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14 如图，$AB// CD$，点$E$，$F$分别在直线$AB$，$CD$上，$EP⊥ FP$，$EP$平分$∠ BEG$，则$∠ 1$与$∠ 2$的数量关系为（
A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 1=2∠ 2$
C.$∠ 1=3∠ 2$
D.$∠ 1=4∠ 2$
B
）A.$∠ 1=∠ 2$
B.$∠ 1=2∠ 2$
C.$∠ 1=3∠ 2$
D.$∠ 1=4∠ 2$
答案
14.B
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：第一步根据角平分线的性质得到∠BEG和∠BEP的倍分关系；第二步利用平行线的同旁内角互补，得到∠BEF与∠EFD的和为180°；第三步结合直角三角形两锐角互余的性质，得到∠PEF+∠PFE=90°，再将相关角度拆分后代换计算，最后结合邻补角的性质即可推导出∠1和∠2的数量关系。
【解析】
解：
∵ EP平分∠BEG，
∴ ∠BEG = 2∠BEP。
∵ AB//CD，
∴ ∠BEF + ∠EFD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ EP⊥FP，
∴ ∠EPF=90°，
在△EPF中，∠PEF + ∠PFE = 180° - 90° = 90°。
∵ ∠BEF = ∠BEP + ∠PEF，∠EFD = ∠PFE + ∠2，
代入∠BEF + ∠EFD = 180°得：
∠BEP + ∠PEF + ∠PFE + ∠2 = 180°，
把∠PEF + ∠PFE = 90°代入上式：
∠BEP + 90° + ∠2 = 180°，
∴ ∠BEP = 90° - ∠2，
∴ ∠BEG = 2∠BEP = 2(90° - ∠2) = 180° - 2∠2。
又
∵ ∠1 + ∠BEG = 180°（邻补角的和为180°），
∴ ∠1 = 180° - ∠BEG = 180° - (180° - 2∠2) = 2∠2。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了多个基础几何知识点，解题的核心是找准角度之间的拆分关系，通过等量代换推导未知角的数量关系，是平行线章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手：第一步根据角平分线的性质得到∠BEG和∠BEP的倍分关系；第二步利用平行线的同旁内角互补，得到∠BEF与∠EFD的和为180°；第三步结合直角三角形两锐角互余的性质，得到∠PEF+∠PFE=90°，再将相关角度拆分后代换计算，最后结合邻补角的性质即可推导出∠1和∠2的数量关系。
【解析】
解：
∵ EP平分∠BEG，
∴ ∠BEG = 2∠BEP。
∵ AB//CD，
∴ ∠BEF + ∠EFD = 180°（两直线平行，同旁内角互补）。
又
∵ EP⊥FP，
∴ ∠EPF=90°，
在△EPF中，∠PEF + ∠PFE = 180° - 90° = 90°。
∵ ∠BEF = ∠BEP + ∠PEF，∠EFD = ∠PFE + ∠2，
代入∠BEF + ∠EFD = 180°得：
∠BEP + ∠PEF + ∠PFE + ∠2 = 180°，
把∠PEF + ∠PFE = 90°代入上式：
∠BEP + 90° + ∠2 = 180°，
∴ ∠BEP = 90° - ∠2，
∴ ∠BEG = 2∠BEP = 2(90° - ∠2) = 180° - 2∠2。
又
∵ ∠1 + ∠BEG = 180°（邻补角的和为180°），
∴ ∠1 = 180° - ∠BEG = 180° - (180° - 2∠2) = 2∠2。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于几何基础综合题，融合了多个基础几何知识点，解题的核心是找准角度之间的拆分关系，通过等量代换推导未知角的数量关系，是平行线章节的典型考法。
【难度系数】
0.7
15 如图，$∠ 1=120°$，$∠ 2=60°$，$∠ 3=100°$，则当$∠ 4=\_\_\_\_\_\_$时，$AB// EF$。
答案
15.100°
解析
【分析】
要使AB//EF，我们可以借助中间直线CD作为桥梁，先判断AB与CD的平行关系，再根据平行的传递性，推导出CD与EF需要满足平行关系，最后根据平行线的判定定理求出∠4的度数。首先根据已知∠1和∠2的度数，可先证AB//CD；要得到AB//EF，需CD//EF，再结合平行线的判定条件即可求出∠4的度数。
【解析】
解：首先证明AB//CD：
∵∠1=120°，∠1与它的邻补角和为180°，
∴∠1的邻补角=180°-120°=60°，
又
∵∠2=60°，
∴∠1的邻补角=∠2，
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
