6 正方形的性质与判定(第1课时)
课堂精要·梳理内容
1.正方形的定义
有一组，并且有一个角是的平行四边形叫作正方形。
2.正方形的性质
文字语言：
① 正方形既是，又是，它具有的一切性质；
② 正方形的四个角，四条边；
③ 正方形的对角线。
图形及符号语言：
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ 。

④正方形既是对称图形，也是对称图形，共有条对称轴。
3.正方形的周长等于，
面积等于。

1.邻边相等 直角
2.①菱形 矩形 菱形与矩形
②都是直角 相等
③相等且互相垂直平分 ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=AD,AC=BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD
④轴 中心 4
3.边长的四倍 边长的平方

【分析】
本题是对正方形基础概念与性质的识记类考察，解题时需结合正方形与平行四边形、矩形、菱形的从属关系，回忆对应基础知识点逐一填写即可：首先明确正方形是同时具备菱形、矩形特征的特殊平行四边形，再依次梳理它的边、角、对角线性质，对称性质，以及周长、面积的计算方法，对应题干要求填空。
【解析】
1. 正方形的定义：平行四边形要满足“有一组邻边相等”时成为菱形，还要“有一个角是直角”时成为矩形，同时满足这两个特征的平行四边形就是正方形，因此依次填邻边相等、直角。
2. 正方形的性质：
① 正方形同时符合菱形、矩形的判定要求，因此它既是菱形，又是矩形，自然具有菱形与矩形的一切性质。
② 正方形作为特殊的矩形，四个角都是直角；作为特殊的菱形，四条边都相等。
③ 正方形的对角线同时具备矩形对角线相等、菱形对角线垂直平分的特征，因此性质为相等且互相垂直平分；对应的符号语言就是把边、角、对角线的性质用几何表达式写出，即∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=AD,AC=BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD。
④ 正方形沿对边中点连线、对角线折叠都可以和自身重合，因此是轴对称图形，共有4条对称轴；绕对角线交点旋转180°可以和自身重合，因此也是中心对称图形。
3. 正方形四条边长度相等，因此周长是边长的四倍；面积为相邻边的乘积，即边长的平方。
【答案】
1.邻边相等 直角
2.①菱形 矩形 菱形与矩形
②都是直角 相等
③相等且互相垂直平分 ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°,AB=BC=CD=AD,AC=BD,AC⊥BD,AO=OC=BO=OD
④轴 中心 4
3.边长的四倍 边长的平方
【知识点】
正方形的定义；正方形的性质；正方形周长与面积计算
【点评】
本题属于基础概念考察题，是正方形相关知识的入门内容，掌握好这部分内容是后续解决正方形相关证明、计算类题目的基础，只要牢记相关概念就能轻松作答。
【难度系数】
0.9

1.小华在整理平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质时，发现它们的对角线都具有的同一性质是（）。

A.相等
B.互相垂直
C.互相平分
D.平分一组对角

1.C

【分析】
要解决这道题，我们需要先明确平行四边形、矩形、菱形、正方形这四类四边形的对角线分别具有什么性质，再逐一核对四个选项，找出四类图形的对角线都满足的共同性质即可。思考时可以先回忆每类图形对角线的独有性质和共有性质，通过排除不符合的选项锁定答案。
【解析】
我们先梳理四类图形的对角线性质：
1. 平行四边形：对角线互相平分；
2. 矩形：对角线互相平分且相等；
3. 菱形：对角线互相垂直平分，且每条对角线平分一组对角；
4. 正方形：对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。
接下来逐一分析选项：
A选项“相等”：平行四边形、菱形的对角线不一定相等，不符合要求，排除；
B选项“互相垂直”：平行四边形、矩形的对角线不一定互相垂直，不符合要求，排除；
C选项“互相平分”：上述四类图形的对角线都满足互相平分的性质，符合要求；
D选项“平分一组对角”：平行四边形、矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合要求，排除。
【答案】
C
【知识点】
1. 平行四边形的性质
2. 矩形的性质
3. 菱形与正方形的性质
【点评】
本题属于基础类考题，核心考查平行四边形及特殊平行四边形的对角线性质的异同点，解题的关键在于熟练掌握各类四边形的性质，通过逐一排查即可快速得出答案，学习时要注意区分不同四边形的特有性质和共有性质，避免混淆。
【难度系数】
0.85

2.如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AE=AC,则∠BCE的度数是()。

A.$67.5°$
B.$22.5°$
C.$30°$
D.$45°$

2.B

【分析】
解题思路如下：首先利用正方形的性质，得到对角线AC与边AB、BC的夹角∠CAB、∠ACB均为45°；再根据AE=AC，可知△ACE是等腰三角形，结合三角形内角和定理算出底角∠ACE的度数；最后用∠ACE减去∠ACB的度数，即可得到∠BCE的度数。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线
∴∠CAB=∠ACB=45°
又
∵AE=AC，
∴△ACE为等腰三角形
∴∠ACE=∠E=$\frac{180°-∠ CAB}{2}=\frac{180°-45°}{2}=67.5°$
∴∠BCE=∠ACE - ∠ACB=67.5°-45°=22.5°
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，将正方形的性质与等腰三角形的性质结合考查，解题的关键是准确提取正方形对角线平分内角、等腰三角形两底角相等的隐含条件，计算难度较低。
【难度系数】
0.8

