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8.已知点$P(a-1,a+2)$关于原点对称的点在第三象限，求$a$的取值范围.
答案
8. a＞1
解析
【分析】
解题时首先要利用关于原点对称的点的坐标规律，求出点P对应的对称点坐标；再结合第三象限内点的横、纵坐标均为负数的特征，列出关于a的一元一次不等式组，最后求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，
∴点$P(a-1,a+2)$关于原点对称的点的坐标为$(1-a, -a-2)$。
又
∵该对称点在第三象限，第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}1-a ＜ 0 \quad \mathrm{①} \\-a-2 ＜ 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：移项得$a ＞ 1$；
解不等式②：移项得$-a ＜ 2$，系数化为1得$a ＞ -2$。
根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$a ＞ 1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；各象限内点的坐标符号；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是基础类题目，将平面直角坐标系的坐标规律与不等式组求解结合，解题核心是准确写出对称点坐标，再结合象限的坐标符号特征列不等式求解，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要利用关于原点对称的点的坐标规律，求出点P对应的对称点坐标；再结合第三象限内点的横、纵坐标均为负数的特征，列出关于a的一元一次不等式组，最后求解不等式组即可得到a的取值范围。
【解析】
解：
∵关于原点对称的点的横、纵坐标都互为相反数，
∴点$P(a-1,a+2)$关于原点对称的点的坐标为$(1-a, -a-2)$。
又
∵该对称点在第三象限，第三象限内的点横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴可列不等式组：
$\begin{cases}1-a ＜ 0 \quad \mathrm{①} \\-a-2 ＜ 0 \quad \mathrm{②}\end{cases}$
解不等式①：移项得$a ＞ 1$；
解不等式②：移项得$-a ＜ 2$，系数化为1得$a ＞ -2$。
根据“同大取大”的原则，不等式组的解集为$a ＞ 1$。
【答案】
$a＞1$
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；各象限内点的坐标符号；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是基础类题目，将平面直角坐标系的坐标规律与不等式组求解结合，解题核心是准确写出对称点坐标，再结合象限的坐标符号特征列不等式求解，掌握相关基础概念即可轻松解答。
【难度系数】
0.8
9.一个正比例函数的图象经过点A(2，m)和点B(n，-6)。若点A与点B关于原点对称，则这个正比例函数的解析式为(
A.$y=3x$
B.$y=-3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y=-\frac{1}{3}x$
A
).A.$y=3x$
B.$y=-3x$
C.$y=\frac{1}{3}x$
D.$y=-\frac{1}{3}x$
答案
9. A
解析
【分析】
解题时先从“点A与点B关于原点对称”这个条件入手，首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数，据此先求出m和n的值，得到点A或点B的具体坐标；再利用待定系数法，将点的坐标代入正比例函数的一般形式$y=kx（k≠0）$中，求出系数k的值，即可得到函数解析式。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx$（$k≠0$）。
∵ 点A(2，m)和点B(n，-6)关于原点对称，
∴ 关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，可得：
$n=-2$，$m=-(-6)=6$，
即点A的坐标为(2，6)。
将A(2，6)代入$y=kx$，得：
$6=2k$，解得$k=3$，
∴ 这个正比例函数的解析式为$y=3x$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础的综合类小题，将平面直角坐标系中点的对称性质与正比例函数解析式的求解结合考查，只要熟练掌握相关基础概念，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时先从“点A与点B关于原点对称”这个条件入手，首先回忆关于原点对称的点的坐标特征：两个点关于原点对称时，它们的横、纵坐标均互为相反数，据此先求出m和n的值，得到点A或点B的具体坐标；再利用待定系数法，将点的坐标代入正比例函数的一般形式$y=kx（k≠0）$中，求出系数k的值，即可得到函数解析式。
【解析】
设该正比例函数的解析式为$y=kx$（$k≠0$）。
