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2. 如图，在四边形ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，∠1=∠3，∠2=∠C，F是AD延长线上一点，连接EF，交CD于点G.
(1)试说明$AD// BC$.
(2)$∠ 2=∠ 4$吗？请说明理由.
(3)若$∠ C+∠ F=90°$，试说明CD与EF的位置关系.
(1)试说明$AD// BC$.
(2)$∠ 2=∠ 4$吗？请说明理由.
(3)若$∠ C+∠ F=90°$，试说明CD与EF的位置关系.
答案
2.(1)由题意可得$∠1=∠2. ∵∠1=∠3$，
$∴∠2=∠3. ∴AD// BC.$
(2)$∠2=∠4.$理由：$∵AD// BC,∴∠4=∠C. ∵∠2=∠C,∴∠2=∠4.$
(3)$∵AD// BC,∴∠F=∠FEC. ∵∠2=∠4,∴AE// DC. ∴∠3=∠C. ∵∠C+∠F=90°,∴∠3+∠FEC=90°. ∴∠AEF=180°-∠3-∠FEC=90°. ∴∠CGE=∠AEF=90°. ∴CD⊥EF.$
$∴∠2=∠3. ∴AD// BC.$
(2)$∠2=∠4.$理由：$∵AD// BC,∴∠4=∠C. ∵∠2=∠C,∴∠2=∠4.$
(3)$∵AD// BC,∴∠F=∠FEC. ∵∠2=∠4,∴AE// DC. ∴∠3=∠C. ∵∠C+∠F=90°,∴∠3+∠FEC=90°. ∴∠AEF=180°-∠3-∠FEC=90°. ∴∠CGE=∠AEF=90°. ∴CD⊥EF.$
解析
【分析】
(1)要证$AD// BC$，可通过推导内错角相等证明。已知AE平分$∠ BAD$，根据角平分线定义可得$∠1=∠2$，结合已知$∠1=∠3$，等量代换可得一组内错角相等，即可证得两直线平行。
(2)判断$∠2$和$∠4$是否相等，可借助第一问得到的$AD// BC$的结论推导。由平行线性质可得$∠4=∠ C$，再结合已知$∠2=∠ C$，等量代换即可得出两角的关系。
(3)判断CD与EF的位置关系，可推导二者夹角是否为直角。首先由$∠2=∠4$可证$AE// DC$，结合$AD// BC$的性质得到角的等量关系，代入$∠ C+∠ F=90°$即可推出夹角为$90°$，得到垂直关系。
【解析】
(1)证明：$\because$AE平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠1=∠2$（角平分线的定义），
又$\because ∠1=∠3$（已知），
$\therefore ∠2=∠3$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2)$∠2=∠4$，理由如下：
$\because AD// BC$（已证），
$\therefore ∠4=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠2=∠ C$（已知），
$\therefore ∠2=∠4$（等量代换）。
(3)$CD⊥ EF$，理由如下：
$\because AD// BC$（已证），
$\therefore ∠ F=∠ FEC$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠2=∠4$（已证），
$\therefore AE// DC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠3=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ C+∠ F=90°$（已知），
$\therefore ∠3+∠ FEC=90°$（等量代换），
$\therefore ∠ AEF=180°-∠3-∠ FEC=90°$（平角的定义），
$\because AE// DC$，
$\therefore ∠ CGE=∠ AEF=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore CD⊥ EF$（垂直的定义）。
【答案】
(1)$AD// BC$，证明如上；
(2)$∠2=∠4$，理由如上；
(3)$CD⊥ EF$，理由如上。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂直的判定
【点评】
本题是平行线相关知识的综合应用题，解题时要注意前一小问的结论可作为后一小问的已知条件使用，需要熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，学会通过角的等量关系推导直线的位置关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
