1[2026 四川成都期中]对于反比例函数 $y=\frac{3}{x}$，
下列说法正确的是 （）

A.若点$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$都在该函数的图象上，且$x_1＜x_2$，则$y_1＜y_2$
B.该函数的图象分布在第二、四象限
C.该函数的图象经过点$(1,-2)$
D.当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小

【解析】当$x_1=1$时，$y_1=3$，当$x_2=3$时，$y_2=1$，此时满足$x_1＜x_2$，但$y_1＞y_2$，不满足$y_1＜y_2$，故选项A错误；
∵反比例函数$y=\dfrac{3}{x}$中，$k=3＞0$，
∴该函数的图象分布在第一、三象限，故选项B错误；当$x=1$时，$y=3$，
∴该函数的图象经过点$(1,3)$，而非点$(1,-2)$，故选项C错误；当$x＞0$时，$y$随$x$的增大而减小，故选项D正确. 故选D.

2[2025广东珠海期末]在研究反比例函数图象与性质时，小明因粗心误认为$(-1,3),(-1,-3),(1,-3),(-\dfrac{3}{2},2)$四个点在同一个反比例函数的图象上，后来经检查发现其中有一个点不在，这个点是（）

A.$(-1,3)$
B.$(-1,-3)$
C.$(1,-3)$
D.$(-\dfrac{3}{2},2)$

【解析】
∵$(-1) × 3=1 × (-3)=(-\dfrac{3}{2}) × 2 ≠ (-1) × (-3)$,
∴这个点是$(-1,-3)$. 故选B.

3[2026重庆渝中区期中]如果四个点$M_1(-2,y_1),M_2(-1,y_2),M_3(2,y_3)$和$M_4(1,m^2+1)$在反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象上，那么$y_1,y_2,y_3$之间的大小关系是（）

A.$y_2＜y_1＜y_3$
B.$y_3＜y_1＜y_2$
C.$y_2＜y_3＜y_1$
D.$y_3＜y_2＜y_1$

【解析】
∵点$M_4(1,m^2+1)$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象上，
∴$k=m^2+1＞0$. 对于点$M_1(-2,y_1)$,$y_1=\dfrac{k}{-2}=-\dfrac{k}{2}$；对于点$M_2(-1,y_2)$,$y_2=\dfrac{k}{-1}=-k$；对于点$M_3(2,y_3)$,$y_3=\dfrac{k}{2}$.
∵$k＞0$,
∴$-k＜-\dfrac{k}{2}＜0＜\dfrac{k}{2}$,
∴$y_2＜y_1＜y_3$. 故选A.

4[2026安徽亳州质检]如图，在平面直角坐标系中，直线$y_1 = x + 3$与坐标轴交于A,B两点，与函数$y_2 = \frac{k}{x}(x＞0)$的图象交于点C，连接OC，过点C作$CD ⊥ x$轴，垂足为点D，且$S_{△ ACD}=8$。则下列结论正确的个数是 ()
①$∠ BAO = 45°$；②$S_{△ CDO}=4$；③点D到AC的距离为2；④方程$x + 3 = \frac{k}{x}$有一个解为$x = 1$；⑤当$y_1 ＜ y_2$时，$0 ＜ x ＜ 1$。

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

【解析】在$y_1=x+3$中，当$x=0$时，$y_1=3$，当$y_1=0$时，$x=-3$，
∴$A(-3,0)$,$B(0,3)$,
∴$OA=OB=3$. 又
∵$∠ AOB=90°$,
∴$∠ BAO=∠ ABO=45°$,故①正确.
∵$CD ⊥ x$轴，
∴$∠ ADC=90°$,
∴$△ ADC$是等腰直角三角形，
∴$AD=CD$.
∵$S_{△ ACD}=8$,
∴$\dfrac{1}{2} AD · CD=8$，即$\dfrac{1}{2} AD^2=8$,
∴$AD=4$或$AD=-4$(舍去),
∴$CD=4$,$OD=AD-OA=1$,
∴$S_{△ COD}=\dfrac{1}{2} OD · CD=\dfrac{1}{2} × 1 × 4=2$,故②错误.
∵$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=4\sqrt{2}$,
∴点$D$到$AC$的距离为$\dfrac{8 × 2}{4\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$,故③错误.
∵$OD=1$,$CD=4$,
∴$C(1,4)$.
∵直线$y_1=x+3$与双曲线$y_2=\dfrac{k}{x}(x＞0)$交于点$C$，
∴方程$x+3=\dfrac{k}{x}$有一个解为$x=1$，故④正确. 由函数图象可得当$y_1＜y_2$时，$0＜x＜1$，故⑤正确，
∴正确的有3个，故选C.

