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1.如图,下列各角是$△ ABC$的外角的是 （
A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$
C
）A.$∠ 1$
B.$∠ 2$
C.$∠ 3$
D.$∠ 4$
答案
1.C
解析
【分析】
要判断一个角是不是三角形的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，它需要满足三个特征：顶点是三角形的一个顶点，一条边是三角形的边，另一条边是三角形某条边的延长线。我们只需要对照这三个特征逐一判断每个选项的角是否符合，就能选出正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义，逐一分析选项：
选项A：∠1的顶点是△ABC的顶点A，但它的两条边都是△ABC两边的反向延长线，是∠BAC的对顶角，不符合外角定义，故A错误；
选项B：∠2的顶点是△ABC的顶点C，但它的两条边都不满足“一条为三角形的边、另一条为三角形边的延长线”的要求，不符合外角定义，故B错误；
选项C：∠3的顶点是△ABC的顶点B，一条边是△ABC的边BC，另一条边是△ABC的边AB的延长线，完全符合三角形外角的定义，故C正确；
选项D：∠4的顶点是△ABC的顶点C，两条边均不满足外角的构成要求，不符合外角定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形外角的三个特征，结合图形逐一判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
要判断一个角是不是三角形的外角，首先要明确三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，它需要满足三个特征：顶点是三角形的一个顶点，一条边是三角形的边，另一条边是三角形某条边的延长线。我们只需要对照这三个特征逐一判断每个选项的角是否符合，就能选出正确答案。
【解析】
根据三角形外角的定义，逐一分析选项：
选项A：∠1的顶点是△ABC的顶点A，但它的两条边都是△ABC两边的反向延长线，是∠BAC的对顶角，不符合外角定义，故A错误；
选项B：∠2的顶点是△ABC的顶点C，但它的两条边都不满足“一条为三角形的边、另一条为三角形边的延长线”的要求，不符合外角定义，故B错误；
选项C：∠3的顶点是△ABC的顶点B，一条边是△ABC的边BC，另一条边是△ABC的边AB的延长线，完全符合三角形外角的定义，故C正确；
选项D：∠4的顶点是△ABC的顶点C，两条边均不满足外角的构成要求，不符合外角定义，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
三角形外角的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题的关键是准确掌握三角形外角的三个特征，结合图形逐一判断即可，难度较低。
【难度系数】
0.85
2.如图，以$∠ AOD$为外角的三角形是
$△ AOB$ 和$△ COD$
.答案
2.$△ AOB$ 和$△ COD$
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，外角需满足顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线。接下来观察图形，对角线AC、BD交于点O，因此A、O、C共线，B、O、D共线。先看∠AOD的顶点为O，两条边为射线OA、射线OD：首先对应△AOB，OA是△AOB的边，OD是△AOB的边OB的延长线，符合外角定义；再对应△COD，OD是△COD的边，OA是△COD的边OC的延长线，也符合外角定义，即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
由图可知，平行四边形的对角线AC、BD相交于点O，因此点A、O、C在同一直线上，点B、O、D在同一直线上：
1. 对于△AOB，∠AOB是它的内角，∠AOD与∠AOB互为邻补角，其中OA是△AOB的边，OD是△AOB的边OB的延长线，因此∠AOD是△AOB的外角；
2. 对于△COD，∠COD是它的内角，∠AOD与∠COD互为邻补角，其中OD是△COD的边，OA是△COD的边OC的延长线，因此∠AOD是△COD的外角。
【答案】
$△ AOB$和$△ COD$
【知识点】
三角形外角的定义，邻补角的概念
【点评】
本题考查对三角形外角定义的掌握，解题时要紧扣外角的构成特征，结合图形中相交线的共线特点逐一排查，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角，外角需满足顶点在三角形的一个顶点上，一条边是三角形的边，另一条边是三角形另一边的延长线。接下来观察图形，对角线AC、BD交于点O，因此A、O、C共线，B、O、D共线。先看∠AOD的顶点为O，两条边为射线OA、射线OD：首先对应△AOB，OA是△AOB的边，OD是△AOB的边OB的延长线，符合外角定义；再对应△COD，OD是△COD的边，OA是△COD的边OC的延长线，也符合外角定义，即可得出答案。
【解析】
根据三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角。
由图可知，平行四边形的对角线AC、BD相交于点O，因此点A、O、C在同一直线上，点B、O、D在同一直线上：
1. 对于△AOB，∠AOB是它的内角，∠AOD与∠AOB互为邻补角，其中OA是△AOB的边，OD是△AOB的边OB的延长线，因此∠AOD是△AOB的外角；
2. 对于△COD，∠COD是它的内角，∠AOD与∠COD互为邻补角，其中OD是△COD的边，OA是△COD的边OC的延长线，因此∠AOD是△COD的外角。
【答案】
$△ AOB$和$△ COD$
【知识点】
三角形外角的定义，邻补角的概念
【点评】
本题考查对三角形外角定义的掌握，解题时要紧扣外角的构成特征，结合图形中相交线的共线特点逐一排查，避免出现漏解的情况。
