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1.(2025·苏州期末)下列方程中,是一元二次方程的是 (
A.$x^2 + y = 1$
B.$x^2 - \frac{1}{x} = 1$
C.$x^2 - 2 = 0$
D.$x^2 + x = x^2 + 1$
C
)A.$x^2 + y = 1$
B.$x^2 - \frac{1}{x} = 1$
C.$x^2 - 2 = 0$
D.$x^2 + x = x^2 + 1$
答案
1.C
2.(2025·启东模拟)已知$x=1$是关于$x$的一元二次方程$x^2 + kx - 6 = 0$的一个根，则$k$的值为(
A.－5
B.－7
C.5
D.7
C
)A.－5
B.－7
C.5
D.7
答案
2.C
3.(2025·南通期末)已知a是方程$x^2 + 3x = 2$的一个根，则代数式$2a^2 + 6a - 2025$的值为
-2021
答案
3.-2021
4.把下列关于$x$的一元二次方程化为一般形式，并写出二次项系数、一次项系数及常数项.
(1)$(x-5)(2x-1)=3$；
(2)$(\sqrt{2}x+1)(x+3)=\sqrt{2}x$.
(1)$(x-5)(2x-1)=3$；
(2)$(\sqrt{2}x+1)(x+3)=\sqrt{2}x$.
答案
4.解:(1)原方程可化为$2x^2 -11x +2=0$,其中二次项系数为2,一次项系数为-11,常数项为2.
(2)原方程可化为$\sqrt{2}x^2 +(2\sqrt{2}+1)x +3=0$,其中二次项系数为$\sqrt{2}$,一次项系数为$2\sqrt{2}+1$,常数项为3.
(2)原方程可化为$\sqrt{2}x^2 +(2\sqrt{2}+1)x +3=0$,其中二次项系数为$\sqrt{2}$,一次项系数为$2\sqrt{2}+1$,常数项为3.
5.(2025·姜堰区期末)若$(a+2)x^{a^2 -2} + 2x = 1$是关于$x$的一元二次方程，则$a$的值为（
A.$\pm 2$
B.$2$
C.$-2$
D.$0$
B
）A.$\pm 2$
B.$2$
C.$-2$
D.$0$
答案
5.B
6. 新定义(2025·扬州期末)若关于$x$的方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$满足$a-b+c=0$，称此方程为“贺岁”方程.已知方程$a^2x^2-2024ax+1=0(a≠0)$是“贺岁”方程，则$a^2+2025a-\frac{a}{2024a+1}$的值为（
A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2025$
D.$2025$
C
）A.$-2024$
B.$2024$
C.$-2025$
D.$2025$
答案
6.C
7.(2025·海淀区期末)已知$m^2 - 2m -1=0$，求$(m+2)(m-2)-2m(3-m)$的值.
答案
7.解:$(m+2)(m-2)-2m(3-m)=m^2 -4 -6m +2m^2=3m^2 -6m -4. \because m^2 -2m -1=0,\therefore m^2 -2m=1,$
$\therefore 原式=3(m^2 -2m)-4=3×1 -4=3-4=-1.$
$\therefore 原式=3(m^2 -2m)-4=3×1 -4=3-4=-1.$
8.已知实数$m,x$满足$(mx_1 - 2)(mx_2 - 2)=4$.
(1)若$m=\dfrac{1}{3},x_1=9$,则$x_2=$
(2)若$m,x_1,x_2$为正整数,求出符合条件的所有有序实数对$(x_1,x_2)$.
(1)若$m=\dfrac{1}{3},x_1=9$,则$x_2=$
18
;(2)若$m,x_1,x_2$为正整数,求出符合条件的所有有序实数对$(x_1,x_2)$.
答案
8.(1)18
(2)解:当$m,x_1,x_2$为正整数时,$mx_1 -2,mx_2 -2$均为整数,$mx_1≥1,mx_2≥1,mx_1 -2≥-1,mx_2 -2≥-1,$
而$4=1×4=2×2=4×1,$
$\therefore \begin{cases} mx_1 -2=1, \\ mx_2 -2=4 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1 -2=2, \\ mx_2 -2=2 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1 -2=4, \\ mx_2 -2=1, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} mx_1=3, \\ mx_2=6 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1=4, \\ mx_2=4 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1=6, \\ mx_2=3. \end{cases}$
当$\begin{cases} mx_1=3, \\ mx_2=6 \end{cases}$时,若$m=1$,则$x_1=3,x_2=6$;若$m=3$,则$x_1=1,x_2=2$,故$(x_1,x_2)$为$(3,6)$或$(1,2).$
当$\begin{cases} mx_1=4, \\ mx_2=4 \end{cases}$时,若$m=1$,则$x_1=4,x_2=4$;若$m=2$,则$x_1=2,x_2=2$;若$m=4$,则$x_1=1,x_2=1,$
故$(x_1,x_2)$为$(4,4),(2,2)$或$(1,1).$
当$\begin{cases} mx_1=6, \\ mx_2=3 \end{cases}$时,若$m=1$,则$x_1=6,x_2=3$;若$m=3$,则$x_1=2,x_2=1$,故$(x_1,x_2)$为$(6,3)$或$(2,1).$
综上所述,符合条件的所有有序实数对为$(3,6),(1,2),(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1).$
(2)解:当$m,x_1,x_2$为正整数时,$mx_1 -2,mx_2 -2$均为整数,$mx_1≥1,mx_2≥1,mx_1 -2≥-1,mx_2 -2≥-1,$
而$4=1×4=2×2=4×1,$
$\therefore \begin{cases} mx_1 -2=1, \\ mx_2 -2=4 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1 -2=2, \\ mx_2 -2=2 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1 -2=4, \\ mx_2 -2=1, \end{cases}$
$\therefore \begin{cases} mx_1=3, \\ mx_2=6 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1=4, \\ mx_2=4 \end{cases} 或 \begin{cases} mx_1=6, \\ mx_2=3. \end{cases}$
当$\begin{cases} mx_1=3, \\ mx_2=6 \end{cases}$时,若$m=1$,则$x_1=3,x_2=6$;若$m=3$,则$x_1=1,x_2=2$,故$(x_1,x_2)$为$(3,6)$或$(1,2).$
当$\begin{cases} mx_1=4, \\ mx_2=4 \end{cases}$时,若$m=1$,则$x_1=4,x_2=4$;若$m=2$,则$x_1=2,x_2=2$;若$m=4$,则$x_1=1,x_2=1,$
故$(x_1,x_2)$为$(4,4),(2,2)$或$(1,1).$
当$\begin{cases} mx_1=6, \\ mx_2=3 \end{cases}$时,若$m=1$,则$x_1=6,x_2=3$;若$m=3$,则$x_1=2,x_2=1$,故$(x_1,x_2)$为$(6,3)$或$(2,1).$
综上所述,符合条件的所有有序实数对为$(3,6),(1,2),(4,4),(2,2),(1,1),(6,3),(2,1).$