要使AB//EF，根据平行的传递性，需要满足CD//EF：
当CD//EF时，∠3和∠4是CD、EF被截线形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得∠4=∠3，
已知∠3=100°，
∴∠4=100°。
【答案】
100°
【知识点】
平行线的判定、平行的传递性、补角的性质
【点评】
本题考查平行线判定的综合应用，解题的核心是找到中间线段CD作为平行关系的桥梁，通过两次平行线的判定推导得到结论，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
要使AB//EF，我们可以借助中间直线CD作为桥梁，先判断AB与CD的平行关系，再根据平行的传递性，推导出CD与EF需要满足平行关系，最后根据平行线的判定定理求出∠4的度数。首先根据已知∠1和∠2的度数，可先证AB//CD；要得到AB//EF，需CD//EF，再结合平行线的判定条件即可求出∠4的度数。
【解析】
解：首先证明AB//CD：
∵∠1=120°，∠1与它的邻补角和为180°，
∴∠1的邻补角=180°-120°=60°，
又
∵∠2=60°，
∴∠1的邻补角=∠2，
∴AB//CD（同位角相等，两直线平行）。
要使AB//EF，根据平行的传递性，需要满足CD//EF：
当CD//EF时，∠3和∠4是CD、EF被截线形成的内错角，根据“内错角相等，两直线平行”，可得∠4=∠3，
已知∠3=100°，
∴∠4=100°。
【答案】
100°
【知识点】
平行线的判定、平行的传递性、补角的性质
【点评】
本题考查平行线判定的综合应用，解题的核心是找到中间线段CD作为平行关系的桥梁，通过两次平行线的判定推导得到结论，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7
16 如图①所示为一打孔器的实物图，如图②所示为使用打孔器的侧面示意图，$AD// BC$，使用打孔器时，$AD$，$DE$，$DC$分别移动到$AD'$，$D'E'$，$D'C$的位置，此时$D'E'// BC$，$DD'$平分$∠ ADC$。如果$∠ DD'E' = 62°$，那么$∠ DCB=$
56°
。答案
16. 56° 【解析】$\because D'E'// BC,AD// BC,\therefore AD// D'E'.$
$\therefore ∠ ADD'=∠ DD'E'=62°.\because DD'$平分$∠ ADC,\therefore ∠ ADC=2∠ ADD'=124°.\because AD// BC,\therefore ∠ DCB=180°-∠ ADC=56°.$
$\therefore ∠ ADD'=∠ DD'E'=62°.\because DD'$平分$∠ ADC,\therefore ∠ ADC=2∠ ADD'=124°.\because AD// BC,\therefore ∠ DCB=180°-∠ ADC=56°.$
解析
【分析】
解题时首先结合已知的多组平行关系，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”推出$AD// D'E'$，利用平行线的内错角相等得到$∠ADD'$的度数；再根据角平分线的定义求出$∠ADC$的度数；最后利用$AD// BC$时同旁内角互补的性质，即可计算出$∠DCB$的度数。
【解析】
$\because D'E'// BC,AD// BC$，
$\therefore AD// D'E'$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ADD'=∠DD'E'=62°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because DD'$平分$∠ADC$，
$\therefore ∠ADC=2∠ADD'=2×62°=124°$（角平分线的定义）。
又$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADC+∠DCB=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠DCB=180°-124°=56°$。
【答案】
$56°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行公理的推论
【点评】
本题结合生活中的打孔器场景命题，考查了平行线性质与角平分线定义的综合应用，解题的核心是准确梳理平行关系对应的角的数量关系，推导过程逻辑清晰，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.75
解题时首先结合已知的多组平行关系，根据“平行于同一直线的两条直线互相平行”推出$AD// D'E'$，利用平行线的内错角相等得到$∠ADD'$的度数；再根据角平分线的定义求出$∠ADC$的度数；最后利用$AD// BC$时同旁内角互补的性质，即可计算出$∠DCB$的度数。
