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9. 〔2025 河南安阳期末〕若关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2 \\ 2x + 3y = 6\end{cases}$ 满足 $x + y = 2$，则 $k$ 的值为( )
A.$\dfrac{7}{6}$
B.$\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{6}{7}$
D.2
A.$\dfrac{7}{6}$
B.$\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{6}{7}$
D.2
答案
9. C $\begin{cases}3x + 2y = 7k - 2①,\\2x + 3y = 6②,\end{cases}$
① + ②，得 $5x + 5y = 7k + 4$，
∴ $5(x + y) = 7k + 4$，
∵ $x + y = 2$，
∴ $10 = 7k + 4$，
∴ $k = \frac{6}{7}$。故选 C。
① + ②，得 $5x + 5y = 7k + 4$，
∴ $5(x + y) = 7k + 4$，
∵ $x + y = 2$，
∴ $10 = 7k + 4$，
∴ $k = \frac{6}{7}$。故选 C。
10. 〔2024 河北廊坊月考〕若 $5x^5y^{2m + 3n}$ 与 $-7x^{3m + 2n}y^6$ 是同类项，则 $n - m =$(
A.1
B.-1
C.2
D.3
A
)A.1
B.-1
C.2
D.3
答案
10. A
∵ $5x^{5}y^{2m + 3n}$ 与 $- 7x^{3m + 2n}y^{6}$ 是同类项，
∴ $\begin{cases}3m + 2n = 5①,\\2m + 3n = 6②,\end{cases}$ ② - ①，得 $n - m = 1$。故选 A。
∵ $5x^{5}y^{2m + 3n}$ 与 $- 7x^{3m + 2n}y^{6}$ 是同类项，
∴ $\begin{cases}3m + 2n = 5①,\\2m + 3n = 6②,\end{cases}$ ② - ①，得 $n - m = 1$。故选 A。
11. 〔2025 四川绵阳盐亭期末〕已知关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 5y = -6 \\ bx - ay = 2\end{cases}$ 的解和方程组 $\begin{cases}bx + ay = -8 \\ 3x - 5y = 16\end{cases}$ 的解相同，则 $(a + b)^{2025}$ 的值为( )
A.-2025
B.-1
C.2025
D.1
A.-2025
B.-1
C.2025
D.1
答案
11. D
∵ 关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 5y = - 6,\\bx - ay = 2\end{cases}$ 的解和方程组 $\begin{cases}bx + ay = - 8,\\3x - 5y = 16\end{cases}$ 的解相同，
∴ 可得新方程组 $\begin{cases}2x + 5y = - 6①,\\3x - 5y = 16②,\end{cases}$
① + ②，得 $5x = 10$，解得 $x = 2$，
将 $x = 2$ 代入 ①，得 $4 + 5y = - 6$，解得 $y = - 2$。
将 $x = 2$，$y = - 2$ 代入 $\begin{cases}bx - ay = 2,\\bx + ay = - 8\end{cases}$ 可得 $\begin{cases}2b + 2a = 2,\\2b - 2a = - 8,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = \frac{5}{2},\\b = - \frac{3}{2},\end{cases}$
∴ $(a + b)^{2025} = (\frac{5}{2} - \frac{3}{2})^{2025} = 1$。故选 D。
∵ 关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}2x + 5y = - 6,\\bx - ay = 2\end{cases}$ 的解和方程组 $\begin{cases}bx + ay = - 8,\\3x - 5y = 16\end{cases}$ 的解相同，
∴ 可得新方程组 $\begin{cases}2x + 5y = - 6①,\\3x - 5y = 16②,\end{cases}$
① + ②，得 $5x = 10$，解得 $x = 2$，
将 $x = 2$ 代入 ①，得 $4 + 5y = - 6$，解得 $y = - 2$。
将 $x = 2$，$y = - 2$ 代入 $\begin{cases}bx - ay = 2,\\bx + ay = - 8\end{cases}$ 可得 $\begin{cases}2b + 2a = 2,\\2b - 2a = - 8,\end{cases}$
解得 $\begin{cases}a = \frac{5}{2},\\b = - \frac{3}{2},\end{cases}$