5[2026湖南怀化期中]如图,已知反比例函数$y=\frac{2}{x}(x＞0)$的图象上有一组点$B_1,B_2,···,B_n$,它们的横坐标依次增加1,且点$B_1$的横坐标为1,①②③…分别表示如图所示的三角形的面积,记$S_1=①-②,S_2=②-③,···$,则$S_1+S_2+···+S_{2025}=$ ()

A.$\frac{2025}{2026}$
B.1
C.$\frac{2024}{2025}$
D.2

(第5题图)
(第6题图)

【解析】
∵$y=\dfrac{2}{x}$,
∴$B_1(1,2)$,$B_2(2,1)$,$B_3(3,\dfrac{2}{3})$,…,$B_n(n,\dfrac{2}{n})$. 观察题图可知，每个三角形的底边长为1，高为点$B_n$的纵坐标，
∴①$=\dfrac{1}{2} × 1 × 2=1$,②$=\dfrac{1}{2} × 1 × 1=\dfrac{1}{2}$,③$=\dfrac{1}{2} × 1 × \dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}$,以此类推，第$n$个三角形的面积为$\dfrac{1}{n}$,
∴$S_1=$①$-$②$=1-\dfrac{1}{2}$,$S_2=$②$-$③$=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}$,…,$S_{2025}=\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026}$,
∴$S_1+S_2+ \dots +S_{2025}=(1-\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3})+ \dots +(\dfrac{1}{2025}-\dfrac{1}{2026})=1-\dfrac{1}{2026}=\dfrac{2025}{2026}$. 故选A.

6[2025浙江杭州质检]如图,矩形ABCO的两边分别在坐标轴上,OA=a,OC=b,点P在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上,且在矩形ABCO内部,其横坐标为c.过点P作PE//x轴交AC于点E,作PF//y轴交AB于点F,连接EF,FC.记△EFC的面积为S,以下说法正确的是 ()

A.S的值仅与a,b有关
B.S的值仅与c,k有关
C.S的值仅与k有关
D.S的值与a,b,c,k都有关

容我想想鸭

【解析】由条件可知$C(b,0)$,$B(b,a)$,$A(0,a)$.
∵点$P$在反比例函数$y=\dfrac{k}{x}(k＞0,x＞0)$的图象上，且横坐标为$c$，
∴$P(c,\dfrac{k}{c})$.
∵$PF // y$轴，
∴$F(c,a)$,
∴$S_{△ AEF}=\dfrac{1}{2} c(a-\dfrac{k}{c})=\dfrac{ac-k}{2}$,$S_{△ BCF}=\dfrac{1}{2} a(b-c)=\dfrac{ab-ac}{2}$.
∵$S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2} ab$,
∴$S=S_{△ ABC}-S_{△ AEF}-S_{△ BCF}=\dfrac{1}{2} ab -\dfrac{ac-k}{2} -\dfrac{ab-ac}{2}=\dfrac{k}{2}$,
∴$S$的值仅与$k$有关. 故选C.

7 新考向开放性试题[2026陕西咸阳质检]已知一次函数$y=kx+b(k,b$为常数，且$kb≠0)$的图象不经过第二象限，且点$A(m,n)$在反比例函数$y=\dfrac{kb}{x}$的图象上，若$m＞0$，则$n$的值可能是.(写出一个即可)

【解析】
∵一次函数$y=kx+b$($k,b$为常数，且$kb ≠ 0$)的图象不经过第二象限，
∴$k＞0$,$b＜0$,
∴$kb＜0$.
∵点$A(m,n)$在反比例函数$y=\dfrac{kb}{x}$的图象上，
∴$mn=kb＜0$.
∵$m＞0$,
∴$n＜0$，则可取$n=-1$. 故答案为-1(答案不唯一).

8[2025广东佛山二模]已知函数$y=\frac{k}{x}(x＞0)$的图象如图所示，边长为2的正方形ABCD的顶点A横坐标为2，AD//x轴.将正方形ABCD向正下方平移，它的两个顶点可同时落在函数图象上，则k的值是.

【解析】将正方形$ABCD$向正下方平移，它的两个顶点可同时落在函数图象上，
∴易知$A,C$落在函数图象上.
∵边长为2的正方形$ABCD$的顶点$A$横坐标为2，
∴设平移后$A(2,m)$，则平移后$C(4,m-2)$,
∴$2m=4(m-2)$,解得$m=4$,
∴平移后$A(2,4)$,
∴$k=2 × 4=8$,故答案为8.