∵ 点A(2，m)和点B(n，-6)关于原点对称，
∴ 关于原点对称的点横、纵坐标互为相反数，可得：
$n=-2$，$m=-(-6)=6$，
即点A的坐标为(2，6)。
将A(2，6)代入$y=kx$，得：
$6=2k$，解得$k=3$，
∴ 这个正比例函数的解析式为$y=3x$。
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；待定系数法求正比例函数解析式
【点评】
本题是基础的综合类小题，将平面直角坐标系中点的对称性质与正比例函数解析式的求解结合考查，只要熟练掌握相关基础概念，就能快速解题。
【难度系数】
0.8
10.若关于$x$的方程$x^2 + mx + n = 0$的两个实数根分别为$x_1=-5,x_2=3$，则点$P(m,n)$关于原点对称的点的坐标是
(-2,15)
。答案
10. (-2,15)
解析
【分析】
解题需分两步完成：第一步，已知一元二次方程的两个实数根，可利用根与系数的关系（韦达定理）求出m、n的值，得到点P的坐标；第二步，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出对称点的坐标，计算过程中需注意符号的准确性。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，已知两根为$x_1=-5$，$x_2=3$，根据韦达定理：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{m}{1} = -m$
代入根的值：$-5 + 3 = -m$，解得$m=2$
两根之积：$x_1 x_2 = \frac{n}{1} = n$
代入根的值：$(-5) × 3 = n$，解得$n=-15$
因此点$P$的坐标为$(2,-15)$
根据关于原点对称的点的坐标规律：若点$(a,b)$关于原点对称，则对称点坐标为$(-a,-b)$
可得点$P(2,-15)$关于原点对称的点的坐标为$(-2,15)$
【答案】
$(-2,15)$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的根与系数关系和平面直角坐标系中点的对称规律相结合，只要熟练掌握两个核心知识点，代入计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
解题需分两步完成：第一步，已知一元二次方程的两个实数根，可利用根与系数的关系（韦达定理）求出m、n的值，得到点P的坐标；第二步，根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标均互为相反数，即可求出对称点的坐标，计算过程中需注意符号的准确性。
【解析】
对于一元二次方程$x^2 + mx + n = 0$，已知两根为$x_1=-5$，$x_2=3$，根据韦达定理：
两根之和：$x_1 + x_2 = -\frac{m}{1} = -m$
代入根的值：$-5 + 3 = -m$，解得$m=2$
两根之积：$x_1 x_2 = \frac{n}{1} = n$
代入根的值：$(-5) × 3 = n$，解得$n=-15$
因此点$P$的坐标为$(2,-15)$
根据关于原点对称的点的坐标规律：若点$(a,b)$关于原点对称，则对称点坐标为$(-a,-b)$
可得点$P(2,-15)$关于原点对称的点的坐标为$(-2,15)$
【答案】
$(-2,15)$
【知识点】
1. 一元二次方程根与系数的关系
2. 关于原点对称的点的坐标特征
【点评】
本题属于基础综合题，将一元二次方程的根与系数关系和平面直角坐标系中点的对称规律相结合，只要熟练掌握两个核心知识点，代入计算即可得到正确结果。
【难度系数】
0.8
11.如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点坐标分别是A(1,1),B(2,3),C(4,2).
(1)以点A为旋转中心,将△ABC顺时针转动90°,得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂;
(3)若△ABC上有一点P(m,n),则△A₂B₂C₂上对应点P₂的坐标为
(1)以点A为旋转中心,将△ABC顺时针转动90°,得到△A₁B₁C₁,画出△A₁B₁C₁;
(2)画出△ABC关于原点对称的△A₂B₂C₂;
(3)若△ABC上有一点P(m,n),则△A₂B₂C₂上对应点P₂的坐标为
(-m,-n)
.答案
11. (1)(2)略 (3) (-m,-n)
解析
【分析】
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 画旋转后的三角形：首先明确旋转中心为A，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°。先求出B、C两点相对于点A的相对坐标，再根据平面内点绕某点顺时针旋转90°的坐标变化规律得到旋转后B₁、C₁的坐标，A点旋转后位置不变，最后描点连线即可。
(2) 画关于原点对称的三角形：根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律，先求出A、B、C三点关于原点的对称点A₂、B₂、C₂的坐标，再依次描点连线。
(3) 求对应点坐标：直接套用关于原点对称的点的坐标特征即可得到结果。
【解析】