(1)要证$AD// BC$，可通过推导内错角相等证明。已知AE平分$∠ BAD$，根据角平分线定义可得$∠1=∠2$，结合已知$∠1=∠3$，等量代换可得一组内错角相等，即可证得两直线平行。
(2)判断$∠2$和$∠4$是否相等，可借助第一问得到的$AD// BC$的结论推导。由平行线性质可得$∠4=∠ C$，再结合已知$∠2=∠ C$，等量代换即可得出两角的关系。
(3)判断CD与EF的位置关系，可推导二者夹角是否为直角。首先由$∠2=∠4$可证$AE// DC$，结合$AD// BC$的性质得到角的等量关系，代入$∠ C+∠ F=90°$即可推出夹角为$90°$，得到垂直关系。
【解析】
(1)证明：$\because$AE平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠1=∠2$（角平分线的定义），
又$\because ∠1=∠3$（已知），
$\therefore ∠2=∠3$（等量代换），
$\therefore AD// BC$（内错角相等，两直线平行）。
(2)$∠2=∠4$，理由如下：
$\because AD// BC$（已证），
$\therefore ∠4=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
又$\because ∠2=∠ C$（已知），
$\therefore ∠2=∠4$（等量代换）。
(3)$CD⊥ EF$，理由如下：
$\because AD// BC$（已证），
$\therefore ∠ F=∠ FEC$（两直线平行，内错角相等），
$\because ∠2=∠4$（已证），
$\therefore AE// DC$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠3=∠ C$（两直线平行，同位角相等），
$\because ∠ C+∠ F=90°$（已知），
$\therefore ∠3+∠ FEC=90°$（等量代换），
$\therefore ∠ AEF=180°-∠3-∠ FEC=90°$（平角的定义），
$\because AE// DC$，
$\therefore ∠ CGE=∠ AEF=90°$（两直线平行，同位角相等），
$\therefore CD⊥ EF$（垂直的定义）。
【答案】
(1)$AD// BC$，证明如上；
(2)$∠2=∠4$，理由如上；
(3)$CD⊥ EF$，理由如上。
【知识点】
平行线的判定与性质；角平分线的定义；垂直的判定
【点评】
本题是平行线相关知识的综合应用题，解题时要注意前一小问的结论可作为后一小问的已知条件使用，需要熟练掌握平行线的判定定理和性质定理，学会通过角的等量关系推导直线的位置关系，能有效锻炼逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
3.夏日炎炎，某校为了给学生提供更舒适的学习环境，决定购买A，B两种空调。已知购买1台A种空调和3台B种空调共需9 300元；购买3台A种空调和2台B种空调共需13 200元。
(1)求A，B两种空调每台的价格；
(2)若该校准备购买A，B两种空调共50台，且A种空调数量不小于B种空调数量的2倍，则该校至少要购买A种空调多少台？
(1)求A，B两种空调每台的价格；
(2)若该校准备购买A，B两种空调共50台，且A种空调数量不小于B种空调数量的2倍，则该校至少要购买A种空调多少台？
答案
3.(1)设 A 种空调每台的价格是 x 元，B种空调每台的价格是 y 元，依题意得
$\begin{cases}x+3y=9\ 300,\\3x+2y=13\ 200,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=3\ 000,\\y=2\ 100.\end{cases}$
答:A种空调每台的价格是3 000元,B种空调每台的价格是2 100元.
(2)设该校购买 A 种空调 m 台,则购买 B种空调$(50-m)$台,依题意得,$m≥2(50-m)$,解得$m≥33\dfrac{1}{3}.∵m$是正整数,$∴m$的最小值为 34.答:该校至少要购买 A 种空调 34 台.
$\begin{cases}x+3y=9\ 300,\\3x+2y=13\ 200,\end{cases}$ 解得$\begin{cases}x=3\ 000,\\y=2\ 100.\end{cases}$
答:A种空调每台的价格是3 000元,B种空调每台的价格是2 100元.
(2)设该校购买 A 种空调 m 台,则购买 B种空调$(50-m)$台,依题意得,$m≥2(50-m)$,解得$m≥33\dfrac{1}{3}.∵m$是正整数,$∴m$的最小值为 34.答:该校至少要购买 A 种空调 34 台.
