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9.若点$P(m,n)$在抛物线$y=ax^2(a≠0)$上，则下列各点在抛物线$y=a(x+1)^2$上的是（
A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
D
）A.$(m,n+1)$
B.$(m+1,n)$
C.$(m,n-1)$
D.$(m-1,n)$
答案
9.D
10.若抛物线$y=2(x-1)^2$经过$(m,n)$和$(m+3,n)$两点，则$n$的值为（
A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{2}$
A
）A.$\frac{9}{2}$
B.$-\frac{9}{2}$
C.$1$
D.$-\frac{1}{2}$
答案
10.A
11.[几何直观]设函数$y_1=-(x-m)^2$，$y_2=-(x-n)^2$，直线$x=1$与函数$y_1,y_2$的图象分别交于点$A(1,a_1),B(1,a_2)$，得（
A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$
C
）A.若$1＜m＜n$，则$a_1＜a_2$
B.若$m＜1＜n$，则$a_1＜a_2$
C.若$m＜n＜1$，则$a_1＜a_2$
D.若$m＜n＜1$，则$a_2＜a_1$
答案
11.C
12.如图,抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$的顶点为A,与y轴交于点C.
(1)求点A,C的坐标;
(2)若$CD // x$轴交抛物线于另一点D,求CD的长.
(1)求点A,C的坐标;
(2)若$CD // x$轴交抛物线于另一点D,求CD的长.
答案
12.解:(1)$\because y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$，$\therefore$顶点A的坐标为$(2,0)$，抛物线$y=-\frac{1}{4}(x-2)^2$与y轴交于点C，令$x=0$，得$y=-1$，$\therefore C(0,-1)$.
(2)$\because A(2,0)$，$\therefore$对称轴为直线$x=2$，$\therefore C$的对称点为$(4,-1)$.
$\because CD// x$轴交抛物线于另一点D，$\therefore D(4,-1)$，$\therefore CD=4-0=4$.
(2)$\because A(2,0)$，$\therefore$对称轴为直线$x=2$，$\therefore C$的对称点为$(4,-1)$.
$\because CD// x$轴交抛物线于另一点D，$\therefore D(4,-1)$，$\therefore CD=4-0=4$.
13.已知点$P(m,a)$是抛物线$y=a(x-1)^2$上的点，且点$P$在第一象限内.
(1)求$m$的值；
(2)过$P$点作$PQ // x$轴交抛物线$y=a(x-1)^2$于点$Q$，若$a$的值为$3$，试求点$P$，$Q$及原点$O$围成的三角形的面积.
(1)求$m$的值；
(2)过$P$点作$PQ // x$轴交抛物线$y=a(x-1)^2$于点$Q$，若$a$的值为$3$，试求点$P$，$Q$及原点$O$围成的三角形的面积.
答案
13.解:(1)$\because$点$P(m,a)$是抛物线$y=a(x-1)^2$上的点，$\therefore a=a(m-1)^2$，解得$m=2$或$m=0$.$\because$点P在第一象限内，$\therefore m=2$.
(2)$\because a$的值为3，$\therefore$二次函数的解析式为$y=3(x-1)^2$.$\because$点P的横坐标为2，$\therefore$点P的纵坐标为$y=3(2-1)^2=3$，$\therefore$点P的坐标为$(2,3)$.$\because PQ// x$轴交抛物线$y=a(x-1)^2$于点Q，$\therefore 3=3(x-1)^2$，解得$x=2$或$x=0$，$\therefore$点Q的坐标为$(0,3)$，$\therefore PQ=2$，$\therefore S_{△ PQO}=\frac{1}{2}×3×2=3$.
(2)$\because a$的值为3，$\therefore$二次函数的解析式为$y=3(x-1)^2$.$\because$点P的横坐标为2，$\therefore$点P的纵坐标为$y=3(2-1)^2=3$，$\therefore$点P的坐标为$(2,3)$.$\because PQ// x$轴交抛物线$y=a(x-1)^2$于点Q，$\therefore 3=3(x-1)^2$，解得$x=2$或$x=0$，$\therefore$点Q的坐标为$(0,3)$，$\therefore PQ=2$，$\therefore S_{△ PQO}=\frac{1}{2}×3×2=3$.
14.[数形结合]如图,已知点$A(-5,8)$和点$B(1,n)$在抛物线$y=a(x+1)^2$上.
(1)①直接写出$a$和$n$的值；
②若抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$C$,连接$AB,BC,AC$,判断$△ ABC$的形状；
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$PA+PB$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
(1)①直接写出$a$和$n$的值；
②若抛物线$y=a(x+1)^2$的顶点为$C$,连接$AB,BC,AC$,判断$△ ABC$的形状；
(2)在$x$轴上是否存在一点$P$,使$PA+PB$的值最小?若存在,求出点$P$的坐标；若不存在,请说明理由.
答案
14.解:(1)①$a=\frac{1}{2},n=2$.
②由①得$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$\therefore$顶点C的坐标为$(-1,0)$.$\because AC=\sqrt{(-5+1)^2+8^2}=4\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(1+1)^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{(-5-1)^2+(8-2)^2}=6\sqrt{2}$，$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)在x轴上存在一点P，使$PA+PB$的值最小.作点B关于x轴的对称点$B'(1,-2)$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA+PB$的值最小.设直线$AB'$的函数表达式为$y=kx+b$.根据题意，得$\begin{cases}8=-5k+b,\\-2=k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{5}{3},\\b=-\frac{1}{3},\end{cases}$$\therefore y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$.当$y=0$时，$-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}=0$，解得$x=-\frac{1}{5}$，$\therefore$点P的坐标为$(-\frac{1}{5},0)$.
②由①得$y=\frac{1}{2}(x+1)^2$，$\therefore$顶点C的坐标为$(-1,0)$.$\because AC=\sqrt{(-5+1)^2+8^2}=4\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{(1+1)^2+2^2}=2\sqrt{2}$，$AB=\sqrt{(-5-1)^2+(8-2)^2}=6\sqrt{2}$，$\therefore AB^2+BC^2=AC^2$，$\therefore △ ABC$是直角三角形.
(2)在x轴上存在一点P，使$PA+PB$的值最小.作点B关于x轴的对称点$B'(1,-2)$，连接$AB'$交x轴于点P，此时$PA+PB$的值最小.设直线$AB'$的函数表达式为$y=kx+b$.根据题意，得$\begin{cases}8=-5k+b,\\-2=k+b,\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-\frac{5}{3},\\b=-\frac{1}{3},\end{cases}$$\therefore y=-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}$.当$y=0$时，$-\frac{5}{3}x-\frac{1}{3}=0$，解得$x=-\frac{1}{5}$，$\therefore$点P的坐标为$(-\frac{1}{5},0)$.
