8.聚焦 中考 直接经验学习 「2026山东东营利津月考，★☆」若$x≠-1$，
则我们把$-\dfrac{1}{x+1}$称为$x$的“和1负倒数”，如：2的“和1负倒数”为$-\dfrac{1}{3}$，-3的“和1负倒数”为$\dfrac{1}{2}$。
若$x_1=\dfrac{2}{3}$，$x_2$是$x_1$的“和1负倒数”，$x_3$是$x_2$的“和1负倒数”，……，依次类推，则$x_{2025}$的值是
。

答案 $-\dfrac{5}{2}$
解析 $\because x_1=\dfrac{2}{3}$，
$\therefore x_2=-\dfrac{1}{\dfrac{2}{3}+1}=-\dfrac{3}{5}$，
$\therefore x_3=-\dfrac{1}{-\dfrac{3}{5}+1}=-\dfrac{5}{2}$，
$\therefore x_4=-\dfrac{1}{-\dfrac{5}{2}+1}=\dfrac{2}{3}$，
……
可以发现这列数每3个为一组循环，
$\because 2\ 025÷3=675$，
$\therefore x_{2025}=x_3=-\dfrac{5}{2}$，
故答案为$-\dfrac{5}{2}$.

9.「2025 山东青岛市南期中，★☆」用同样大小的两种不同颜色(白色、灰色)的正方形纸片，按如图所示的方式拼成长方形.
第1个图形中有2张正方形纸片；
第2个图形中有$2×(1+2)=6=2×3$张正方形纸片；
第3个图形中有$2×(1+2+3)=12=3×4$张正方形纸片；
第4个图形中有$2×(1+2+3+4)=20=4×5$张正方形纸片；
……

请你观察上述图形与算式，回答下列问题：
(1)观察可得$1+2+3+\dots+n=$(用含$n$的代数式表示).
(2)根据你的发现计算：$101+102+103+\dots+200$.

(1)$\dfrac{n(n+1)}{2}$.
详解:第1个图形中有2张正方形纸片；
第2个图形中有2×(1+2)=6=2×3张正方形纸片；
第3个图形中有2×(1+2+3)=12=3×4张正方形纸片；
第4个图形中有2×(1+2+3+4)=20=4×5张正方形纸片；
……
以此类推,第n个图形中有2(1+2+…+n)=n(n+1)张正方形纸片，
所以$1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.
(2)$101+102+103+\dots+200$
$=(1+2+\dots+200)-(1+2+\dots+100)$
$=\dfrac{200×(200+1)}{2}-\dfrac{100×(100+1)}{2}$
$=20\ 100-5\ 050$
$=15\ 050$.

10. 核心素养 运算能力 魔术师为大家表演魔术,他请观众想一个数,然后将这个数按以下步骤操作:

魔术师立刻说出观众想的那个数.
(1)如果小明想的数是-1,那么他告诉魔术师的结果应该是.
(2)如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93,那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是.
(3)观众又进行了几次尝试,魔术师都能立刻说出他们想的那个数,假设想的数为a,请按魔术师要求的运算过程写成代数式.
(4)化简(3)所列的代数式,请你用一句话说出其中的奥妙.

(1)4.
详解:$[(-1)×3-6]÷3+7=4$.
(2)88.
详解:设小聪想的数是x，
由题意,得$(3x-6)÷3+7=x-2+7=x+5$，
所以x+5=93,所以x=88.
(3)$\dfrac{3a-6}{3}+7$.
(4)$\dfrac{3a-6}{3}+7=a+5$,所以魔术师只要将最终结果减去5,就能得到观众想的数了.