16. (18分)(2025·海南中考)如图,抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过$A(4,0),B(-2,6)$两点.点$P(x_0,y_0)$是线段$AB$上的动点,过点$P$作$PQ⊥x$轴交抛物线于点$Q$.
(1)若$c=-4$.
①求抛物线的解析式;
②求线段$PQ$长度的最大值;
③若$t≤x_0≤t+1$,求$x_0$取何值时线段$PQ$的长度最大(可用含$t$的代数式表示$x_0$).
(2)若$c≠-4,t≤x_0≤t+1$,问题(1)中③的结论是否会发生变化,请说明理由.

16. (1)①
∵$c=-4$,
∴设抛物线的解析式为$y=ax^2+bx-4$.
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过$A(4,0)$,$B(-2,6)$两点,
∴$\begin{cases}0=16a+4b-4,\\6=4a-2b-4,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=1,\\b=-3,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=x^2-3x-4$.
②设直线AB的解析式为$y=kx+b'$,将点A,B的坐标代入
得$\begin{cases}0=4k+b',\\6=-2k+b',\end{cases}$解得$\begin{cases}k=-1,\\b'=4,\end{cases}$
∴$y=-x+4$.
∵点$P(x_0,y_0)$是线段AB上的动点,过点P作$PQ⊥x$轴交抛物线于点Q.
∴$P(x_0,-x_0+4)$,$Q(x_0,x_0^2-3x_0-4)$,
∴$|PQ|=-x_0+4-(x_0^2-3x_0-4)=-(x_0-1)^2+9$,
由题意得$-2≤x_0≤4$,
∴当$x_0=1$时,$|PQ|$取得最大值为9.
③
∵$|PQ|=-(x_0-1)^2+9$,$-2≤x_0≤4$,
∴当$t≥-2$,$t+1≤1$,即$-2≤t≤0$时,PQ的最大长度在$x_0=t+1$处取得;
当$t＜1$,$t+1＞1$,即$0＜t＜1$时,PQ的最大长度在$x_0=1$处取得;
当$t≥1$,$t+1≤4$,即$1≤t≤3$时,PQ的最大长度在$x_0=t$处取得.
(2)不发生变化,理由如下:
∵抛物线$y=ax^2+bx+c(a＞0)$经过$A(4,0)$,$B(-2,6)$两点.
∴$\begin{cases}0=16a+4b+c,\\6=4a-2b+c,\end{cases}$解得$\begin{cases}b=-1-2a,\\c=4-8a,\end{cases}$
∴抛物线的解析式为$y=ax^2-(1+2a)x+4-8a$.
∵点$P(x_0,y_0)$是线段AB上的动点,
∴$y_0=-x_0+4$.
∵点Q在抛物线上,
∴点Q的坐标为$Q(x_0,ax_0^2-(1+2a)x_0+4-8a)$,
∴$|PQ|=-x_0+4-[ax_0^2-(1+2a)x_0+4-8a]=-a(x_0-1)^2+9a$.
∵$|PQ|$解析式的图象开口方向及对称轴同(1)中③的解析式图象一致,
∴问题(1)中③的结论不发生变化.

17. (18分)(2025·镇江中考)在平面直角坐标系中,过点$T(0,t)$作$y$轴的垂线与二次函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$($h,k$为常数)的图象交于点$E,F$(点$E$在点$F$的左侧),点$P$在直线$EF$上,当点$P$满足$PE+PF=6$时,我们称点$P$是该二次函数图象的$T$~6生长点.
(1)二次函数$y=\frac{1}{2}x^2$的图象如图所示.
①在$t$的不同取值$2,\frac{9}{2},5$中,使该函数图象有$T$~6生长点的$t$的值是;
②已知$P(m,n)$是该函数图象的$T$~6生长点,猜想$n$的取值范围,并说明理由.
(2)二次函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$($h,k$为常数)的图象经过点$(6,1)$,若$P(3,5)$是该函数图象的$T$~6生长点,求该函数的解析式.

