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1. 下列函数中是二次函数的是 (
A.$y = 5x - 1$
B.$y = 3x^2 - 1$
C.$y = (x + 1)^2 - x^2$
D.$y = \sqrt{x^2 - 1}$
B
)A.$y = 5x - 1$
B.$y = 3x^2 - 1$
C.$y = (x + 1)^2 - x^2$
D.$y = \sqrt{x^2 - 1}$
答案
1.B
2. 已知抛物线$y = ax^2 + (a - 2)x - a - 1$经过原点，则$a$的值为 (
A.0
B.1
C.-1
D.3
C
)A.0
B.1
C.-1
D.3
答案
2.C
解析
因为抛物线$y = ax^2 + (a - 2)x - a - 1$经过原点$(0,0)$，将$x=0$，$y=0$代入抛物线方程得：$0 = a×0^2 + (a - 2)×0 - a - 1$，即$-a - 1 = 0$，解得$a = -1$。
C
C
3. 函数$y = 2x^2$的图象怎样平移才能得到函数$y = 2(x - 6)^2 + 7$的图象呢？
小亮说：“先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度.”
小丽说：“先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度.”
对于上述两种说法，正确的是 (
A.小亮对
B.小丽对
C.小亮、小丽都对
D.小亮、小丽都不对
小亮说：“先向左平移6个单位长度，再向上平移7个单位长度.”
小丽说：“先向上平移7个单位长度，再向右平移6个单位长度.”
对于上述两种说法，正确的是 (
B
)A.小亮对
B.小丽对
C.小亮、小丽都对
D.小亮、小丽都不对
答案
3.B
解析
函数$y=2x^2$的顶点坐标为$(0,0)$，函数$y=2(x - 6)^2 + 7$的顶点坐标为$(6,7)$。
将点$(0,0)$向右平移6个单位长度得到$(6,0)$，再向上平移7个单位长度得到$(6,7)$；或将点$(0,0)$先向上平移7个单位长度得到$(0,7)$，再向右平移6个单位长度得到$(6,7)$。
小亮说“先向左平移6个单位长度”错误，小丽说法正确。
B
将点$(0,0)$向右平移6个单位长度得到$(6,0)$，再向上平移7个单位长度得到$(6,7)$；或将点$(0,0)$先向上平移7个单位长度得到$(0,7)$，再向右平移6个单位长度得到$(6,7)$。
小亮说“先向左平移6个单位长度”错误，小丽说法正确。
B
4. 〔河南中考〕已知抛物线$y = -x^2 + bx + 4$经过$(-2, n)$和$(4, n)$两点，则$n$的值为 (
A.-2
B.-4
C.2
D.4
B
)A.-2
B.-4
C.2
D.4
答案
4.B
解析
∵抛物线$y = -x^2 + bx + 4$经过$(-2, n)$和$(4, n)$两点，
∴两点关于抛物线对称轴对称。
抛物线对称轴为$x = -\frac{b}{2a}$，其中$a = -1$，
则对称轴$x = -\frac{b}{2×(-1)} = \frac{b}{2}$。
两点横坐标的中点为$\frac{-2 + 4}{2} = 1$，
∴$\frac{b}{2} = 1$，解得$b = 2$。
抛物线解析式为$y = -x^2 + 2x + 4$。
将$x = -2$代入，得$n = -(-2)^2 + 2×(-2) + 4 = -4 - 4 + 4 = -4$。
B
5. 在平面直角坐标系中，抛物线$y = x^2 + 2x - 3$与$x$轴交于点$A$，$B$，与$y$轴交于点$C$，则$\triangle ABC$的面积是 (
A.6
B.10
C.12
D.15
A
)A.6
B.10
C.12
D.15
答案
5.A
解析
求抛物线$y = x^2 + 2x - 3$与坐标轴交点：
与$x$轴交于$A$，$B$：令$y=0$，则$x^2 + 2x - 3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$AB=|1 - (-3)|=4$。
与$y$轴交于$C$：令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$，$OC=|-3|=3$。
$\triangle ABC$面积：$S=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
A
与$x$轴交于$A$，$B$：令$y=0$，则$x^2 + 2x - 3=0$，解得$x_1=-3$，$x_2=1$，故$A(-3,0)$，$B(1,0)$，$AB=|1 - (-3)|=4$。
与$y$轴交于$C$：令$x=0$，得$y=-3$，故$C(0,-3)$，$OC=|-3|=3$。
$\triangle ABC$面积：$S=\frac{1}{2} × AB × OC=\frac{1}{2} × 4 × 3=6$。
A
6. 〔温州市〕已知点$A(-3, a)$，$B(-2, b)$，$C(1, c)$均在抛物线$y = 3(x + 2)^2 + k$上，则$a$，$b$，$c$的大小关系是 (
A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$
C
)A.$c ＜ a ＜ b$
