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一、选择题
1. 已知$∠ 1$的对顶角是$∠ 2$，$∠ 2$的邻补角是$∠ 3$，若$∠ 3 = 45^{\circ}$，则$∠ 1$的度数是(
A.$45^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$45^{\circ}$或$135^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
1. 已知$∠ 1$的对顶角是$∠ 2$，$∠ 2$的邻补角是$∠ 3$，若$∠ 3 = 45^{\circ}$，则$∠ 1$的度数是(
B
)。A.$45^{\circ}$
B.$135^{\circ}$
C.$45^{\circ}$或$135^{\circ}$
D.$90^{\circ}$
答案
1. B
解析
∵∠2的邻补角是∠3，∠3=45°，
∴∠2=180° - ∠3=180° - 45°=135°。
∵∠1的对顶角是∠2，
∴∠1=∠2=135°。
B
2. 若点$A$在直线$l$外，点$B$在直线$l$上，$AB$两点之间的距离记作$a$，点$A$到直线$l$的距离记作$b$，则$a$与$b$之间的大小关系是(
A.$a ＜ b$
B.$a ＞ b$
C.$a ≤ b$
D.$a ≥ b$
D
)。A.$a ＜ b$
B.$a ＞ b$
C.$a ≤ b$
D.$a ≥ b$
答案
2. D
解析
点$A$到直线$l$的距离$b$是点$A$到直线$l$的垂线段的长度。
点$B$在直线$l$上，$AB$两点之间的距离$a$是连接$A$、$B$两点的线段的长度。
根据垂线段最短的性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
当$AB$垂直于直线$l$时，$a = b$；当$AB$不垂直于直线$l$时，$a ＞ b$。
综上，$a ≥ b$。
D
点$B$在直线$l$上，$AB$两点之间的距离$a$是连接$A$、$B$两点的线段的长度。
根据垂线段最短的性质，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
当$AB$垂直于直线$l$时，$a = b$；当$AB$不垂直于直线$l$时，$a ＞ b$。
综上，$a ≥ b$。
D
3. 若点$P$到直线$l$的距离为$3$，则直线$l$上到点$P$距离为$4$的点的个数为(
A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
C
)。A.$0$个
B.$1$个
C.$2$个
D.$3$个
答案
3. C
解析
过点$P$作直线$l$的垂线，垂足为$O$，则$PO = 3$。在直线$l$上取点$A$，使$PA = 4$，则$△ POA$为直角三角形，其中$PO = 3$，$PA = 4$。根据勾股定理，$OA=\sqrt{PA^{2}-PO^{2}}=\sqrt{4^{2}-3^{2}}=\sqrt{7}$。因为在直线$l$上，以$O$为中心，$\sqrt{7}$为半径的圆与直线$l$有两个交点，所以直线$l$上到点$P$距离为$4$的点的个数为$2$个。
C
C
二、填空题
4. 如图，点$O$在直线$AB$上，当$OD$，$OE$分别平分$∠ BOC$，$∠ AOC$时，有下列结论：
① $∠ 1$与$∠ 4$是对顶角；② $OD ⊥ OE$；③ $∠ 1$与$∠ 3$互余；④ $∠ 2$与$∠ 4$互余。其中，正确结论的序号是
4. 如图，点$O$在直线$AB$上，当$OD$，$OE$分别平分$∠ BOC$，$∠ AOC$时，有下列结论：
① $∠ 1$与$∠ 4$是对顶角；② $OD ⊥ OE$；③ $∠ 1$与$∠ 3$互余；④ $∠ 2$与$∠ 4$互余。其中，正确结论的序号是
②③④
(把所有正确答案的序号都填写在横线上)。答案
4. ②③④
5. 如果$∠ 1$和$∠ 2$有公共顶点，且$∠ 1$的两边分别垂直于$∠ 2$的两边，则$∠ 1$和$∠ 2$的关系是
∠1=∠2 或 ∠1+∠2=180°
。($∠ 1$，$∠ 2$均小于$180^{\circ}$)答案
5. ∠1=∠2 或 ∠1+∠2=180°
6. 如图，已知直线$AB$，$CD$相交于点$O$，$OE$平分$∠ BOD$，$OF$平分$∠ COB$，$∠ 2:∠ 1 = 4:1$，则$∠ AOF =\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
