问题提出
在五边形内取n个点,连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得多少个三角形(不计被分割的三角形)
问题探究
为了解决上面的问题,我们将运用归纳的策略,先在若干简单情形中寻找相应的规律
探究一
如图1,当五边形内有1个点时,可分得个三角形

探究二
当五边形内有2个点时,可分得多少个三角形?
在探究一的基础上,我们在图1中的五边形ABCDE的内部再添加1个点,这个点的位置会有两种情况:可能在图1分割成的某个三角形的内部,如图2所示;也可能在图1分割成的某个三角形的边上,如图3所示.显然,不管哪种情况,都可分得个三角形


探究三
当五边形内有3个点时,可分得个三角形.请在图4中画出一种分割示意图

问题解决
连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点,保证所有连线不再相交产生新的点,直到五边形内所有区域都变成三角形,可分得个三角形
拓展延伸
(1)若连接五边形的五个顶点和它内部若干个点,可把五边形区域分割成2027个三角形,该五边形内部有多少个点?
(2)在六边形内取m个点,连接六边形的六个顶点和它内部的m个点,可把六边形区域分割成个三角形(不计被分割的三角形)

探究一:5.
探究二:7.
探究三:9.画出分割示意图如(示意图不唯一,合理即可).
问题解决:(2n+3).
详解:由探究一可知,当五边形内有1个点时,可分得5+2×1-2=5个三角形；
由探究二可知,当五边形内有2个点时,可分得5+2×2-2=7个三角形；
由探究三可知,当五边形内有3个点时,可分得5+2×3-2=9个三角形；
……
以此类推,当五边形内有n个点时,可分得5+2n-2=(2n+3)个三角形.
拓展延伸
(1)当2n+3=2 027时,n=1 012,所以该五边形内有1 012个点.
(2)(2m+4).详解:如所示,
当六边形内有1个点时,可以分得6+2×1-2=6(个)三角形,
当六边形内有2个点时,可以分得6+2×2-2=8(个)三角形,
当六边形内有3个点时,可以分得6+2×3-2=10(个)三角形,
……
以此类推,当六边形内有m个点时,可以分得6+2m-2=(2m+4)个三角形.