【解析】
$\because D'E'// BC,AD// BC$，
$\therefore AD// D'E'$（平行于同一条直线的两条直线互相平行），
$\therefore ∠ADD'=∠DD'E'=62°$（两直线平行，内错角相等）。
$\because DD'$平分$∠ADC$，
$\therefore ∠ADC=2∠ADD'=2×62°=124°$（角平分线的定义）。
又$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ADC+∠DCB=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\therefore ∠DCB=180°-124°=56°$。
【答案】
$56°$
【知识点】
平行线的性质；角平分线的定义；平行公理的推论
【点评】
本题结合生活中的打孔器场景命题，考查了平行线性质与角平分线定义的综合应用，解题的核心是准确梳理平行关系对应的角的数量关系，推导过程逻辑清晰，属于基础类几何应用题。
【难度系数】
0.75
17 如图，$AB// CD$，射线$AH$交$BC$于点$F$，交$CD$于点$D$，从点$D$引一条射线$DE$。若$∠ B+∠ CDE=180°$，求证：$∠ AFC=∠ EDH$。
答案
17. $\because AB// CD,\therefore ∠ B=∠ C.\because ∠ B+∠ CDE = 180°,\therefore ∠ C+∠ CDE = 180°.\therefore BC// DE.\therefore ∠ EDH=∠ BFH.$
$\because ∠ BFH=∠ AFC,\therefore ∠ AFC=∠ EDH$
$\because ∠ BFH=∠ AFC,\therefore ∠ AFC=∠ EDH$
解析
【分析】
本题是平行线性质与判定的综合证明题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先根据已知AB//CD，利用平行线内错角相等的性质，得到∠B与∠C相等；2. 结合已知∠B+∠CDE=180°，通过等量代换得到∠C+∠CDE=180°，再依据同旁内角互补、两直线平行，推出BC//DE；3. 由BC//DE可得同位角∠EDH=∠BFH，再结合∠BFH和∠AFC是对顶角、对顶角相等，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠B + ∠CDE = 180°（已知），
∴ ∠C + ∠CDE = 180°（等量代换），
∴ BC//DE（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠EDH = ∠BFH（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠BFH = ∠AFC（对顶角相等），
∴ ∠AFC = ∠EDH（等量代换）。
【答案】
∠AFC=∠EDH，得证
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，对顶角相等
【点评】
本题属于平行线相关的常规基础题，核心是灵活运用平行线的性质和判定定理推导角的等量关系，结合对顶角的性质完成等量代换即可解题，能有效考查学生对平行线基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
本题是平行线性质与判定的综合证明题，解题思路可按以下步骤梳理：1. 先根据已知AB//CD，利用平行线内错角相等的性质，得到∠B与∠C相等；2. 结合已知∠B+∠CDE=180°，通过等量代换得到∠C+∠CDE=180°，再依据同旁内角互补、两直线平行，推出BC//DE；3. 由BC//DE可得同位角∠EDH=∠BFH，再结合∠BFH和∠AFC是对顶角、对顶角相等，最后通过等量代换即可证明结论。
【解析】
证明：
∵ AB//CD（已知），
∴ ∠B = ∠C（两直线平行，内错角相等）。
∵ ∠B + ∠CDE = 180°（已知），
∴ ∠C + ∠CDE = 180°（等量代换），
∴ BC//DE（同旁内角互补，两直线平行），
∴ ∠EDH = ∠BFH（两直线平行，同位角相等）。
∵ ∠BFH = ∠AFC（对顶角相等），
∴ ∠AFC = ∠EDH（等量代换）。
【答案】
∠AFC=∠EDH，得证
【知识点】
平行线的性质，平行线的判定，对顶角相等
【点评】
本题属于平行线相关的常规基础题，核心是灵活运用平行线的性质和判定定理推导角的等量关系，结合对顶角的性质完成等量代换即可解题，能有效考查学生对平行线基础知识的掌握程度。
【难度系数】
0.8
18 如图所示为一种躺椅简化结构示意图，扶手AB与底座CD都平行于地面，前支架OE与后支架OF分别与CD交于点G和点D，AB与DM交于点N，$∠ EOF = 90°$，$∠ ODC=32°$.