3.如图,过正方形ABCD的顶点B作直线l,过点A,C作直线l的垂线,垂足分别为E,F。若AE=1,CF=3,则AB的长为()。

A.$\sqrt{10}$
B.10
C.3
D.$\sqrt{5}$

3.A

【分析】
首先回忆正方形的性质：正方形四条边相等，四个内角均为直角。观察图形可得，AE、CF均垂直于直线l，因此△ABE和△BCF均为直角三角形。结合∠ABC=90°，可推出∠BAE和∠CBF都是∠ABE的余角，根据同角的余角相等得∠BAE=∠CBF，即可证明△ABE和△BCF全等。利用全等三角形对应边相等得到BE的长度，最后在Rt△ABE中用勾股定理计算AB的长度即可。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC，∠ABC=90°
∴∠ABE+∠CBF=90°
∵AE⊥l，CF⊥l
∴∠AEB=∠BFC=90°
∴∠ABE+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠CBF（同角的余角相等）
在△ABE和△BCF中：
$\{\begin{array}{l}∠ AEB=∠ BFC\\ ∠ BAE=∠ CBF\\ AB=BC\end{array} $
∴△ABE≌△BCF（AAS）
∴BE=CF=3
在Rt△ABE中，AE=1，BE=3，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【点评】
本题是基础几何综合题，解题的关键是利用同角的余角相等推导角相等，进而证明三角形全等，得到直角三角形的未知边长，再结合勾股定理求解，解题时要注意全等三角形对应边的对应关系不要混淆。
【难度系数】
0.7

4. 如图,正方形ABCD的边长为6,在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=4,则四边形EFGH的面积是()。

A.14
B.16
C.18
D.20

4.D

【分析】
解题可从两种思路入手：思路1（割补法）：先计算大正方形的总面积，再减去四个角全等直角三角形的总面积，即可得到四边形EFGH的面积；思路2（直接计算法）：先证明四个角的直角三角形全等，推导得出四边形EFGH是正方形，再用勾股定理计算边长后求面积，两种方法均符合当前学段知识要求。
【解析】
方法1（割补法）：
∵正方形ABCD的边长为6，
∴$S_{正方形ABCD}=6×6=36$。
∵$AE=BF=CG=DH=4$，
∴$AH=BE=CF=DG=6-4=2$。
∵正方形ABCD的四个内角均为直角，
∴$△ AEH、△ BFE、△ CGF、△ DHG$都是直角边为2和4的全等直角三角形，
单个三角形的面积为$\frac{1}{2}×2×4=4$，四个三角形的总面积为$4×4=16$。
∴$S_{四边形EFGH}=S_{正方形ABCD}-4S_{直角三角形}=36-16=20$。
方法2（直接计算法）：
由上述条件可证$△ AEH≌△ BFE≌△ CGF≌△ DHG$（SAS），因此$EH=EF=FG=GH$，
又
∵$∠ AEH+∠ BEF=90°$，
∴$∠ HEF=180°-90°=90°$，即四边形EFGH是正方形。
在$Rt△ AEH$中，由勾股定理得$EH=\sqrt{AE^2+AH^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}$，
∴$S_{正方形EFGH}=(\sqrt{20})^2=20$。
【答案】
D
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、勾股定理
【点评】
本题是正方形性质应用的常规基础题，解题时可灵活选择计算方法，能帮助巩固全等三角形、勾股定理与正方形相关的核心知识。
【难度系数】
0.7

5.如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G,观察图形,与∠AED相等的角有()。

A.4个
B.3个
C.2个
D.1个

5.B

【分析】
要找出与∠AED相等的角，我们可以按照以下思路推导：首先利用正方形的性质得到边、角的关系，结合已知AF=DE证明三角形全等，得到第一组等角；再利用直角三角形两锐角互余的性质推导第二组等角；最后利用正方形对边平行的性质，由内错角相等得到第三组等角，最后统计相等角的个数即可。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠DAE=∠ABF=∠ADC=90°，AB//CD。
在Rt△DAE和Rt△ABF中：
$\{\begin{array}{l}AD=AB\\ DE=AF\end{array} $
∴Rt△DAE≌Rt△ABF（HL），
∴∠AED=∠AFB，∠ADE=∠BAF。
∵∠DAE=90°，
∴∠ADE+∠AED=90°，
又
∵∠BAF+∠DAG=∠DAE=90°，且∠ADE=∠BAF，
∴∠AED=∠DAG（即∠DAF）。
∵AB//CD，
∴∠AED=∠CDE（两直线平行，内错角相等）。
综上，与∠AED相等的角有∠AFB、∠DAF、∠CDE，共3个。
【答案】
B
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行线的性质
【点评】
本题是正方形性质的基础应用类题目，解题关键是结合全等、直角三角形互余性质、平行线性质多角度寻找等角，做题时要注意全面推导，避免漏找相等的角。
【难度系数】
0.7

6.若正方形ABCD的边长AB=4，则它的对角线AC的长度为。

6.4√2

【分析】
解题时首先回忆正方形的性质：正方形的四条边长度相等，四个内角均为直角，因此正方形的对角线与相邻的两条边可以构成直角三角形，对角线为该直角三角形的斜边。已知边长的情况下，直接运用勾股定理即可求出对角线的长度。
【解析】
∵四边形ABCD是正方形，AB=4
∴AB=BC=4，∠B=90°，即△ABC为直角三角形
根据勾股定理，在Rt△ABC中：
$AC^2=AB^2+BC^2$
代入AB=BC=4得：
$AC^2=4^2+4^2=16+16=32$
∵AC为线段长度，取正值
∴$AC=\sqrt{32}=4\sqrt{2}$
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
正方形的性质、勾股定理的应用
【点评】
本题是基础类题目，主要考查对正方形边、角性质的掌握程度，以及勾股定理在直角三角形边长计算中的基础应用，只要掌握相关基础概念就能轻松解答。
【难度系数】
0.9