【难度系数】
0.8
3.(2024·洛龙期中)一副三角板拼成如图所示的图形，那么∠DAC的度数为 （
A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
变式1图
D
）A.$60°$
B.$75°$
C.$90°$
D.$105°$
变式1图
答案
3.D
解析
【分析】
解决本题首先要牢记一副标准三角板的固定内角度数：含30°角的直角三角板的三个内角分别为30°、60°、90°，等腰直角三角板的三个内角分别为45°、45°、90°。接下来观察图形拼接特征，可发现两个三角板的两个锐角与所求的∠DAC共同组成一个平角（180°），因此只需用平角的度数减去两个已知锐角的度数，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：一副三角板的固定内角度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。
由拼接图形可知，B、A、D三点共线，因此∠BAD为平角，度数为180°，
其中30°角三角板的锐角∠BAC=30°，等腰直角三角板的锐角为45°，
因此∠DAC = 180° - 30° - 45° = 105°。
【答案】
D
【知识点】
三角板角度特征；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度运算题，解题的关键是熟悉三角板的固有角度，准确识别拼接图形中各角的位置关系，结合平角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
解决本题首先要牢记一副标准三角板的固定内角度数：含30°角的直角三角板的三个内角分别为30°、60°、90°，等腰直角三角板的三个内角分别为45°、45°、90°。接下来观察图形拼接特征，可发现两个三角板的两个锐角与所求的∠DAC共同组成一个平角（180°），因此只需用平角的度数减去两个已知锐角的度数，即可求出∠DAC的度数。
【解析】
解：一副三角板的固定内角度数分别为30°、60°、90°和45°、45°、90°。
由拼接图形可知，B、A、D三点共线，因此∠BAD为平角，度数为180°，
其中30°角三角板的锐角∠BAC=30°，等腰直角三角板的锐角为45°，
因此∠DAC = 180° - 30° - 45° = 105°。
【答案】
D
【知识点】
三角板角度特征；平角的定义
【点评】
本题是基础的角度运算题，解题的关键是熟悉三角板的固有角度，准确识别拼接图形中各角的位置关系，结合平角的性质即可快速求解。
【难度系数】
0.85
【变式1】将一副三角尺按如图所示的方式叠放，则∠1的度数为（
A.45°
B.60°
C.75°
D.15°
C
）A.45°
B.60°
C.75°
D.15°
答案
【变式1】C
解析
【分析】
解题首先要明确一副三角尺各角的固定度数：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，另一个直角三角尺的两个锐角分别为30°、60°。其次观察图形找到与∠1相关的三角形内角，结合三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可快速计算出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，叠放后与∠1不相邻的两个内角分别为30°和45°。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ 1=30°+45°=75°$
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合常见的三角尺叠放场景设置考点，只要熟记三角尺的固定角度，熟练掌握三角形外角的性质即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题首先要明确一副三角尺各角的固定度数：等腰直角三角尺的两个锐角均为45°，另一个直角三角尺的两个锐角分别为30°、60°。其次观察图形找到与∠1相关的三角形内角，结合三角形外角的性质（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和），即可快速计算出∠1的度数。
【解析】
解：由三角尺的角度特征可知，叠放后与∠1不相邻的两个内角分别为30°和45°。
根据三角形外角的性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得：
$∠ 1=30°+45°=75°$
【答案】
C
【知识点】
三角尺的角度特征；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础角度计算题，结合常见的三角尺叠放场景设置考点，只要熟记三角尺的固定角度，熟练掌握三角形外角的性质即可准确作答。
【难度系数】
0.8
【变式2】(2025·沈阳期末)将一副三角板按如图所示的方式放置，使两条直角边重叠，则∠1的度数是（
A.75°
B.50°
C.45°
D.30°
变式2图 第4题图
A
）A.75°
B.50°
C.45°
D.30°
变式2图 第4题图
答案
【变式2】A
解析
【分析】
首先明确一副三角板各角的度数：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角板的锐角为30°和60°。观察图形可知∠1是某个三角形的外角，可利用三角形外角的性质求解，只需找到与∠1不相邻的两个内角的度数，代入性质公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据三角板的角度特征，等腰直角三角板的锐角为45°，另一块三角板的30°角已知。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可得，∠1是对应三角形的外角，和它不相邻的两个内角分别为45°和30°，因此：
∠1=45°+30°=75°