6. 120
解析
解：设$∠ 1 = x$，则$∠ 2 = 4x$。
因为$OE$平分$∠ BOD$，所以$∠ BOD = 2∠ 1 = 2x$。
由于$∠ 2 + ∠ BOD = 180°$（平角定义），即$4x + 2x = 180°$，解得$x = 30°$。
所以$∠ BOD = 2x = 60°$，则$∠ COB = 180° - ∠ BOD = 120°$（邻补角定义）。
因为$OF$平分$∠ COB$，所以$∠ COF = \frac{1}{2}∠ COB = 60°$。
又因为$∠ AOC = ∠ BOD = 60°$（对顶角相等），所以$∠ AOF = ∠ AOC + ∠ COF = 60° + 60° = 120°$。
$120$
因为$OE$平分$∠ BOD$，所以$∠ BOD = 2∠ 1 = 2x$。
由于$∠ 2 + ∠ BOD = 180°$（平角定义），即$4x + 2x = 180°$，解得$x = 30°$。
所以$∠ BOD = 2x = 60°$，则$∠ COB = 180° - ∠ BOD = 120°$（邻补角定义）。
因为$OF$平分$∠ COB$，所以$∠ COF = \frac{1}{2}∠ COB = 60°$。
又因为$∠ AOC = ∠ BOD = 60°$（对顶角相等），所以$∠ AOF = ∠ AOC + ∠ COF = 60° + 60° = 120°$。
$120$
三、解答题
7. 如图，直线$AB$，$CD$交于点$O$，射线$OE$平分$∠ AOD$，$∠ BOD = 44^{\circ}$。
（1）求$∠ COE$的度数；
（2）在直线$CD$上方（与$E$同侧）作射线$OF ⊥ AB$于点$O$。请补全图形，并求$∠ EOF$的度数。
7. 如图，直线$AB$，$CD$交于点$O$，射线$OE$平分$∠ AOD$，$∠ BOD = 44^{\circ}$。
（1）求$∠ COE$的度数；
（2）在直线$CD$上方（与$E$同侧）作射线$OF ⊥ AB$于点$O$。请补全图形，并求$∠ EOF$的度数。
答案
7. (1) ∠COE=112° (2) 作图略，∠EOF=22°
解析
(1) 解：
∵直线$AB$，$CD$交于点$O$，$∠ BOD = 44^{\circ}$
$\therefore ∠ AOD=180^{\circ}-∠ BOD=180^{\circ}-44^{\circ}=136^{\circ}$，$∠ AOC = ∠ BOD = 44^{\circ}$
∵射线$OE$平分$∠ AOD$
$\therefore ∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×136^{\circ}=68^{\circ}$
$\therefore ∠ COE=∠ AOC+∠ AOE=44^{\circ}+68^{\circ}=112^{\circ}$
(2) 解：补全图形如下（此处省略作图过程，实际答题需按要求作图）
∵$OF⊥ AB$
$\therefore ∠ AOF = 90^{\circ}$
由(1)知$∠ AOE = 68^{\circ}$
$\therefore ∠ EOF=∠ AOF-∠ AOE=90^{\circ}-68^{\circ}=22^{\circ}$
∵直线$AB$，$CD$交于点$O$，$∠ BOD = 44^{\circ}$
$\therefore ∠ AOD=180^{\circ}-∠ BOD=180^{\circ}-44^{\circ}=136^{\circ}$，$∠ AOC = ∠ BOD = 44^{\circ}$
∵射线$OE$平分$∠ AOD$
$\therefore ∠ AOE=\frac{1}{2}∠ AOD=\frac{1}{2}×136^{\circ}=68^{\circ}$
$\therefore ∠ COE=∠ AOC+∠ AOE=44^{\circ}+68^{\circ}=112^{\circ}$
(2) 解：补全图形如下（此处省略作图过程，实际答题需按要求作图）
∵$OF⊥ AB$
$\therefore ∠ AOF = 90^{\circ}$
由(1)知$∠ AOE = 68^{\circ}$
$\therefore ∠ EOF=∠ AOF-∠ AOE=90^{\circ}-68^{\circ}=22^{\circ}$