解析
【分析】
（1）第一问可通过提炼题干中的两个等量关系，列二元一次方程组求解：已知1台A种空调加3台B种空调总费用为9300元，3台A种空调加2台B种空调总费用为13200元，设A、B两种空调单价分别为x元、y元，将等量关系转化为方程组，解方程组即可得到两种空调的单价。
（2）第二问需根据不等关系列一元一次不等式求解：已知两种空调总采购量为50台，设采购A种空调m台，即可表示出B种空调的采购量，结合“A种空调数量不小于B种空调数量的2倍”的要求列不等式，再结合空调台数为正整数的实际限制，就能求出A种空调的最少采购量。
【解析】
(1)设A种空调每台的价格是x元，B种空调每台的价格是y元，依题意得：
$\begin{cases}x+3y=9\ 300\\3x+2y=13\ 200\end{cases}$
用代入消元法求解，由第一个方程得$x=9300-3y$，代入第二个方程：
$3(9300-3y)+2y=13200$
$27900-9y+2y=13200$
$-7y=-14700$
解得$y=2100$
将$y=2100$代入$x=9300-3y$，得$x=9300-3×2100=3000$
即方程组的解为$\begin{cases}x=3\ 000\\y=2\ 100\end{cases}$
答:A种空调每台的价格是3 000元,B种空调每台的价格是2 100元。
(2)设该校购买A种空调m台,则购买B种空调$(50-m)$台,依题意得：
$m≥2(50-m)$
解不等式：
$m≥100-2m$
$3m≥100$
$m≥33\dfrac{1}{3}$
∵m是正整数,
∴m的最小值为34。
答:该校至少要购买A种空调34台。
【答案】
(1)A种空调每台3000元，B种空调每台2100元；
(2)至少购买A种空调34台。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，转化为对应的数学模型求解，求解时要注意结合实际场景，空调台数必须取正整数，这类题目侧重考查信息梳理能力和基础运算能力，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可通过提炼题干中的两个等量关系，列二元一次方程组求解：已知1台A种空调加3台B种空调总费用为9300元，3台A种空调加2台B种空调总费用为13200元，设A、B两种空调单价分别为x元、y元，将等量关系转化为方程组，解方程组即可得到两种空调的单价。
（2）第二问需根据不等关系列一元一次不等式求解：已知两种空调总采购量为50台，设采购A种空调m台，即可表示出B种空调的采购量，结合“A种空调数量不小于B种空调数量的2倍”的要求列不等式，再结合空调台数为正整数的实际限制，就能求出A种空调的最少采购量。
【解析】
(1)设A种空调每台的价格是x元，B种空调每台的价格是y元，依题意得：
$\begin{cases}x+3y=9\ 300\\3x+2y=13\ 200\end{cases}$
用代入消元法求解，由第一个方程得$x=9300-3y$，代入第二个方程：
$3(9300-3y)+2y=13200$
$27900-9y+2y=13200$
$-7y=-14700$
解得$y=2100$
将$y=2100$代入$x=9300-3y$，得$x=9300-3×2100=3000$
即方程组的解为$\begin{cases}x=3\ 000\\y=2\ 100\end{cases}$
答:A种空调每台的价格是3 000元,B种空调每台的价格是2 100元。
(2)设该校购买A种空调m台,则购买B种空调$(50-m)$台,依题意得：
$m≥2(50-m)$
解不等式：
$m≥100-2m$
$3m≥100$
$m≥33\dfrac{1}{3}$
∵m是正整数,
∴m的最小值为34。
答:该校至少要购买A种空调34台。
【答案】
(1)A种空调每台3000元，B种空调每台2100元；
(2)至少购买A种空调34台。
【知识点】
二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用
【点评】
本题是典型的实际应用类题型，解题关键是准确提取题干中的等量、不等关系，转化为对应的数学模型求解，求解时要注意结合实际场景，空调台数必须取正整数，这类题目侧重考查信息梳理能力和基础运算能力，属于基础常考题型。
【难度系数】
0.7
