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1. 如图,一个风筝的形状是四边形ABCD,其中AB=AD,BC=DC,分别在AB,AD的中点E,F处挂两根彩线EC,FC.证明:EC=FC.
答案
【证明】如图，连接AC.
在△ABC和△ADC中，
$\begin{cases} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴∠EAC=∠FAC.
∵E,F分别是AB,AD的中点,AB=AD,
∴AE=AF.
在△AEC和△AFC中，
$\begin{cases} AE=AF,\\ ∠EAC=∠FAC,\\ AC=AC, \end{cases}$
∴△AEC≌△AFC(SAS).
∴EC=FC.
2. 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，$∠ ACB=90°$，$D$是$AC$上的一点，且$AE$垂直于$BD$交$BD$的延长线于点$E$，$AE = \frac{1}{2}BD$. 证明：$BD$是$∠ ABC$的平分线.
答案
【证明】延长AE,BC交于点F.
∵∠ACB=90°,AE⊥BE,
∴ ∠BCD = ∠AEB = ∠FEB = ∠ACF=90°.
又
∵∠CDB=∠ADE,
∴易得∠CBD=∠CAE.
又
∵BC=AC,
∴△BCD≌△ACF.
∴BD=AF.
又
∵$AE=\frac{1}{2}BD$,
∴$AE=\frac{1}{2}AF$.
∴AE=EF.
又
∵∠AEB=∠FEB=90°,BE=BE,
∴△BAE≌△BFE.
∴∠ABE=∠FBE,
即BD是∠ABC的平分线.
∵∠ACB=90°,AE⊥BE,
∴ ∠BCD = ∠AEB = ∠FEB = ∠ACF=90°.
又
∵∠CDB=∠ADE,
∴易得∠CBD=∠CAE.
又
∵BC=AC,
∴△BCD≌△ACF.
∴BD=AF.
又
∵$AE=\frac{1}{2}BD$,
∴$AE=\frac{1}{2}AF$.
∴AE=EF.
又
∵∠AEB=∠FEB=90°,BE=BE,
∴△BAE≌△BFE.
∴∠ABE=∠FBE,
即BD是∠ABC的平分线.
3. 如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,过点D作DE⊥AC交BC于点E.若$DE=BC,AC=4,S_{△ CDE}=6,$求CE的长.
答案
【解】过点D作DH⊥BC于点H,则∠EHD=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠EHD.
∵AB⊥AC,DE⊥AC,
∴AB//DE.
∴∠B=∠DEH.
在△ABC和△HED中，$\begin{cases} ∠B=∠DEH,\\ ∠BAC=∠EHD,\\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△HED(AAS).
∴AC=HD=4.
∵$S_{△CDE}=6$,
∴$CE·HD=6×2$.
∴CE=3.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAC=∠EHD.
∵AB⊥AC,DE⊥AC,
∴AB//DE.
∴∠B=∠DEH.
在△ABC和△HED中，$\begin{cases} ∠B=∠DEH,\\ ∠BAC=∠EHD,\\ BC=ED, \end{cases}$
∴△ABC≌△HED(AAS).
∴AC=HD=4.
∵$S_{△CDE}=6$,
∴$CE·HD=6×2$.
∴CE=3.
4. 如图，AD是$△ ABC$的中线，点E在BC的延长线上，$CE=AB$，$∠ BAC=∠ BCA$，证明：$AE=2AD$.
答案
【证明】如图,延长AD至点M,使DM=AD,连接CM.
∵AD是△ABC的中线,
∴BD=CD.
又
∵∠ADB=∠MDC,AD=DM,
∴△ABD≌△MCD(SAS).
∴AB=MC,∠B=∠MCD.
∵AB=CE,
∴CM=CE.
∵∠BAC=∠BCA,
∴∠B+∠BAC=∠ACB+∠MCD=∠ACM.
∵∠ACE=∠B+∠BAC,
∴∠ACM=∠ACE.
又
∵AC=AC,CM=CE,
∴△ACM≌△ACE(SAS).
∴AM=AE.
∵AM=2AD,
∴AE=2AD.
5. 如图，已知$AC// BD$，$AE$，$BE$分别平分$∠ CAB$和$∠ DBA$，$CD$过点$E$. 证明：$AB=AC+BD$. 
答案
【证明】如图,延长AE,BD交于点G.
∵AC//BD,
∴∠CAE=∠G.
∵AE平分∠CAB,
∴∠CAE=∠EAB.
∴∠EAB=∠G.
∵BE平分∠ABG,
∴∠EBA=∠EBG.
又
∵BE=BE,
∴△EBA≌△EBG.
∴AB=BG,AE=EG.
在△ACE和△GDE中，$\begin{cases} ∠CAE=∠G,\\ AE=GE,\\ ∠AEC=∠GED, \end{cases}$
∴△ACE≌△GDE(ASA).
∴AC=DG.
∵BG=DG+BD=AC+BD,
∴AB=AC+BD.
