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6 [2025 自贡]如图，一束平行光线穿过一张对边平行的纸板.若$∠ 1=115°$,则$∠ 2$的度数为（
A.$75°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$115°$
D
）A.$75°$
B.$90°$
C.$100°$
D.$115°$
答案
6.D
解析
【分析】
解题时先从已知条件提取平行关系：一是所有入射光线互相平行，二是纸板的对边互相平行。我们需要借助平行线的性质推导∠1和∠2的数量关系：首先利用光线平行的性质，找到和∠1相等的同位角，再利用纸板对边平行的性质，得到该同位角与∠2相等，即可推出∠2的度数。
【解析】
解：由题意可知，平行光线互相平行，且纸板的对边互相平行。
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1与它在下方平行光线上的同位角度数相等；
再结合纸板的左右对边平行，平行光线为截线，可得上述同位角与∠2的度数相等；
因此∠2=∠1=115°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查平行线性质的应用，解题时只要准确识别两组平行线和对应的截线，理清角的相等关系即可快速得到答案。
【难度系数】
0.85
解题时先从已知条件提取平行关系：一是所有入射光线互相平行，二是纸板的对边互相平行。我们需要借助平行线的性质推导∠1和∠2的数量关系：首先利用光线平行的性质，找到和∠1相等的同位角，再利用纸板对边平行的性质，得到该同位角与∠2相等，即可推出∠2的度数。
【解析】
解：由题意可知，平行光线互相平行，且纸板的对边互相平行。
根据“两直线平行，同位角相等”，可得∠1与它在下方平行光线上的同位角度数相等；
再结合纸板的左右对边平行，平行光线为截线，可得上述同位角与∠2的度数相等；
因此∠2=∠1=115°。
【答案】
D
【知识点】
平行线的性质
【点评】
本题结合生活场景考查平行线性质的应用，解题时只要准确识别两组平行线和对应的截线，理清角的相等关系即可快速得到答案。
【难度系数】
0.85
7 [2024甘孜]如图，AB//CD，AD平分∠BAC，∠1=30°，则∠2的度数为 （
A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
B
）A.15°
B.30°
C.45°
D.60°
答案
7.B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知AB平行CD，可先利用平行线的内错角相等的性质，求出∠BAD的度数；再结合AD是∠BAC的角平分线的条件，可知∠2与∠BAD度数相等，即可求出∠2的数值。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BAD = ∠1 = 30°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠2 = ∠BAD = 30°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查几何中基础性质的结合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，准确找到角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知AB平行CD，可先利用平行线的内错角相等的性质，求出∠BAD的度数；再结合AD是∠BAC的角平分线的条件，可知∠2与∠BAD度数相等，即可求出∠2的数值。
【解析】
解：
∵AB//CD，
∴∠BAD = ∠1 = 30°（两直线平行，内错角相等）。
又
∵AD平分∠BAC，
∴∠2 = ∠BAD = 30°。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于基础题型，考查几何中基础性质的结合应用，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和角平分线的定义，准确找到角之间的等量关系即可快速求解。
【难度系数】
0.8
8 [2025 辽宁]如图，点C在$∠ AOB$的边OA上，$CD ⊥ OB$，垂足为D，$DE // OA$。若$∠ EDB=40°$，则$∠ ACD$的度数为 （
A.$50°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
C
）A.$50°$
B.$120°$
C.$130°$
D.$140°$
答案
8.C
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，根据平行线的同位角相等性质，由DE//OA推出∠AOB与已知∠EDB相等；第二步，结合CD⊥OB的垂直定义，得到直角△OCD，算出∠OCD的度数；第三步，利用平角为180°的邻补角性质，即可求出∠ACD的度数。也可先求∠CDE的度数，再用平行线同旁内角互补的性质计算结果。