17. (1)①2 或 $\frac{9}{2}$ 解析:当$y=\frac{1}{2}x^2=t$时,$x=±\sqrt{2t}$,
∴$E(-\sqrt{2t},t)$,$F(\sqrt{2t},t)$,
∴$EF=2\sqrt{2t}$,
∴当$t=2$时,
$EF=4$,此时在线段EF的延长线上或线段FE的延长线上,存在点P使$PE+PF=6$,满足题意;
当$t=\frac{9}{2}$时,$EF=2×\sqrt{2×\frac{9}{2}}=6$,
∴当点P在线段EF上时,$PE+PF=EF=6$,满足题意;
当$t=5$时,$EF=2\sqrt{2×5}=2\sqrt{10}＞6$,
∴直线EF上不存在点P使$PE+PF=6$,不满足题意;
综上,使该函数图象有T~6生长点的t的值是2或$\frac{9}{2}$.
②猜想$0＜n≤\frac{9}{2}$,理由如下:
∵点P在直线EF上,
∴$n=t$,由(1)知,当$t=\frac{9}{2}$时,此时$EF=2×\sqrt{2×\frac{9}{2}}=6$,
∴当$t＞\frac{9}{2}$时,$EF＞6$,此时直线EF上不存在点P使$PE+PF=6$,
∴$n≤\frac{9}{2}$.又
∵过点$T(0,t)$作y轴的垂线与$y=\frac{1}{2}x^2$的图象交于点E,F,而$y=\frac{1}{2}x^2$的最小值为$y=0$,
∴$n＞0$,
∴$0＜n≤\frac{9}{2}$.
(2)
∵二次函数$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k$($h,k$为常数)的图象经过点$(6,1)$,
∴$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$.
∵$P(3,5)$是该函数图象的T~6生长点,
∴$t=5$.当$y=\frac{1}{2}(x-h)^2+k=5$时,则$(x-h)^2=2(5-k)$,
∴$x=h±\sqrt{2(5-k)}$,
∴$E(h-\sqrt{2(5-k)},5)$,$F(h+\sqrt{2(5-k)},5)$,
∴$EF=2\sqrt{2(5-k)}$.
①当点P在线段EF上时,则$PE+PF=EF=2\sqrt{2(5-k)}=6$,
∴$\sqrt{2(5-k)}=3$,解得$k=\frac{1}{2}$,把$k=\frac{1}{2}$代入$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$,得$h=5$或$h=7$,当$h=5$时,$E(2,5)$,$F(8,5)$,满足题意.当$h=7$时,$E(4,5)$,$F(10,5)$,此时点P不在线段EF上,不符合题意,舍去.
∴$y=\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{1}{2}$.
②当点P在点E的左侧时,则$PE=h-\sqrt{2(5-k)}-3$,$PF=h+\sqrt{2(5-k)}-3$,
∴$PE+PF=h-\sqrt{2(5-k)}-3+h+\sqrt{2(5-k)}-3=6$,
∴$2h=12$,
∴$h=6$.把$h=6$代入$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$,得$k=1$,此时$E(6-2\sqrt{2},5)$,$F(6+2\sqrt{2},5)$,符合题意.
∴$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+1$.
③当点P在点F的右侧时,则$PE=3-h+\sqrt{2(5-k)}$,$PF=3-h-\sqrt{2(5-k)}$,
∴$PE+PF=3-h+\sqrt{2(5-k)}+3-h-\sqrt{2(5-k)}=6$,
∴$h=0$,把$h=0$代入$1=\frac{1}{2}(6-h)^2+k$,得$k=-17$,
∴$\sqrt{2(5-k)}=\sqrt{2×22}=2\sqrt{11}$,此时$E(-2\sqrt{11},5)$,$F(2\sqrt{11},5)$,点P不在点F的右侧,不符合题意,舍去.
综上,$y=\frac{1}{2}(x-5)^2+\frac{1}{2}$或$y=\frac{1}{2}(x-6)^2+1$.