∴ $(a + b)^{2025} = (\frac{5}{2} - \frac{3}{2})^{2025} = 1$。故选 D。
12. 〔2025 河南周口郸城月考〕在等式 $y = kx + b$ 中，当 $x = -1$ 时，$y = -5$；当 $x = 1$ 时，$y = 7$，则 $k - 2b$ 的值为
4
。答案
12. 答案 4
解析 根据题意得 $\begin{cases}- 5 = - k + b,\\7 = k + b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 6,\\b = 1,\end{cases}$
∴ $k - 2b = 6 - 2×1 = 6 - 2 = 4$。
解析 根据题意得 $\begin{cases}- 5 = - k + b,\\7 = k + b,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k = 6,\\b = 1,\end{cases}$
∴ $k - 2b = 6 - 2×1 = 6 - 2 = 4$。
13. 某一天，蔬菜经营户王叔叔花 270 元从蔬菜批发市场批发了黄瓜和茄子共 70 千克，之后他到菜市场按零售价卖掉这些黄瓜和茄子，黄瓜和茄子当天的批发价和零售价如表所示：
他卖完这些黄瓜和茄子共赚
他卖完这些黄瓜和茄子共赚
100
元。答案
13. 答案 100
解析 设王叔叔批发黄瓜 $x$ 千克，茄子 $y$ 千克，由题意得 $\begin{cases}x + y = 70,\\5x + 3y = 270,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 30,\\y = 40,\end{cases}$
所以王叔叔卖完这些黄瓜和茄子共赚 $(7 - 5)×30 + (4 - 3)×40 = 100$（元）。
解析 设王叔叔批发黄瓜 $x$ 千克，茄子 $y$ 千克，由题意得 $\begin{cases}x + y = 70,\\5x + 3y = 270,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}x = 30,\\y = 40,\end{cases}$
所以王叔叔卖完这些黄瓜和茄子共赚 $(7 - 5)×30 + (4 - 3)×40 = 100$（元）。
14. 〔2025 湖南株洲期末〕对于未知数为 $x$，$y$ 的二元一次方程组，如果方程组的解 $x$，$y$ 满足 $x - y = 1$，我们就说方程组的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”。
(1) 方程组 $\begin{cases}x + 2y = 7 \\ x - y = 1\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 是否具有“邻好关系”？说明你的理由。
(2) 若方程组 $\begin{cases}2x - y = 6 \\ 4x + y = 6m\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，求 $m$ 的值。
(1) 方程组 $\begin{cases}x + 2y = 7 \\ x - y = 1\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 是否具有“邻好关系”？说明你的理由。
(2) 若方程组 $\begin{cases}2x - y = 6 \\ 4x + y = 6m\end{cases}$ 的解 $x$ 与 $y$ 具有“邻好关系”，求 $m$ 的值。
答案
14. 解析 (1) 具有 “邻好关系”。理由：
∵ $x - y = 1$，满足 $|x - y| = 1$，
∴ 方程组 $\begin{cases}x + 2y = 7,\\x - y = 1\end{cases}$ 的解 $x$，$y$ 具有 “邻好关系”。
(2) $\begin{cases}2x - y = 6①,\\4x + y = 6m②,\end{cases}$
① + ②，得 $6x = 6 + 6m$，
∴ $x = 1 + m$，
把 $x = 1 + m$ 代入 ①，可得 $y = 2m - 4$，
∴ $x - y = 1 + m - 2m + 4 = 5 - m$。
∵ 方程组 $\begin{cases}2x - y = 6,\\4x + y = 6m\end{cases}$ 的解 $x$，$y$ 具有 “邻好关系”，
∴ $|x - y| = 1$，即 $5 - m = ±1$，
∴ $m = 6$ 或 $m = 4$。
∵ $x - y = 1$，满足 $|x - y| = 1$，
∴ 方程组 $\begin{cases}x + 2y = 7,\\x - y = 1\end{cases}$ 的解 $x$，$y$ 具有 “邻好关系”。
(2) $\begin{cases}2x - y = 6①,\\4x + y = 6m②,\end{cases}$
① + ②，得 $6x = 6 + 6m$，
∴ $x = 1 + m$，
把 $x = 1 + m$ 代入 ①，可得 $y = 2m - 4$，
∴ $x - y = 1 + m - 2m + 4 = 5 - m$。
∵ 方程组 $\begin{cases}2x - y = 6,\\4x + y = 6m\end{cases}$ 的解 $x$，$y$ 具有 “邻好关系”，
