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7.【尝试探究】
(1)如图①,已知在正方形ABCD中(四边相等,四个内角均为90°),点E,F分别在边BC,DC上运动,当∠EAF=45°时,探究DF,BE和EF的数量关系,并加以证明;
【模型建立】
(2)如图②,若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且∠B=∠D=90°,点E,F分别在边BC,DC上运动,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,连接EF.试猜想(1)中的结论还成立吗?请加以说明;
【拓展应用】
(3)如图③,已知△ABC是边长为8的等边三角形(三边相等,三个内角均为60°),BD=CD,∠BDC=120°,∠DBC=∠BCD=30°,以D为顶点作一个60°角,使其角的两边分别交边AB,AC于点E,F,连接EF,直接写出△AEF的周长.
(1)如图①,已知在正方形ABCD中(四边相等,四个内角均为90°),点E,F分别在边BC,DC上运动,当∠EAF=45°时,探究DF,BE和EF的数量关系,并加以证明;
【模型建立】
(2)如图②,若将直角三角形ABC沿斜边翻折得到△ADC,且∠B=∠D=90°,点E,F分别在边BC,DC上运动,且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD,连接EF.试猜想(1)中的结论还成立吗?请加以说明;
【拓展应用】
(3)如图③,已知△ABC是边长为8的等边三角形(三边相等,三个内角均为60°),BD=CD,∠BDC=120°,∠DBC=∠BCD=30°,以D为顶点作一个60°角,使其角的两边分别交边AB,AC于点E,F,连接EF,直接写出△AEF的周长.
答案
7.【解】(1)DF+BE=EF.
证明:如图①,把△ADF绕点A顺时针旋转90°至△ABG,可使AB与AD重合,易知AF=AG,DF=BG.
∵∠ABC=∠D=90°,
∴∠EBG=180°,点E,B,G共线,
易知∠FAD=∠GAB,
∴∠EAG=∠BAE+∠GAB=∠FAD+∠BAE=90°−∠EAF=45°,
∴∠EAF=∠EAG.
在△AEF和△AEG中,$\begin{cases} AF=AG,\\ ∠FAE=∠GAE,\\ AE=AE, \end{cases}$
∴△AEF≌△AEG(SAS),
∴EF=EG.
∵EG=EB+BG=EB+DF,
∴DF+BE=EF.
(2)成立.
如图②,将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数,此时,AD与AB重合,
由旋转,得BG=DF,∠1=∠2,AG=AF,∠ABG=∠D=90°,同(1)可得点G,B,E在同一条直线上.
∵ $∠EAF = \frac{1}{2}∠BAD$,
∴ ∠BAE + ∠FAD = $\frac{1}{2}∠BAD$,
∴∠BAE+∠GAB=$\frac{1}{2}∠BAD$,
∴∠EAG=∠EAF.
又
∵AG=AF,AE=AE,
∴△GAE≌△FAE(SAS),
∴EG=EF.
∵EG=BG+BE=DF+BE,
∴DF+BE=EF.
∴(1)中的结论还成立.
(3)△AEF的周长为16. 【点拨】
∵△ABC是边长为8的等边三角形,
∴AB=AC=8,∠ABC=∠ACB=60°.
∵∠DBC=∠BCD=30°,
∴∠ABD=∠ACD=90°.由题知BD=CD,∠BDC=120°,将△DCF绕点D逆时针旋转120°,得到△DBG,如图③,此时CD和DB重合,∠DBG=∠DCF=90°,BG=CF,DG=DF,
∴∠EBG=∠EBD+∠GBD=180°,
∴E,B,G三点共线,同(2)可得△GDE≌△FDE,
∴EF=EG=BE+BG,
∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+BE+BG=AE+AF+BE+CF=AB+AC=16.
8. (1)如图①,直线 $ m $ 经过等腰直角三角形 $ ABC $ 的直角顶点 $ A $,过点 $ B,C $ 分别作 $ BD ⊥ m $,$ CE ⊥ m $,垂足分别是 $ D,E $.求证:$ BD+CE=DE $;
(2)如图②,直线 $ m $ 经过$ △ ABC $的顶点 $ A $,$ AB=AC $,在直线 $ m $ 上取两点 $ D,E $,使$ ∠ ADB=∠ AEC=α $,补充$ ∠ BAC=$
(3)在(2)的条件中,将直线 $ m $ 绕着点 $ A $ 逆时针方向旋转一个角度到如图③的位置,并改变条件$ ∠ ADB=∠ AEC=$
(2)如图②,直线 $ m $ 经过$ △ ABC $的顶点 $ A $,$ AB=AC $,在直线 $ m $ 上取两点 $ D,E $,使$ ∠ ADB=∠ AEC=α $,补充$ ∠ BAC=$
α
(用含$ α $的代数式表示),线段 $ BD,CE $ 与 $ DE $ 之间满足$ BD+CE=DE $,补充条件后并证明;(3)在(2)的条件中,将直线 $ m $ 绕着点 $ A $ 逆时针方向旋转一个角度到如图③的位置,并改变条件$ ∠ ADB=∠ AEC=$
180°−α
(用含$ α $的代数式表示).通过观察或测量,猜想线段 $ BD,CE $ 与 $ DE $ 之间满足的数量关系,并予以证明.答案
8.(1)【证明】
∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠DBA+∠DAB=90°,∠ECA+∠EAC=90°.
∵∠BAC=90°,∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠DAB=∠ECA.
又
∵∠ADB=∠CEA,AB=BC,
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE,DA=EC.
∴DE=DA+AE=EC+BD,即BD+CE=DE.
(2)【解】α
证明:
∵D,A,E三点共线,且∠ADB=∠BAC=∠CEA=α,
∴∠DAB + ∠EAC = 180°−α, ∠ECA + ∠CAE = 180°−α,
∴∠DAB=∠ECA.
又
∵∠ADB=∠CEA,AB=AC,
∴△ADB≌△CEA.
∴AD=CE,BD=AE.
∵DE=AD+AE,
∴BD+CE=DE.
(3)【解】180°−α
数量关系为DE=CE−BD.
证明:
∵∠ADB=∠AEC=180°−α,∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=α,∠BAD+∠EAC=α,
∴∠ABD=∠CAE.
又
∵AB=AC,
∴△BAD≌△ACE,
∴AD=CE,BD=AE,
∴DE=AD−AE=EC−BD.
∵BD⊥m,CE⊥m,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∴∠DBA+∠DAB=90°,∠ECA+∠EAC=90°.
∵∠BAC=90°,∠DAB+∠EAC=90°,
∴∠DAB=∠ECA.
又
∵∠ADB=∠CEA,AB=BC,
∴△ADB≌△CEA(AAS).
∴BD=AE,DA=EC.
∴DE=DA+AE=EC+BD,即BD+CE=DE.
(2)【解】α
证明:
∵D,A,E三点共线,且∠ADB=∠BAC=∠CEA=α,
∴∠DAB + ∠EAC = 180°−α, ∠ECA + ∠CAE = 180°−α,
∴∠DAB=∠ECA.
又
∵∠ADB=∠CEA,AB=AC,
∴△ADB≌△CEA.
∴AD=CE,BD=AE.
∵DE=AD+AE,
∴BD+CE=DE.
(3)【解】180°−α
数量关系为DE=CE−BD.
证明:
∵∠ADB=∠AEC=180°−α,∠BAC=α,
∴∠ABD+∠BAD=α,∠BAD+∠EAC=α,
∴∠ABD=∠CAE.
又
∵AB=AC,
∴△BAD≌△ACE,
∴AD=CE,BD=AE,
∴DE=AD−AE=EC−BD.