【解析】
∵ DE//OA，OB是两条平行线的截线，
∴ ∠O = ∠EDB = 40°（两直线平行，同位角相等），
∵ CD⊥OB，
∴ ∠CDO = 90°，
在Rt△OCD中，∠OCD = 90° - ∠O = 90° - 40° = 50°，
∵ O、C、A三点共线，∠OCD与∠ACD互为邻补角，
∴ ∠ACD = 180° - ∠OCD = 180° - 50° = 130°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；邻补角计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查平行线性质和垂直定义的综合运用，解题的关键是准确识别平行线的截线，明确各角之间的位置关系。
【难度系数】
0.8
解题可分三步思考：第一步，根据平行线的同位角相等性质，由DE//OA推出∠AOB与已知∠EDB相等；第二步，结合CD⊥OB的垂直定义，得到直角△OCD，算出∠OCD的度数；第三步，利用平角为180°的邻补角性质，即可求出∠ACD的度数。也可先求∠CDE的度数，再用平行线同旁内角互补的性质计算结果。
【解析】
∵ DE//OA，OB是两条平行线的截线，
∴ ∠O = ∠EDB = 40°（两直线平行，同位角相等），
∵ CD⊥OB，
∴ ∠CDO = 90°，
在Rt△OCD中，∠OCD = 90° - ∠O = 90° - 40° = 50°，
∵ O、C、A三点共线，∠OCD与∠ACD互为邻补角，
∴ ∠ACD = 180° - ∠OCD = 180° - 50° = 130°。
【答案】
C
【知识点】
平行线的性质；垂直的定义；邻补角计算
【点评】
本题是几何基础计算题，核心考查平行线性质和垂直定义的综合运用，解题的关键是准确识别平行线的截线，明确各角之间的位置关系。
【难度系数】
0.8
9 [2024呼和浩特]如图，直线$l_1$和$l_2$被直线$l_3$和$l_4$所截，$∠1=∠2=130°$，$∠3=75°$，则$∠4$的度数为（
A.$75°$
B.$105°$
C.$115°$
D.$130°$
B
）A.$75°$
B.$105°$
C.$115°$
D.$130°$
答案
9.B
解析
【分析】
首先判断直线$l_1$和$l_2$的位置关系：已知$∠1$和$∠2$均为$130°$，$∠2$的对顶角和$∠1$是直线$l_3$截$l_1$、$l_2$得到的同位角，二者相等即可判定$l_1// l_2$。接下来利用平行线的性质，$∠3$和它在$l_2$上方的内错角相等，而这个内错角和$∠4$互为邻补角，和为$180°$，代入数值即可求出$∠4$的度数。
【解析】
解：$\because ∠2$与它的对顶角相等，且$∠2=130°$
$\therefore ∠2$的对顶角$=130°$
又$\because ∠1=130°$
$\therefore ∠1=∠2$的对顶角，二者是直线$l_3$截$l_1$、$l_2$形成的同位角
$\therefore l_1// l_2$（同位角相等，两直线平行）
$\because l_1// l_2$，$l_4$截$l_1$、$l_2$，$∠3=75°$
$\therefore ∠3$的内错角$=∠3=75°$（两直线平行，内错角相等）
$\because$该内错角与$∠4$是邻补角，和为$180°$
$\therefore ∠4=180°-75°=105°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，邻补角性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，重点考查平行线判定、性质定理以及邻补角的相关性质，解题关键是准确识别不同角的位置关系，熟练运用相关定理推导即可。
【难度系数】
0.7
首先判断直线$l_1$和$l_2$的位置关系：已知$∠1$和$∠2$均为$130°$，$∠2$的对顶角和$∠1$是直线$l_3$截$l_1$、$l_2$得到的同位角，二者相等即可判定$l_1// l_2$。接下来利用平行线的性质，$∠3$和它在$l_2$上方的内错角相等，而这个内错角和$∠4$互为邻补角，和为$180°$，代入数值即可求出$∠4$的度数。
【解析】
解：$\because ∠2$与它的对顶角相等，且$∠2=130°$
$\therefore ∠2$的对顶角$=130°$
又$\because ∠1=130°$
$\therefore ∠1=∠2$的对顶角，二者是直线$l_3$截$l_1$、$l_2$形成的同位角
$\therefore l_1// l_2$（同位角相等，两直线平行）
$\because l_1// l_2$，$l_4$截$l_1$、$l_2$，$∠3=75°$
$\therefore ∠3$的内错角$=∠3=75°$（两直线平行，内错角相等）
$\because$该内错角与$∠4$是邻补角，和为$180°$
$\therefore ∠4=180°-75°=105°$
【答案】
B
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，邻补角性质