∴ $|x - y| = 1$，即 $5 - m = ±1$，
∴ $m = 6$ 或 $m = 4$。
15. 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算，例如，解方程组 $\begin{cases}17x + 18y = 16① \\ 20x + 21y = 19②\end{cases}$ 时，可以采用以下方法。
解：② - ①，得 $3x + 3y = 3$，所以 $x + y = 1$③，将③×17，得 $17x + 17y = 17$④，① - ④，得 $y = -1$，从而可得 $x = 2$，所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}$ 。
(1) 请你用上述方法解方程组：$\begin{cases}2023x + 2025y = 2021① \\ 2017x + 2019y = 2015②\end{cases}$ 。
(2) 猜测关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}(a + 1)x + (a + 3)y = a - 1 \\ (b + 1)x + (b + 3)y = b - 1\end{cases}$ （$a ≠ b$）的解，并说明理由。
解：② - ①，得 $3x + 3y = 3$，所以 $x + y = 1$③，将③×17，得 $17x + 17y = 17$④，① - ④，得 $y = -1$，从而可得 $x = 2$，所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2 \\ y = -1\end{cases}$ 。
(1) 请你用上述方法解方程组：$\begin{cases}2023x + 2025y = 2021① \\ 2017x + 2019y = 2015②\end{cases}$ 。
(2) 猜测关于 $x$，$y$ 的方程组 $\begin{cases}(a + 1)x + (a + 3)y = a - 1 \\ (b + 1)x + (b + 3)y = b - 1\end{cases}$ （$a ≠ b$）的解，并说明理由。
答案
15. 解析 (1) ① - ②，得 $6x + 6y = 6$，所以 $x + y = 1$③，
③ × 2023，得 $2023x + 2023y = 2023$④，
① - ④，得 $2y = - 2$，解得 $y = - 1$，
把 $y = - 1$ 代入 ③，得 $x = 2$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 1.\end{cases}$
(2) 猜测方程组 $\begin{cases}(a + 1)x + (a + 3)y = a - 1,\\(b + 1)x + (b + 3)y = b - 1\end{cases}$ $(a ≠ b)$ 的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 1.\end{cases}$ 理由：$\begin{cases}(a + 1)x + (a + 3)y = a - 1①,\\(b + 1)x + (b + 3)y = b - 1②,\end{cases}$
① - ②，得 $(a - b)x + (a - b)y = a - b$，因为 $a ≠ b$，所以 $a - b ≠ 0$，所以 $x + y = 1$③，
③ × $(a + 1)$，得 $(a + 1)x + (a + 1)y = a + 1$④，
① - ④，得 $2y = - 2$，解得 $y = - 1$，
把 $y = - 1$ 代入 ③，得 $x = 2$，
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 1.\end{cases}$
③ × 2023，得 $2023x + 2023y = 2023$④，
① - ④，得 $2y = - 2$，解得 $y = - 1$，
把 $y = - 1$ 代入 ③，得 $x = 2$。
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 1.\end{cases}$
(2) 猜测方程组 $\begin{cases}(a + 1)x + (a + 3)y = a - 1,\\(b + 1)x + (b + 3)y = b - 1\end{cases}$ $(a ≠ b)$ 的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 1.\end{cases}$ 理由：$\begin{cases}(a + 1)x + (a + 3)y = a - 1①,\\(b + 1)x + (b + 3)y = b - 1②,\end{cases}$
① - ②，得 $(a - b)x + (a - b)y = a - b$，因为 $a ≠ b$，所以 $a - b ≠ 0$，所以 $x + y = 1$③，
③ × $(a + 1)$，得 $(a + 1)x + (a + 1)y = a + 1$④，
① - ④，得 $2y = - 2$，解得 $y = - 1$，
把 $y = - 1$ 代入 ③，得 $x = 2$，
所以原方程组的解为 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 1.\end{cases}$
