析 设甲有$x$只羊，乙有$y$只羊，
根据题意得$\begin{cases}x + 9 = 2(y - 9),\\x - 9 = y + 9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 63,\\y = 45.\end{cases}$
答：甲有 63 只羊，乙有 45 只羊.
根据题意得$\begin{cases}x + 9 = 2(y - 9),\\x - 9 = y + 9,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 63,\\y = 45.\end{cases}$
答：甲有 63 只羊，乙有 45 只羊.