【点评】
本题属于几何基础常考题，重点考查平行线判定、性质定理以及邻补角的相关性质，解题关键是准确识别不同角的位置关系，熟练运用相关定理推导即可。
【难度系数】
0.7
10 某小区车库门口的“曲臂直杆道闸”（如图①）可抽象为如图②所示的模型. 已知AB垂直于水平地面AE. 当车牌被自动识别后, 曲臂直杆道闸的BC段将绕点B缓慢向上抬高,CD段一直保持水平状态上升(即CD与AE始终平行),则在该运动过程中,∠ABC+∠BCD的度数始终为 (
A.$270°$
B.$250°$
C.$230°$
D.$180°$
A
)A.$270°$
B.$250°$
C.$230°$
D.$180°$
答案
10.A
解析
【分析】
本题要求运动过程中∠ABC+∠BCD的固定度数，已知CD始终与AE平行，AB垂直于AE，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度求解。首先过点B作平行于AE的直线，结合AB⊥AE可得到直角，再根据平行线的传递性得出所作辅助线也平行于CD，利用两直线平行同旁内角互补得到另一组角度和，最后合并即可得到所求角度之和。
【解析】
过点B作$BG// AE$，
$\because AB⊥ AE$，$BG// AE$，
$\therefore AB⊥ BG$，即$∠ ABG=90°$，
$\because CD// AE$，$BG// AE$，
$\therefore BG// CD$，
$\therefore ∠ GBC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ ABC = ∠ ABG + ∠ GBC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = ∠ ABG + (∠ GBC + ∠ BCD) = 90° + 180° = 270°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平行线的传递性；垂线的定义
【点评】
本题结合生活中的道闸场景考查平行线相关知识，解题的关键是合理构造辅助线，将未知角度关系转化为已知的平行线角度性质求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
本题要求运动过程中∠ABC+∠BCD的固定度数，已知CD始终与AE平行，AB垂直于AE，可通过作辅助线构造平行线，利用平行线的性质转化角度求解。首先过点B作平行于AE的直线，结合AB⊥AE可得到直角，再根据平行线的传递性得出所作辅助线也平行于CD，利用两直线平行同旁内角互补得到另一组角度和，最后合并即可得到所求角度之和。
【解析】
过点B作$BG// AE$，
$\because AB⊥ AE$，$BG// AE$，
$\therefore AB⊥ BG$，即$∠ ABG=90°$，
$\because CD// AE$，$BG// AE$，
$\therefore BG// CD$，
$\therefore ∠ GBC + ∠ BCD = 180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ ABC = ∠ ABG + ∠ GBC$，
$\therefore ∠ ABC + ∠ BCD = ∠ ABG + (∠ GBC + ∠ BCD) = 90° + 180° = 270°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质；平行线的传递性；垂线的定义
【点评】
本题结合生活中的道闸场景考查平行线相关知识，解题的关键是合理构造辅助线，将未知角度关系转化为已知的平行线角度性质求解，注重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
11 小明和小颖在做三角形摆放游戏，他们将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，使CE位于∠ACB内部，三角尺ABC的位置保持不变，改变三角尺CDE的位置，当∠ECB=
30°
时，DE//BC.答案
11.30°
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从平行线的判定条件入手：两直线平行的前提是内错角相等、同位角相等或者同旁内角互补。观察图形可知，DE和BC被CE所截，∠DEC和∠ECB是一组内错角，要使DE//BC，只需这两个内错角相等即可。再结合三角尺的固有角度，就能直接得出∠ECB的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。
观察图形可得，当∠ECB=∠DEC时，DE//BC。
已知三角尺CDE中，∠DEC=30°，因此当∠ECB=30°时，满足内错角相等的条件，此时DE//BC。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的判定、三角尺的角度特征
【点评】