（1）求$∠ AOE$的度数；
（2）若$∠ BNM=58°$，求证：$OE // DM$.
（1）求$∠ AOE$的度数；
（2）若$∠ BNM=58°$，求证：$OE // DM$.
答案
18.（1）$\because$ 扶手AB与底座CD都平行于地面,$∠ ODC=32°,\therefore AB// CD.\therefore ∠ BOD=∠ ODC=32°.\because ∠ EOF = 90°,$
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ EOF-∠ BOD=180°-90°-32°=58°$
（2）$\because ∠ BNM=58°,\therefore ∠ AND=∠ BNM=58°.\therefore ∠ AOE=∠ AND.\therefore OE// DM$
$\therefore ∠ AOE=180°-∠ EOF-∠ BOD=180°-90°-32°=58°$
（2）$\because ∠ BNM=58°,\therefore ∠ AND=∠ BNM=58°.\therefore ∠ AOE=∠ AND.\therefore OE// DM$
解析
【分析】
（1）求∠AOE的度数时，首先根据AB、CD都平行于地面可推出AB//CD，利用平行线内错角相等的性质求出∠BOD的度数，再结合平角为180°、∠EOF是直角，用平角减去已知两个角的度数即可得到∠AOE的大小。
（2）要证明OE//DM，可通过证明同位角相等推导：先根据对顶角相等得到∠AND=∠BNM，结合（1）中求得的∠AOE的度数，可得∠AOE和∠AND相等，根据同位角相等两直线平行即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵扶手AB与底座CD都平行于地面，
∴$AB// CD$，
∴$∠ BOD=∠ ODC=32°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ EOF=90°$，$∠ AOB$是平角为$180°$，
∴$∠ AOE=180°-∠ EOF-∠ BOD=180°-90°-32°=58°$。
（2）证明：
∵$∠ BNM=58°$，
∴$∠ AND=∠ BNM=58°$（对顶角相等），
由（1）得$∠ AOE=58°$，
∴$∠ AOE=∠ AND$，
∴$OE// DM$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）$\boxed{58°}$；（2）证明成立，$OE// DM$
【知识点】
平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质
【点评】
本题结合生活实际场景出题，考查平行线相关定理的基础应用，解题的关键是准确梳理图形中角的位置关系和数量关系。
【难度系数】
0.8
（1）求∠AOE的度数时，首先根据AB、CD都平行于地面可推出AB//CD，利用平行线内错角相等的性质求出∠BOD的度数，再结合平角为180°、∠EOF是直角，用平角减去已知两个角的度数即可得到∠AOE的大小。
（2）要证明OE//DM，可通过证明同位角相等推导：先根据对顶角相等得到∠AND=∠BNM，结合（1）中求得的∠AOE的度数，可得∠AOE和∠AND相等，根据同位角相等两直线平行即可完成证明。
【解析】
（1）解：
∵扶手AB与底座CD都平行于地面，
∴$AB// CD$，
∴$∠ BOD=∠ ODC=32°$（两直线平行，内错角相等），
又
∵$∠ EOF=90°$，$∠ AOB$是平角为$180°$，
∴$∠ AOE=180°-∠ EOF-∠ BOD=180°-90°-32°=58°$。
（2）证明：
∵$∠ BNM=58°$，
∴$∠ AND=∠ BNM=58°$（对顶角相等），
由（1）得$∠ AOE=58°$，
∴$∠ AOE=∠ AND$，
∴$OE// DM$（同位角相等，两直线平行）。
【答案】
（1）$\boxed{58°}$；（2）证明成立，$OE// DM$
【知识点】
平行线的性质与判定，平角定义，对顶角性质
【点评】
本题结合生活实际场景出题，考查平行线相关定理的基础应用，解题的关键是准确梳理图形中角的位置关系和数量关系。
【难度系数】
0.8
19 如图，$∠ B = ∠ DCG$，$AE$ 平分 $∠ BAD$，$CD$ 与 $AE$ 相交于点 $F$，$∠ CFE = ∠ AEB$。
（1）若 $∠ BAD = 98°$，求 $∠ ADC$ 的度数。
（2）$AD$ 与 $BC$ 是什么位置关系？请说明理由。
（3）设 $∠ DAB = α$，$∠ AEG = β$，当 $α$，$β$ 满足什么数量关系时，$AE // DG$？请说明理由。