(1) 计算各点旋转后坐标：
点A旋转后位置不变，即A₁(1,1)；
点B相对于A的坐标为$(2-1,3-1)=(1,2)$，顺时针旋转90°后相对坐标变为$(2,-1)$，因此B₁的坐标为$(1+2,1-1)=(3,0)$；
点C相对于A的坐标为$(4-1,2-1)=(3,1)$，顺时针旋转90°后相对坐标变为$(1,-3)$，因此C₁的坐标为$(1+1,1-3)=(2,-2)$；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 计算关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此A₂$(-1,-1)$，B₂$(-2,-3)$，C₂$(-4,-2)$；
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，依次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数。因此点$P(m,n)$在△A₂B₂C₂上的对应点P₂的坐标为$(-m,-n)$。
【答案】
(1)(2)作图略；(3) $(-m,-n)$
【知识点】
旋转变换作图；关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，重点考查旋转变换和中心对称变换的作图方法及对应的坐标变化规律，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
本题分为三个小问，解题思路如下：
(1) 画旋转后的三角形：首先明确旋转中心为A，旋转方向为顺时针，旋转角度为90°。先求出B、C两点相对于点A的相对坐标，再根据平面内点绕某点顺时针旋转90°的坐标变化规律得到旋转后B₁、C₁的坐标，A点旋转后位置不变，最后描点连线即可。
(2) 画关于原点对称的三角形：根据“关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数”的规律，先求出A、B、C三点关于原点的对称点A₂、B₂、C₂的坐标，再依次描点连线。
(3) 求对应点坐标：直接套用关于原点对称的点的坐标特征即可得到结果。
【解析】
(1) 计算各点旋转后坐标：
点A旋转后位置不变，即A₁(1,1)；
点B相对于A的坐标为$(2-1,3-1)=(1,2)$，顺时针旋转90°后相对坐标变为$(2,-1)$，因此B₁的坐标为$(1+2,1-1)=(3,0)$；
点C相对于A的坐标为$(4-1,2-1)=(3,1)$，顺时针旋转90°后相对坐标变为$(1,-3)$，因此C₁的坐标为$(1+1,1-3)=(2,-2)$；
在坐标系中描出A₁、B₁、C₁，依次连接三点即可得到△A₁B₁C₁。
(2) 计算关于原点对称的点的坐标：
关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数，因此A₂$(-1,-1)$，B₂$(-2,-3)$，C₂$(-4,-2)$；
在坐标系中描出A₂、B₂、C₂，依次连接三点即可得到△A₂B₂C₂。
(3) 根据关于原点对称的点的坐标规律：若两点关于原点对称，则它们的横、纵坐标都互为相反数。因此点$P(m,n)$在△A₂B₂C₂上的对应点P₂的坐标为$(-m,-n)$。
【答案】
(1)(2)作图略；(3) $(-m,-n)$
【知识点】
旋转变换作图；关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化
【点评】
本题是平面直角坐标系中图形变换的基础题，重点考查旋转变换和中心对称变换的作图方法及对应的坐标变化规律，熟练掌握相关性质是解题的关键。
【难度系数】
0.8
12.在平面直角坐标系第二象限的点$P(x^2 -5x +1,3)$与点$Q(4x -1,y)$关于原点对称，试求$x - y$的值.
答案
12. 4
解析
【分析】
解题需先明确两个核心依据：①关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数；②第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0。首先根据原点对称的坐标特征列方程求出y的值和x的可能取值，再结合点P所在象限的坐标符号要求筛选出符合条件的x值，最后代入计算x-y即可。
【解析】
∵点$P(x^2 -5x +1,3)$与点$Q(4x -1,y)$关于原点对称
∴根据原点对称的点的坐标性质可得：
$\begin{cases}x^2 -5x +1 = -(4x -1) \\3 = -y\end{cases}$
先解纵坐标的方程：由$3=-y$，得$y=-3$
再解横坐标的方程：
$x^2 -5x +1 = -4x +1$
移项整理得：$x^2 -x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=1$
又
∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标$x^2 -5x +1 ＜ 0$
当$x=0$时，$x^2 -5x +1=1＞0$，不符合第二象限横坐标要求，舍去；
当$x=1$时，$x^2 -5x +1=1-5+1=-3＜0$，符合要求。
∴$x=1$，$y=-3$
则$x-y=1 - (-3)=4$
【答案】
4