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的放置考查三角形外角性质的应用，解题关键是熟悉三角板的固定角度，准确梳理角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
首先明确一副三角板各角的度数：等腰直角三角板的两个锐角均为45°，含30°角的直角三角板的锐角为30°和60°。观察图形可知∠1是某个三角形的外角，可利用三角形外角的性质求解，只需找到与∠1不相邻的两个内角的度数，代入性质公式计算即可得到结果。
【解析】
解：根据三角板的角度特征，等腰直角三角板的锐角为45°，另一块三角板的30°角已知。
根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
观察图形可得，∠1是对应三角形的外角，和它不相邻的两个内角分别为45°和30°，因此：
∠1=45°+30°=75°
【答案】
A
【知识点】
三角形外角的性质，三角板角度特征
【点评】
本题结合三角板的放置考查三角形外角性质的应用，解题关键是熟悉三角板的固定角度，准确梳理角之间的数量关系。
【难度系数】
0.8
4.(2025·西安期末)如图,将直尺与含$30°$角的三角板摆放在一起,若$∠ 1=20°$,则$∠ 2$的度数是
$50°$
.答案
4.$50°$
解析
【分析】
首先明确直尺的对边互相平行，含30°角的三角板的固定锐角为30°。解题时先利用三角形外角的性质，求出与∠2互为同位角的外角的度数，再根据平行线的性质即可得到∠2的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得
与∠2为同位角的外角度数 = ∠1 + 30° = 20° + 30° = 50°
∵ 直尺的上下对边互相平行，两直线平行，同位角相等
∴ ∠2 = 50°
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合直尺、三角板的常见摆放场景考查几何基础性质的应用，解题关键是找准角度间的数量关系以及平行线对应的相等角，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
首先明确直尺的对边互相平行，含30°角的三角板的固定锐角为30°。解题时先利用三角形外角的性质，求出与∠2互为同位角的外角的度数，再根据平行线的性质即可得到∠2的度数。
【解析】
解：根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可得
与∠2为同位角的外角度数 = ∠1 + 30° = 20° + 30° = 50°
∵ 直尺的上下对边互相平行，两直线平行，同位角相等
∴ ∠2 = 50°
【答案】
$50°$
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合直尺、三角板的常见摆放场景考查几何基础性质的应用，解题关键是找准角度间的数量关系以及平行线对应的相等角，是几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.8
5.(教材 P17 习题 T8 变式)如图,在$△ ABC$中,$F,E$分别是$AB,AC$上的点,连接$FE$并延长交$BC$的延长线于点$D$,若$∠ A=45°,∠ B=50°,∠ D=26°$,求$∠ AED$的度数.
答案
5.$∠ ACD=∠ A+∠ B=45°+50°=95°,\therefore∠ AED=∠ ACD+∠ D=95°+26°=121°$
解析
【分析】
要求∠AED的度数，可利用三角形外角的性质分步推导：首先观察图形可知，∠ACD是△ABC的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可先由已知的∠A和∠B求出∠ACD的度数；再判断∠AED是△DCE的外角，再次利用三角形外角的性质，用求出的∠ACD加上已知的∠D，即可得到∠AED的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴$∠ ACD=∠ A+∠ B=45°+50°=95°$
又
∵∠AED是△DCE的外角
∴$∠ AED=∠ ACD+∠ D=95°+26°=121°$
【答案】
$121°$
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题核心是准确识别图形中的外角，明确外角对应的两个不相邻内角，代入数值计算即可，注意不要混淆外角对应的内角，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
要求∠AED的度数，可利用三角形外角的性质分步推导：首先观察图形可知，∠ACD是△ABC的外角，根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和”，可先由已知的∠A和∠B求出∠ACD的度数；再判断∠AED是△DCE的外角，再次利用三角形外角的性质，用求出的∠ACD加上已知的∠D，即可得到∠AED的度数。
【解析】
解：
∵∠ACD是△ABC的外角
∴$∠ ACD=∠ A+∠ B=45°+50°=95°$
又
∵∠AED是△DCE的外角
∴$∠ AED=∠ ACD+∠ D=95°+26°=121°$
【答案】
$121°$
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是三角形外角性质的基础应用题，解题核心是准确识别图形中的外角，明确外角对应的两个不相邻内角，代入数值计算即可，注意不要混淆外角对应的内角，避免计算错误。
【难度系数】
0.8
6. 体育 如图①是小玲做仰卧起坐时的一个状态，图②是示意图，已知$∠ EDG = 96°$，$∠ ECD = 54°$，则$∠ E =$
$42°$
。答案
6.$42°$
解析
【分析】
这道题可利用三角形外角的性质求解。首先观察图形，∠EDG是△CDE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠EDG等于∠ECD和∠E的和，已知两个角的度数，作差即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵∠EDG是△CDE的外角，