本题以三角尺摆放为背景，考查平行线判定定理的实际应用，解题的关键是准确识别出截线与被截线形成的内错角，结合三角尺的固定角度即可快速求解，侧重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们可以从平行线的判定条件入手：两直线平行的前提是内错角相等、同位角相等或者同旁内角互补。观察图形可知，DE和BC被CE所截，∠DEC和∠ECB是一组内错角，要使DE//BC，只需这两个内错角相等即可。再结合三角尺的固有角度，就能直接得出∠ECB的度数。
【解析】
根据平行线的判定定理：内错角相等，两直线平行。
观察图形可得，当∠ECB=∠DEC时，DE//BC。
已知三角尺CDE中，∠DEC=30°，因此当∠ECB=30°时，满足内错角相等的条件，此时DE//BC。
【答案】
30°
【知识点】
平行线的判定、三角尺的角度特征
【点评】
本题以三角尺摆放为背景，考查平行线判定定理的实际应用，解题的关键是准确识别出截线与被截线形成的内错角，结合三角尺的固定角度即可快速求解，侧重对基础定理的理解和应用。
【难度系数】
0.8
12 如图，BC平分∠DBE，∠3=∠4.若∠1=48°,∠2=132°,则∠ADB=
66°
.答案
12.66°
解析
【分析】
解题时我们可以按以下思路推导：首先根据∠2的邻补角与∠1相等，先判定直线AE和FC平行；再结合∠3=∠4的条件，推导得出AD与BC平行；接着利用邻补角性质算出∠DBE的度数，结合角平分线定义求出∠DBC的大小；最后根据AD与BC平行时内错角相等，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 计算∠BDC的度数：
∵∠2=132°，∠2与∠BDC互为邻补角，
∴∠BDC=180°-∠2=180°-132°=48°。
2. 判定AE//FC：
∵∠1=48°，
∴∠1=∠BDC，
∴AE//FC（同位角相等，两直线平行）。
3. 判定AD//BC：
∵AE//FC，
∴∠EBC=∠3（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）。
4. 计算∠DBE的度数：
∵∠1与∠DBE互为邻补角，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-48°=132°。
5. 利用角平分线求∠DBC：
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC=½∠DBE=½×132°=66°。
6. 求∠ADB的度数：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADB=66°。
【答案】
66°
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的应用，解题的核心是通过角度的等量关系推导平行线，再利用平行线的性质完成角度的转化，需要熟练掌握平行线相关的几何定理。
【难度系数】
0.7
解题时我们可以按以下思路推导：首先根据∠2的邻补角与∠1相等，先判定直线AE和FC平行；再结合∠3=∠4的条件，推导得出AD与BC平行；接着利用邻补角性质算出∠DBE的度数，结合角平分线定义求出∠DBC的大小；最后根据AD与BC平行时内错角相等，即可求出∠ADB的度数。
【解析】
1. 计算∠BDC的度数：
∵∠2=132°，∠2与∠BDC互为邻补角，
∴∠BDC=180°-∠2=180°-132°=48°。
2. 判定AE//FC：
∵∠1=48°，
∴∠1=∠BDC，
∴AE//FC（同位角相等，两直线平行）。
3. 判定AD//BC：
∵AE//FC，
∴∠EBC=∠3（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠3=∠4，
∴∠EBC=∠4，
∴AD//BC（同位角相等，两直线平行）。
4. 计算∠DBE的度数：
∵∠1与∠DBE互为邻补角，
∴∠DBE=180°-∠1=180°-48°=132°。
5. 利用角平分线求∠DBC：
∵BC平分∠DBE，
∴∠DBC=½∠DBE=½×132°=66°。
6. 求∠ADB的度数：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC（两直线平行，内错角相等），
∴∠ADB=66°。
【答案】
66°
【知识点】
平行线的判定与性质、角平分线的定义、邻补角的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，主要考查平行线的判定定理、性质定理以及角平分线的应用，解题的核心是通过角度的等量关系推导平行线，再利用平行线的性质完成角度的转化，需要熟练掌握平行线相关的几何定理。
【难度系数】
0.7
13 如图，$DE// CB$，$∠ B=∠ D$.
（1）判断$AB$，$CD$是否平行，并说明理由；
（2）一题多解 若$∠ B + ∠ F = 102°$，求$∠ DEF$的度数.
（1）判断$AB$，$CD$是否平行，并说明理由；
（2）一题多解 若$∠ B + ∠ F = 102°$，求$∠ DEF$的度数.