B.$a ＜ c ＜ b$
C.$b ＜ a ＜ c$
D.$b ＜ c ＜ a$
答案
6.C
解析
∵抛物线$y=3(x+2)^2 + k$，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线$x=-2$。
∵点$A(-3,a)$，$B(-2,b)$，$C(1,c)$，
∴点$B$在对称轴上，点$A$到对称轴的距离为$|-3 - (-2)| = 1$，点$C$到对称轴的距离为$|1 - (-2)| = 3$。
∵抛物线开口向上，距离对称轴越近，函数值越小，
∴$b ＜ a ＜ c$。
C
7. 函数$y = ax^2 - a$与$y = ax - a(a \neq 0)$在同一平面直角坐标系中的图象可能是 (
A
)答案
7.A
解析
解：当$a＞0$时，
抛物线$y = ax^2 - a$开口向上，顶点为$(0,-a)$在$y$轴负半轴，与$x$轴交于$(1,0)$，$(-1,0)$；
直线$y = ax - a$经过第一、三、四象限，与$y$轴交于$(0,-a)$。
此时符合选项A。
当$a＜0$时，
抛物线$y = ax^2 - a$开口向下，顶点为$(0,-a)$在$y$轴正半轴；
直线$y = ax - a$经过第一、二、四象限，与$y$轴交于$(0,-a)$。
无符合选项。
综上，答案为A。
抛物线$y = ax^2 - a$开口向上，顶点为$(0,-a)$在$y$轴负半轴，与$x$轴交于$(1,0)$，$(-1,0)$；
直线$y = ax - a$经过第一、三、四象限，与$y$轴交于$(0,-a)$。
此时符合选项A。
当$a＜0$时，
抛物线$y = ax^2 - a$开口向下，顶点为$(0,-a)$在$y$轴正半轴；
直线$y = ax - a$经过第一、二、四象限，与$y$轴交于$(0,-a)$。
无符合选项。
综上，答案为A。
8. 课后题改编 小杰掷铅球，铅球出手以后的轨迹可近似看成是抛物线的一部分，已知铅球出手时离地面1.6 m，铅球离抛掷点水平距离3 m时达到最高，此时铅球离地面2.5 m.如图，以水平方向为$x$轴，小杰所站位置为原点，所站位置的铅垂方向为$y$轴建立平面直角坐标系，则他掷出的铅球运动路线的函数解析式为 (
A.$y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
B.$y = -\frac{1}{10}x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
C.$y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{5}{2}$
D.$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
A
)A.$y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
B.$y = -\frac{1}{10}x^2 - \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
C.$y = -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{5}{2}$
D.$y = \frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
答案
8.A
解析
解：由题意知抛物线顶点为$(3, 2.5)$，设解析式为$y = a(x - 3)^2 + 2.5$。
抛物线过点$(0, 1.6)$，代入得：
$1.6 = a(0 - 3)^2 + 2.5$
$1.6 = 9a + 2.5$
$9a = -0.9$
$a = -\frac{1}{10}$
展开得：
$y = -\frac{1}{10}(x - 3)^2 + 2.5$
$= -\frac{1}{10}(x^2 - 6x + 9) + \frac{5}{2}$
$= -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{9}{10} + \frac{25}{10}$
$= -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{16}{10}$
$= -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
答案：A
抛物线过点$(0, 1.6)$，代入得：
$1.6 = a(0 - 3)^2 + 2.5$
$1.6 = 9a + 2.5$
$9a = -0.9$
$a = -\frac{1}{10}$
展开得：
$y = -\frac{1}{10}(x - 3)^2 + 2.5$
$= -\frac{1}{10}(x^2 - 6x + 9) + \frac{5}{2}$
$= -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x - \frac{9}{10} + \frac{25}{10}$
$= -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{16}{10}$
$= -\frac{1}{10}x^2 + \frac{3}{5}x + \frac{8}{5}$
答案：A
