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一、选择题
1. 化简$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}$的结果是(
A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{3}{2x}$
C.$\frac{11}{6x}$
D.$\frac{5}{6x}$
1. 化简$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}$的结果是(
C
)。A.$\frac{1}{2x}$
B.$\frac{3}{2x}$
C.$\frac{11}{6x}$
D.$\frac{5}{6x}$
答案
1. C
解析
$\frac{1}{x}+\frac{1}{2x}+\frac{1}{3x}=\frac{6}{6x}+\frac{3}{6x}+\frac{2}{6x}=\frac{6+3+2}{6x}=\frac{11}{6x}$，答案选C。
2. 化简$a + 1-\frac{a}{a - 1}$的结果是(
A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$-\frac{1}{a - 1}$
C.$\frac{a^{2}-a - 1}{a - 1}$
D.$a - 1$
C
)。A.$\frac{1}{a - 1}$
B.$-\frac{1}{a - 1}$
C.$\frac{a^{2}-a - 1}{a - 1}$
D.$a - 1$
答案
2. C
解析
$\begin{aligned}a + 1 - \frac{a}{a - 1}&=\frac{(a + 1)(a - 1)}{a - 1} - \frac{a}{a - 1}\\&=\frac{a^2 - 1 - a}{a - 1}\\&=\frac{a^2 - a - 1}{a - 1}\end{aligned}$
C
C
3. 已知实数$a$，$b$满足$ab = 1$，设$M=\frac{a}{a + 1}+\frac{b}{b + 1}$，$N=\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{b + 1}$，则$M$，$N$的大小关系是(
A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
B
)。A.$M ＞ N$
B.$M = N$
C.$M ＜ N$
D.不确定
答案
3. B
解析
解：
$\begin{aligned}M&=\frac{a}{a + 1}+\frac{b}{b + 1}\\&=\frac{a(b + 1) + b(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{ab + a + ab + b}{ab + a + b + 1}\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}N&=\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{b + 1}\\&=\frac{b + 1 + a + 1}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{a + b + 2}{ab + a + b + 1}\\\end{aligned}$
因为 $ab = 1$，所以 $M=\frac{1 + a + 1 + b}{1 + a + b + 1}=\frac{a + b + 2}{a + b + 2}=1$，$N=\frac{a + b + 2}{1 + a + b + 1}=1$。
故 $M = N$。
B
$\begin{aligned}M&=\frac{a}{a + 1}+\frac{b}{b + 1}\\&=\frac{a(b + 1) + b(a + 1)}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{ab + a + ab + b}{ab + a + b + 1}\\\end{aligned}$
$\begin{aligned}N&=\frac{1}{a + 1}+\frac{1}{b + 1}\\&=\frac{b + 1 + a + 1}{(a + 1)(b + 1)}\\&=\frac{a + b + 2}{ab + a + b + 1}\\\end{aligned}$
因为 $ab = 1$，所以 $M=\frac{1 + a + 1 + b}{1 + a + b + 1}=\frac{a + b + 2}{a + b + 2}=1$，$N=\frac{a + b + 2}{1 + a + b + 1}=1$。
故 $M = N$。
B
4. 已知$A÷(1+\frac{1}{x - 1})=\frac{1}{x + 1}$，则$A=( )$。
A.$\frac{x - 1}{x^{2}+x}$
B.$\frac{x}{x^{2}-1}$
C.$\frac{1}{x^{2}-1}$
D.$x^{2}-1$
A.$\frac{x - 1}{x^{2}+x}$
B.$\frac{x}{x^{2}-1}$
C.$\frac{1}{x^{2}-1}$
D.$x^{2}-1$
答案
4. B
解析
$A=\frac{1}{x + 1}×(1+\frac{1}{x - 1})$
$=\frac{1}{x + 1}×(\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{1}{x - 1})$
$=\frac{1}{x + 1}×\frac{x}{x - 1}$
$=\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x}{x^{2}-1}$
B
$=\frac{1}{x + 1}×(\frac{x - 1}{x - 1}+\frac{1}{x - 1})$
$=\frac{1}{x + 1}×\frac{x}{x - 1}$
$=\frac{x}{(x + 1)(x - 1)}$
$=\frac{x}{x^{2}-1}$
B
二、填空题
5. 已知$a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 8$，则$a+\frac{1}{a}=$。
5. 已知$a^{2}+\frac{1}{a^{2}} = 8$，则$a+\frac{1}{a}=$。
答案
5. $\pm\sqrt{10}$
解析
设$x = a + \frac{1}{a}$，则$x^2 = a^2 + 2 · a · \frac{1}{a} + \frac{1}{a^2} = a^2 + 2 + \frac{1}{a^2}$。已知$a^2 + \frac{1}{a^2} = 8$，代入得$x^2 = 8 + 2 = 10$，所以$x = \pm\sqrt{10}$，即$a + \frac{1}{a} = \pm\sqrt{10}$。
$\pm\sqrt{10}$
$\pm\sqrt{10}$
6. 某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的$\frac{3}{4}$。用$600$元购书，可购买《周髀算经》$x$本。若改为购买《孙子算经》，可多买
$\frac{x}{3}$
本。答案
6. $\frac{x}{3}$
解析
设《周髀算经》单价为$a$元，则《孙子算经》单价为$\frac{3}{4}a$元。
由题意，购买《周髀算经》$x$本花费$600$元，可得$ax = 600$，则$a=\frac{600}{x}$。
购买《孙子算经》的数量为$\frac{600}{\frac{3}{4}a}=\frac{600}{\frac{3}{4}×\frac{600}{x}}=\frac{600x}{450}=\frac{4x}{3}$本。
多买的数量为$\frac{4x}{3}-x=\frac{x}{3}$本。
$\frac{x}{3}$
由题意，购买《周髀算经》$x$本花费$600$元，可得$ax = 600$，则$a=\frac{600}{x}$。
购买《孙子算经》的数量为$\frac{600}{\frac{3}{4}a}=\frac{600}{\frac{3}{4}×\frac{600}{x}}=\frac{600x}{450}=\frac{4x}{3}$本。
多买的数量为$\frac{4x}{3}-x=\frac{x}{3}$本。
$\frac{x}{3}$
三、解答题
7. 化简：$\frac{1}{x(x + 1)}+\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}+···+\frac{1}{(x + 998)(x + 999)}$，并求当$x = 1$时该代数式的值。
7. 化简：$\frac{1}{x(x + 1)}+\frac{1}{(x + 1)(x + 2)}+···+\frac{1}{(x + 998)(x + 999)}$，并求当$x = 1$时该代数式的值。
答案
7. 原式$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+999}=\frac{999}{1000}$
解析
原式$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+···+\frac{1}{x+998}-\frac{1}{x+999}$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+999}$
当$x=1$时，原式$=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+999}=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$
$=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+999}$
当$x=1$时，原式$=\frac{1}{1}-\frac{1}{1+999}=1-\frac{1}{1000}=\frac{999}{1000}$
