15.（14分）如图，等腰直角三角形ABC的直角边AB=BC=10 cm，点P,Q分别从A,C两点同时出发，均以1 cm/s的速度做直线运动.已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线AC相交于点D，连接PC，设点P的运动时间为t s，$△ PCQ$的面积为S $\mathrm{cm}^2$.
（1）求S关于t的函数解析式；
（2）当点P运动多少秒时，有$S_{△ PCQ}=S_{△ ABC}$？

15. (1) 当 t＜10 时,点 P 在线段 AB 上,此时 CQ = t cm,PB=(10-t) cm,
∴ $S = \frac{1}{2} · t · (10 - t) = 5t - \frac{1}{2}t^2$. 当 t＞10 时,点 P 在线段 AB 的延长线上,此时 CQ = t cm,PB = (t - 10) cm,
∴ $S = \frac{1}{2} · t · (t - 10) = \frac{1}{2}t^2 -5t$ (2)
∵ $S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AB · BC = 50 \mathrm{~cm}^2$,
∴ 当 t＜10 时,S = 50,即 $5t - \frac{1}{2}t^2 = 50$. 整理,得 $t^2 - 10t + 100 = 0$,无实数根. 当 t＞10 时,S = 50,即$\frac{1}{2}t^2 -5t = 50$. 整理,得 $t^2 -10t -100 = 0$,解得 $t=5+5\sqrt{5}$(负值舍去).
∴ 当点 P 运动$(5+5\sqrt{5})\mathrm{s}$时,有 $S_{△ PCQ}=S_{△ ABC}$

16. (16分)[陕西中考]如图,点O在△ABC的边AC上,以OC为半径的⊙O与AB相切于点D,与BC相交于点E,EF为⊙O的直径,FD与AC相交于点G,∠F=45°.
(1)求证:AB=AC;
(2)若$\sin A=\frac{3}{5}$,AB=8,求DG的长.

16. (1) 连接 OD.
∵ ∠F=45°,
∴ ∠DOE=2∠F=90°.
∵ ⊙O 与 AB 相切于点 D,
∴ AB ⊥ OD.
∴ ∠ODA = ∠DOE = 90°.
∴ AB // OE.
∵ OC = OE,
∴ ∠B = ∠OEC = ∠C.
∴ AB=AC (2)
∵ $\sin A = \frac{OD}{OA} = \frac{3}{5}$,
∴ $OA = \frac{5}{3}OD$.
∵ OF=OC=OD,OA+OC=AC=AB=8,∠DOF=90°,
∴ $\frac{5}{3}OD + OD = 8$.
∴ OF = OD = 3.
∴ $OA = \frac{5}{3} ×3 = 5$, $DF = \sqrt{OF^2+OD^2} = \sqrt{2} OF = 3\sqrt{2}$.
∴ $AD = \sqrt{OA^2-OD^2} = \sqrt{5^2-3^2} = 4$.
∵ AD//OF,
∴ △AGD∽△OGF.
∴ $\frac{DG}{FG}=\frac{AD}{OF}=\frac{4}{3}$.
∴ $DG=\frac{4}{4+3}DF=\frac{4}{7}DF=\frac{4}{7}×3\sqrt{2}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$