答案
13.（1）$AB// CD$ 理由：$\because DE// CB,\therefore ∠ D=∠ BCF.$
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ BCF=∠ B.\therefore AB// CD.$
（2）解法一：$\because DE// CB,\therefore ∠ B+∠ BED=180°.\therefore ∠ B+∠ BEF+∠ DEF=180°.\because AB// CD,\therefore ∠ F=∠ BEF.$
$\therefore ∠ B+∠ F+∠ DEF=180°.\because ∠ B+∠ F = 102°,\therefore ∠ DEF=78°$
解法二：$\because ∠ B+∠ F=102°,∠ B=∠ D,\therefore ∠ D+∠ F=102°.$
在$△ EDF$中,$∠ DEF=180°-(∠ D+∠ F)=78°$
$\because ∠ B=∠ D,\therefore ∠ BCF=∠ B.\therefore AB// CD.$
（2）解法一：$\because DE// CB,\therefore ∠ B+∠ BED=180°.\therefore ∠ B+∠ BEF+∠ DEF=180°.\because AB// CD,\therefore ∠ F=∠ BEF.$
$\therefore ∠ B+∠ F+∠ DEF=180°.\because ∠ B+∠ F = 102°,\therefore ∠ DEF=78°$
解法二：$\because ∠ B+∠ F=102°,∠ B=∠ D,\therefore ∠ D+∠ F=102°.$
在$△ EDF$中,$∠ DEF=180°-(∠ D+∠ F)=78°$
解析
【分析】
（1）判断两直线平行可通过平行线判定定理，寻找同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的关系。已知$DE//CB$，可先由平行线性质得到角的等量关系，再结合已知$∠B=∠D$，推导得到$AB$、$CD$被$BC$所截的内错角相等，即可判定两直线平行。
（2）求$∠DEF$有两种思路：思路一，利用平行线性质，先由$DE//CB$得到$∠B$与$∠BED$互补，再结合第一问得到的$AB//CD$推出$∠F=∠BEF$，代入已知的$∠B+∠F=102°$即可计算；思路二，利用$∠B=∠D$将已知条件转化为$△ EDF$中两个内角的和，结合三角形内角和为$180°$直接计算。
【解析】
（1）$AB// CD$，理由如下：
$\because DE// CB$，
$\therefore ∠D=∠BCF$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠B=∠D$，
$\therefore ∠BCF=∠B$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解法一：
$\because DE// CB$，
$\therefore ∠B+∠BED=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
即$∠B+∠BEF+∠DEF=180°$。
由（1）知$AB// CD$，
$\therefore ∠F=∠BEF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠B+∠F+∠DEF=180°$。
$\because ∠B+∠F=102°$，
$\therefore ∠DEF=180°-102°=78°$。
解法二：
$\because ∠B=∠D$，$∠B+∠F=102°$，
$\therefore ∠D+∠F=102°$（等量代换）。
在$△ EDF$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠DEF=180°-(∠D+∠F)=180°-102°=78°$。
【答案】
（1）$AB// CD$，理由见解析；（2）$78°$
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，提供了两种解题思路，既可以通过连续运用平行线性质推导角的关系求解，也可以结合三角形内角和定理快速计算，有助于培养发散思维和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
（1）判断两直线平行可通过平行线判定定理，寻找同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的关系。已知$DE//CB$，可先由平行线性质得到角的等量关系，再结合已知$∠B=∠D$，推导得到$AB$、$CD$被$BC$所截的内错角相等，即可判定两直线平行。
（2）求$∠DEF$有两种思路：思路一，利用平行线性质，先由$DE//CB$得到$∠B$与$∠BED$互补，再结合第一问得到的$AB//CD$推出$∠F=∠BEF$，代入已知的$∠B+∠F=102°$即可计算；思路二，利用$∠B=∠D$将已知条件转化为$△ EDF$中两个内角的和，结合三角形内角和为$180°$直接计算。
【解析】
（1）$AB// CD$，理由如下：
$\because DE// CB$，
$\therefore ∠D=∠BCF$（两直线平行，同位角相等）。
又$\because ∠B=∠D$，
$\therefore ∠BCF=∠B$（等量代换），
$\therefore AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。
（2）解法一：
$\because DE// CB$，
$\therefore ∠B+∠BED=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
即$∠B+∠BEF+∠DEF=180°$。
由（1）知$AB// CD$，
$\therefore ∠F=∠BEF$（两直线平行，内错角相等），
$\therefore ∠B+∠F+∠DEF=180°$。
$\because ∠B+∠F=102°$，
$\therefore ∠DEF=180°-102°=78°$。
解法二：
$\because ∠B=∠D$，$∠B+∠F=102°$，
$\therefore ∠D+∠F=102°$（等量代换）。
在$△ EDF$中，根据三角形内角和为$180°$，
$∠DEF=180°-(∠D+∠F)=180°-102°=78°$。
【答案】
（1）$AB// CD$，理由见解析；（2）$78°$
【知识点】
平行线的判定，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题考查平行线判定与性质的综合应用，提供了两种解题思路，既可以通过连续运用平行线性质推导角的关系求解，也可以结合三角形内角和定理快速计算，有助于培养发散思维和知识迁移的能力。
【难度系数】
0.7