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查原点对称性质的综合应用，易错点是容易忽略点所在象限的限制条件，未对x的解进行取舍导致错解，解题时要注意结合题目的隐含条件对结果进行验证。
【难度系数】
0.7
解题需先明确两个核心依据：①关于原点对称的两个点，横、纵坐标均互为相反数；②第二象限内的点横坐标小于0，纵坐标大于0。首先根据原点对称的坐标特征列方程求出y的值和x的可能取值，再结合点P所在象限的坐标符号要求筛选出符合条件的x值，最后代入计算x-y即可。
【解析】
∵点$P(x^2 -5x +1,3)$与点$Q(4x -1,y)$关于原点对称
∴根据原点对称的点的坐标性质可得：
$\begin{cases}x^2 -5x +1 = -(4x -1) \\3 = -y\end{cases}$
先解纵坐标的方程：由$3=-y$，得$y=-3$
再解横坐标的方程：
$x^2 -5x +1 = -4x +1$
移项整理得：$x^2 -x = 0$
因式分解得：$x(x-1)=0$
解得：$x_1=0$，$x_2=1$
又
∵点P在第二象限，
∴点P的横坐标$x^2 -5x +1 ＜ 0$
当$x=0$时，$x^2 -5x +1=1＞0$，不符合第二象限横坐标要求，舍去；
当$x=1$时，$x^2 -5x +1=1-5+1=-3＜0$，符合要求。
∴$x=1$，$y=-3$
则$x-y=1 - (-3)=4$
【答案】
4
【知识点】
关于原点对称的点的坐标特征；象限内点的坐标符号；一元二次方程的解法
【点评】
本题考查原点对称性质的综合应用，易错点是容易忽略点所在象限的限制条件，未对x的解进行取舍导致错解，解题时要注意结合题目的隐含条件对结果进行验证。
【难度系数】
0.7
13. 如图,在平面直角坐标系中,对$△ ABC$进行循环往复的轴对称或中心对称变换.若原来点A的坐标是$(a,b)$,则经过第2027次变换后所得的点A的对应点的坐标是
第1次
关于$x$轴对称
第2次
关于原点对称
第3次
关于$y$轴对称
第4次
关于$x$轴对称
(-a,b)
.第1次
关于$x$轴对称
第2次
关于原点对称
第3次
关于$y$轴对称
第4次
关于$x$轴对称
答案
13. (-a,b)
解析
【分析】
本题属于坐标对称变换的规律探究题，解题思路可分为三步：第一步，先明确三种对称变换对应的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。第二步，依次计算前几次变换后点A的坐标，找出变换的循环周期。第三步，用总变换次数除以周期，根据余数判断第2027次变换后对应的坐标与第几次变换的结果一致，即可得出答案。
【解析】
已知初始点A的坐标为$(a,b)$，依次计算每次变换后的坐标：
1. 第1次变换：关于x轴对称，坐标变为$\boldsymbol{(a,-b)}$；
2. 第2次变换：关于原点对称，坐标变为$\boldsymbol{(-a,b)}$；
3. 第3次变换：关于y轴对称，坐标变为$\boldsymbol{(a,b)}$，回到初始点坐标；
4. 第4次变换：关于x轴对称，坐标又变为$(a,-b)$，和第1次变换结果一致。
由此可知，变换每3次为一个循环周期。
计算$2027÷3=675······2$，即2027次变换包含675个完整周期，余下2次变换，因此第2027次变换后点A的坐标与第2次变换后的坐标相同，为$(-a,b)$。
【答案】
$(-a,b)$
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；图形变化规律探究
【点评】
本题核心是掌握不同对称变换下的坐标变化规则，通过计算前几次变换结果找到循环周期是解题的突破口，这类题型需要结合带余除法来确定最终对应的变换结果，属于基础规律探究题。
【难度系数】
0.7
本题属于坐标对称变换的规律探究题，解题思路可分为三步：第一步，先明确三种对称变换对应的坐标变化规律：关于x轴对称的点横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于原点对称的点横、纵坐标均互为相反数；关于y轴对称的点纵坐标不变，横坐标互为相反数。第二步，依次计算前几次变换后点A的坐标，找出变换的循环周期。第三步，用总变换次数除以周期，根据余数判断第2027次变换后对应的坐标与第几次变换的结果一致，即可得出答案。
【解析】
已知初始点A的坐标为$(a,b)$，依次计算每次变换后的坐标：
1. 第1次变换：关于x轴对称，坐标变为$\boldsymbol{(a,-b)}$；
2. 第2次变换：关于原点对称，坐标变为$\boldsymbol{(-a,b)}$；
3. 第3次变换：关于y轴对称，坐标变为$\boldsymbol{(a,b)}$，回到初始点坐标；
4. 第4次变换：关于x轴对称，坐标又变为$(a,-b)$，和第1次变换结果一致。
由此可知，变换每3次为一个循环周期。
计算$2027÷3=675······2$，即2027次变换包含675个完整周期，余下2次变换，因此第2027次变换后点A的坐标与第2次变换后的坐标相同，为$(-a,b)$。
【答案】
$(-a,b)$
【知识点】
关于坐标轴对称的点的坐标特征；关于原点对称的点的坐标特征；图形变化规律探究
【点评】
本题核心是掌握不同对称变换下的坐标变化规则，通过计算前几次变换结果找到循环周期是解题的突破口，这类题型需要结合带余除法来确定最终对应的变换结果，属于基础规律探究题。
【难度系数】
0.7