根据三角形外角的性质可得：$∠ EDG = ∠ ECD + ∠ E$，
∴$∠ E = ∠ EDG - ∠ ECD$，
代入$∠ EDG=96°$，$∠ ECD=54°$，
得$∠ E = 96° - 54° = 42°$。
【答案】
$42°$
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形外角性质的基础应用，解题的关键是准确判断出外角对应的两个不相邻内角，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
这道题可利用三角形外角的性质求解。首先观察图形，∠EDG是△CDE的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，可知∠EDG等于∠ECD和∠E的和，已知两个角的度数，作差即可求出∠E的度数。
【解析】
解：
∵∠EDG是△CDE的外角，
根据三角形外角的性质可得：$∠ EDG = ∠ ECD + ∠ E$，
∴$∠ E = ∠ EDG - ∠ ECD$，
代入$∠ EDG=96°$，$∠ ECD=54°$，
得$∠ E = 96° - 54° = 42°$。
【答案】
$42°$
【知识点】
三角形外角的性质
【点评】
本题是对三角形外角性质的基础应用，解题的关键是准确判断出外角对应的两个不相邻内角，代入数值计算即可。
【难度系数】
0.8
7. 交通 如图①所示的是一辆自行车的实物图，图②是抽象出来的部分示意图，已知直线EF与BD相交于点P，AB//CD，∠P=15°，∠CFP=100°，则∠ABP的大小为
$85°$
。答案
7.$85°$
解析
【分析】
解题时可先结合已知条件梳理角的关系：要求∠ABP的度数，已知AB//CD，根据平行线的性质可将问题转化为求与∠ABP相等的∠CDP的度数；再观察已知的∠CFP和∠P，二者和∠CDP满足三角形外角的数量关系，利用三角形外角的性质即可算出∠CDP的度数，进而得到∠ABP的大小。
【解析】
解：
∵∠CFP是△PDF的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠CFP = ∠P + ∠CDP
代入∠P=15°，∠CFP=100°，可得：
∠CDP = ∠CFP - ∠P = 100° - 15° = 85°
又
∵AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”
∴∠ABP = ∠CDP = 85°
【答案】
85°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的自行车场景考查几何基础运算，解题的核心是通过平行线的性质对角进行转化，再结合三角形外角的性质计算角度，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题时可先结合已知条件梳理角的关系：要求∠ABP的度数，已知AB//CD，根据平行线的性质可将问题转化为求与∠ABP相等的∠CDP的度数；再观察已知的∠CFP和∠P，二者和∠CDP满足三角形外角的数量关系，利用三角形外角的性质即可算出∠CDP的度数，进而得到∠ABP的大小。
【解析】
解：
∵∠CFP是△PDF的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和
∴∠CFP = ∠P + ∠CDP
代入∠P=15°，∠CFP=100°，可得：
∠CDP = ∠CFP - ∠P = 100° - 15° = 85°
又
∵AB//CD，根据“两直线平行，同位角相等”
∴∠ABP = ∠CDP = 85°
【答案】
85°
【知识点】
平行线的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题结合生活中的自行车场景考查几何基础运算，解题的核心是通过平行线的性质对角进行转化，再结合三角形外角的性质计算角度，属于基础题型，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
8. 电力如图①是路边一路灯的实物图，图②为其平面示意图，已知$∠ NBC=140°$，$∠ CAB=110°$，则$∠ ACB=$
$30°$
。答案
8.$30°$
解析
【分析】解题时先明确图中直线MN形成的平角关系：∠NBC与∠ABC是邻补角，和为180°，据此先算出∠ABC的度数；再根据三角形内角和为180°，代入已知的∠CAB和求出的∠ABC的度数，就能计算出∠ACB的度数，也可利用三角形外角的性质直接推导。
【解析】
∵ 点A、B在直线MN上，∠NBC=140°，
∴ ∠ABC = 180° - ∠NBC = 180° - 140° = 40°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ACB + ∠CAB + ∠ABC = 180°，
已知∠CAB=110°，代入得：
∠ACB = 180° - 110° - 40° = 30°。
【答案】30°
【知识点】邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】本题属于角度计算的基础题，核心是结合图形识别角的位置关系，熟练运用邻补角和三角形内角和的相关性质即可求解，计算量小，难度较低。
【难度系数】0.8
【解析】
∵ 点A、B在直线MN上，∠NBC=140°，
∴ ∠ABC = 180° - ∠NBC = 180° - 140° = 40°，
在△ABC中，由三角形内角和定理得：
∠ACB + ∠CAB + ∠ABC = 180°，
已知∠CAB=110°，代入得：
∠ACB = 180° - 110° - 40° = 30°。
【答案】30°
【知识点】邻补角的性质；三角形内角和定理
【点评】本题属于角度计算的基础题，核心是结合图形识别角的位置关系，熟练运用邻补角和三角形内角和的相关性质即可求解，计算量小，难度较低。
【难度系数】0.8