（1）若 $∠ BAD = 98°$，求 $∠ ADC$ 的度数。
（2）$AD$ 与 $BC$ 是什么位置关系？请说明理由。
（3）设 $∠ DAB = α$，$∠ AEG = β$，当 $α$，$β$ 满足什么数量关系时，$AE // DG$？请说明理由。
答案
19.（1）$\because ∠ B=∠ DCG,\therefore AB// CD.\therefore ∠ BAD+∠ ADC=180°.$又$\because ∠ BAD=98°, \therefore ∠ ADC=180°-∠ BAD=82°$
（2）$AD// BC$ 理由：$\because AB// CD,\therefore ∠ BAF=∠ CFE.\because AE$平分$∠ BAD, \therefore ∠ BAF=∠ FAD.\therefore ∠ FAD=∠ CFE.$
$\because ∠ CFE=∠ AEB, \therefore ∠ FAD=∠ AEB.\therefore AD // BC.$
（3）当$β + \frac{1}{2}α = 180°$时, $AE// DG$ 理由：$\because AD// BC,$
$\therefore ∠ DAF = ∠ AEB.\because AE$ 平分$∠ BAD, \therefore ∠ DAB = 2∠ DAF=2∠ AEB.\because ∠ DAB=α,\therefore α=2∠ DAF=2∠ AEB.$
$\therefore ∠ AEB = \frac{1}{2}α.$ 当 $AE// DG$ 时,$∠ AEB = ∠ G, ∠ AEG + ∠ G=180°.\because ∠ AEG=β,\therefore β + \frac{1}{2}α=180°.$
（2）$AD// BC$ 理由：$\because AB// CD,\therefore ∠ BAF=∠ CFE.\because AE$平分$∠ BAD, \therefore ∠ BAF=∠ FAD.\therefore ∠ FAD=∠ CFE.$
$\because ∠ CFE=∠ AEB, \therefore ∠ FAD=∠ AEB.\therefore AD // BC.$
（3）当$β + \frac{1}{2}α = 180°$时, $AE// DG$ 理由：$\because AD// BC,$
$\therefore ∠ DAF = ∠ AEB.\because AE$ 平分$∠ BAD, \therefore ∠ DAB = 2∠ DAF=2∠ AEB.\because ∠ DAB=α,\therefore α=2∠ DAF=2∠ AEB.$
$\therefore ∠ AEB = \frac{1}{2}α.$ 当 $AE// DG$ 时,$∠ AEB = ∠ G, ∠ AEG + ∠ G=180°.\because ∠ AEG=β,\therefore β + \frac{1}{2}α=180°.$
解析
【分析】
（1）首先由已知∠B=∠DCG，根据同位角相等可判定AB//CD，再利用平行线同旁内角互补的性质，结合已知∠BAD的度数即可求出∠ADC的度数；
（2）要判断AD与BC的位置关系，先由AB//CD得到∠BAF=∠CFE，结合角平分线定义推出∠FAD=∠CFE，再利用已知∠CFE=∠AEB等量代换得到∠FAD=∠AEB，根据内错角相等即可判定AD//BC；
（3）要推导AE//DG时α、β的数量关系，先结合AD//BC和角平分线定义得到∠AEB=½α，再根据AE//DG时同旁内角互补的性质，代入角度等量代换即可得到二者的数量关系。
【解析】
（1）$\because ∠ B=∠ DCG$，
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ BAD+∠ ADC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ BAD=98°$，
$\therefore ∠ ADC=180°-98°=82°$。
（2）$AD// BC$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CFE$（两直线平行，同位角相等），
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAF=∠ FAD$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ FAD=∠ CFE$，
$\because ∠ CFE=∠ AEB$，
$\therefore ∠ FAD=∠ AEB$，
$\therefore AD // BC$（内错角相等，两直线平行）。
