9 如图,若直线 $ y = m $（$ m $ 为常数）与函数 $ y = \begin{cases}x^2 & (x ≤ 2), \\ \dfrac{4}{x} & (x ＞ 2)\end{cases}$ 的图象恒有两个不同的交点,则常数 $ m $ 的取值范围是 ______ .

【解析】由图象可得，直线$y=m$($m$为常数)与函数$y=\begin{cases} x^2(x ≤ 2), \\ \dfrac{4}{x}(x＞2) \end{cases}$的图象恒有两个不同的交点时，常数$m$的取值范围是$2 ≤ m ≤ 4$. 故答案为$2 ≤ m ≤ 4$.

10[2025 浙江温州质检]如图,在直角坐标系中,点A,B在反比例函数$y=\frac{k}{x}(k≠0,x＞0)$的图象上,点C在y轴上,$AC// x$轴,若$AB=AC=10,BC=2\sqrt{10}$,则$k=$.

【解析】如图，过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$D$，设$CD=x$.
∵$AB=AC=10$,$BC=2\sqrt{10}$,
∴$AD=AC-CD=10-x$,$BD^2=BC^2-CD^2=40-x^2$. 由$AB^2=AD^2+BD^2$，得$10^2=(10-x)^2+40-x^2$，解得$x=2$,
∴$AD=8$,$BD=\sqrt{40-x^2}=6$.
∵$AC // x$轴，
∴$A,C$两点的纵坐标相同，设为$y_1$,
∴$B(2,6+y_1)$,$A(10,y_1)$,故$2(6+y_1)=10y_1$,解得$y_1=\dfrac{3}{2}$,故$k=10y_1=15$. 故答案为15.

思路分析：过点$B$作$BD ⊥ AC$于点$D$，设$CD=x$，利用勾股定理列出关于$x$的方程，解之求出$x$的值，设$A,C$两点的纵坐标为$y_1$，表示出$A,B$两点的坐标即可求解.
关键点拨：(3)根据图象求出$S_{△ AOC}$，再根据$S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$求出$S_{△ POC}$是解题的关键.

三、解答题(本大题共3小题,共50分)
11[2025内蒙古包头期末]如图,在平面直角坐标系$xOy$中,直线$AB:y=x-2$与反比例函数$y=\frac{k}{x}$的图象交于$A,B$两点,与$x$轴交于点$C$,已知点$A,B$的坐标分别为$(3,m)$和$(-1,n)$.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)请直接写出不等式$x-2＞\frac{k}{x}$的解集;
(3)点$P$为反比例函数$y=\frac{k}{x}$图象上的任意一点,若$S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$,求点$P$的坐标.

(1)把点$A(3,m)$代入$y=x-2$，得$m=1$，
∴点$A$的坐标为$(3,1)$.
∵反比例函数$y=\dfrac{k}{x}$的图象过点$A$，
∴$k=3 × 1=3$，即反比例函数的解析式为$y=\dfrac{3}{x}$.
(2)由图象可得，不等式$x-2＞\dfrac{k}{x}$的解集为$-1＜x＜0$或$x＞3$.
(3)把$y=0$代入$y=x-2$，得$x=2$，即点$C$的坐标为$C(2,0)$,
∴$S_{△ AOC}=\dfrac{1}{2} × OC × y_A=\dfrac{1}{2} × 2 × 1=1$.
∵$S_{△ POC}=3S_{△ AOC}$,
∴$S_{△ POC}=\dfrac{1}{2} × OC × |y_P|=\dfrac{1}{2} × 2 × |y_P|=3$,
∴$|y_P|=3$,
∴$y_P= \pm 3$. 当点$P$的纵坐标为3时，$3=\dfrac{3}{x}$，解得$x=1$，
∴$P(1,3)$；当点$P$的纵坐标为-3时，$-3=\dfrac{3}{x}$，解得$x=-1$，
∴$P(-1,-3)$.
∴点$P$的坐标为$(1,3)$或$(-1,-3)$.

12[2026山东济宁质检]喝绿茶前需要烧水和泡茶两个工序,即需要将电热水壶中的水烧到100 ℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶.烧水时水壶中水的温度$y(°C)$与时间$x(\mathrm{min})$成一次函数关系;停止加热1.5 min后,水壶中水的温度$y(°C)$与时间$x(\mathrm{min})$近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是25 ℃,降温过程中水温不低于25 ℃.
(1)分别写出图中所对应的函数关系式,并写出自变量$x$的取值范围;
(2)水壶中的水从烧开(100 ℃)降到80 ℃时就可以进行泡制绿茶,问从水烧开到开始泡茶需要等待多长时间?

(1)设停止加热1.5 min后对应的函数关系式为$y=\dfrac{k}{x}$. 将$(15,50)$代入$y=\dfrac{k}{x}$，得$50=\dfrac{k}{15}$，解得$k=750$，
∴$y=\dfrac{750}{x}$. 当$y=25$时，$25=\dfrac{750}{x}$，解得$x=30$；当$y=100$时，$100=\dfrac{750}{x}$，解得$x=7.5$，
∴$B$点坐标为$(7.5,100)$，
∴$A$点坐标为$(7.5-1.5,100)$，即$(6,100)$. 设烧水时对应的函数关系式为$y=ax+25$. 将$(6,100)$代入$y=ax+25$，得$100=6a+25$，解得$a=12.5$，
∴烧水时，$y=12.5x+25(0 ≤ x ≤ 6)$；停止加热后的1.5 min内，$y=100(6＜x ≤ 7.5)$；停止加热1.5 min后，$y=\dfrac{750}{x}(7.5＜x ≤ 30)$.
(2)把$y=80$代入$y=\dfrac{750}{x}(7.5＜x ≤ 30)$，得$x=9.375$，$9.375-6=3.375(\mathrm{min})$，
∴从水烧开到开始泡茶需要等待3.375 min.

13[2026江西吉安期末]如图,已知正比例函数$y=kx$的图象与反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象交于点B,D为x轴正半轴上一点,过点D作$CD⊥x$轴,交反比例函数的图象于点A,交正比例函数的图象于点C,B为OC的中点,连接AB.
(1)若$AC=3$,求k的值;
(2)若点B在反比例函数$y=\frac{6}{x}(x＞0)$的图象上运动,试判断$△ ABC$的面积是否发生变化,并说明理由.

(1)设点$B$的坐标为$(a,\dfrac{6}{a})$.
∵$B$为$OC$的中点，$CD ⊥ x$轴，
∴点$C$的坐标为$(2a,\dfrac{12}{a})$，点$A$的坐标为$(2a,\dfrac{6}{2a})$.
∵$AC=3$,
∴$\dfrac{12}{a}-\dfrac{6}{2a}=3$，解得$a=3$. 经检验，$a=3$是分式方程的解，
∴点$B$的坐标为$(3,2)$. 将$B(3,2)$代入$y=kx$，得$2=3k$，解得$k=\dfrac{2}{3}$.
(2)$△ ABC$的面积不发生变化. 理由如下：设点$B$的坐标为$(b,\dfrac{6}{b})$.
∵$B$为$OC$的中点，$CD ⊥ x$轴，
∴点$C$的坐标为$(2b,\dfrac{12}{b})$，点$A$的坐标为$(2b,\dfrac{6}{2b})$,
∴$AC=\dfrac{12}{b}-\dfrac{6}{2b}=\dfrac{9}{b}$，点$B$到$CD$的距离为$b$，
∴$△ ABC$的面积为$\dfrac{9}{b} · b · \dfrac{1}{2}=4.5$，为定值，
∴$△ ABC$的面积不发生变化.