（3）当$β + \frac{1}{2}α = 180°$时，$AE// DG$，理由如下：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ AEB$（两直线平行，内错角相等），
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ DAB = 2∠ DAF=2∠ AEB$，
$\because ∠ DAB=α$，
$\therefore ∠ AEB = \frac{1}{2}α$，
当 $AE// DG$ 时，
$∠ AEB = ∠ G$（两直线平行，同位角相等），
$∠ AEG + ∠ G=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ AEG=β$，
$\therefore β + \frac{1}{2}α=180°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ADC=82°}$；
（2）$\boldsymbol{AD// BC}$，理由见解析；
（3）当$\boldsymbol{β+\frac{1}{2}α=180°}$时，$AE// DG$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线章节的常规综合题，主要考查平行线判定和性质的灵活应用，解题的核心是通过已知条件逐步推导角的等量关系，结合角平分线定义完成平行判定和角度计算，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
（1）首先由已知∠B=∠DCG，根据同位角相等可判定AB//CD，再利用平行线同旁内角互补的性质，结合已知∠BAD的度数即可求出∠ADC的度数；
（2）要判断AD与BC的位置关系，先由AB//CD得到∠BAF=∠CFE，结合角平分线定义推出∠FAD=∠CFE，再利用已知∠CFE=∠AEB等量代换得到∠FAD=∠AEB，根据内错角相等即可判定AD//BC；
（3）要推导AE//DG时α、β的数量关系，先结合AD//BC和角平分线定义得到∠AEB=½α，再根据AE//DG时同旁内角互补的性质，代入角度等量代换即可得到二者的数量关系。
【解析】
（1）$\because ∠ B=∠ DCG$，
$\therefore AB// CD$（同位角相等，两直线平行），
$\therefore ∠ BAD+∠ ADC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
又$\because ∠ BAD=98°$，
$\therefore ∠ ADC=180°-98°=82°$。
（2）$AD// BC$，理由如下：
$\because AB// CD$，
$\therefore ∠ BAF=∠ CFE$（两直线平行，同位角相等），
$\because AE$平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ BAF=∠ FAD$（角平分线的定义），
$\therefore ∠ FAD=∠ CFE$，
$\because ∠ CFE=∠ AEB$，
$\therefore ∠ FAD=∠ AEB$，
$\therefore AD // BC$（内错角相等，两直线平行）。
（3）当$β + \frac{1}{2}α = 180°$时，$AE// DG$，理由如下：
$\because AD// BC$，
$\therefore ∠ DAF = ∠ AEB$（两直线平行，内错角相等），
$\because AE$ 平分$∠ BAD$，
$\therefore ∠ DAB = 2∠ DAF=2∠ AEB$，
$\because ∠ DAB=α$，
$\therefore ∠ AEB = \frac{1}{2}α$，
当 $AE// DG$ 时，
$∠ AEB = ∠ G$（两直线平行，同位角相等），
$∠ AEG + ∠ G=180°$（两直线平行，同旁内角互补），
$\because ∠ AEG=β$，
$\therefore β + \frac{1}{2}α=180°$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{∠ADC=82°}$；
（2）$\boldsymbol{AD// BC}$，理由见解析；
（3）当$\boldsymbol{β+\frac{1}{2}α=180°}$时，$AE// DG$，理由见解析。
【知识点】
平行线的判定；平行线的性质；角平分线的定义
【点评】
本题属于平行线章节的常规综合题，主要考查平行线判定和性质的灵活应用，解题的核心是通过已知条件逐步推导角的等量关系，结合角平分线定义完成平行判定和角度计算，解题逻辑清晰，难度适中。
【难度系数】
0.7
