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1 [2026 甘肃金昌期中]计算$\frac{2x-2}{x-2}+\frac{2}{2-x}$的结果为（
A.1
B.$\frac{2x}{x-2}$
C.2
D.-2
C
）A.1
B.$\frac{2x}{x-2}$
C.2
D.-2
答案
C 【解析】$\frac{2x-2}{x-2}+\frac{2}{2-x} = \frac{2x-2}{x-2} - \frac{2}{x-2} = \frac{2x-2-2}{x-2} = \frac{2x-4}{x-2} = \frac{2(x-2)}{x-2}=2$，故选C。
2[2025山东泰安期中]已知$M=\frac{x}{x-1},N=\frac{1}{x-1}$,则（
A.$M+N=1$
B.$M-N=1$
C.$M· N=1$
D.$\frac{M}{N}=1$
B
）A.$M+N=1$
B.$M-N=1$
C.$M· N=1$
D.$\frac{M}{N}=1$
答案
B 【解析】$\because M=\frac{x}{x-1},N=\frac{1}{x-1},\therefore M+N=\frac{x}{x-1}+\frac{1}{x-1}=\frac{x+1}{x-1},M-N=\frac{x}{x-1}-\frac{1}{x-1}=\frac{x-1}{x-1}=1,M· N=\frac{x}{x-1}·\frac{1}{x-1}=\frac{x}{(x-1)^2},\frac{M}{N}=\frac{x}{x-1}÷\frac{1}{x-1}=\frac{x}{x-1}·\frac{x-1}{1}=x$. 故选B.
3[2026河北石家庄质检]若$\frac{x^2}{1-x}+\frac{1}{x-1}$的值大于-6，则x的取值范围为
x＜5 且 x≠1
。答案
$x＜5 且 x≠1$ 【解析】$\frac{x^2}{1-x}+\frac{1}{x-1} = \frac{x^2}{1-x} - \frac{1}{1-x} = \frac{(x+1)(x-1)}{1-x} = -(x+1) = -x-1.$ $\because$ 原式的值大于-6,$\therefore -x-1＞-6$,解得$x＜5$,$\therefore x＜5$ 且 $x≠1$.
4 新考法[2026山西临汾质检]在学习了“分式的加减法运算”后，李萌同学设计了一种计算流程图，如图所示，但是张鹏同学在计算$\frac{2b}{b-a}-\frac{2a}{b-a}$的过程中说：“我只要按照流程中的几个路径进行计算即可.”请填写张鹏同学需要经历的路径：
①④
（填写序号）.答案
①④ 【解析】$\frac{2b}{b-a}-\frac{2a}{b-a}=\frac{2b-2a}{b-a}=\frac{2(b-a)}{b-a}=2$,所以张鹏同学需要经历的路径为①④. 故答案为①④.
5[2026 四川泸州期末]化简：$( \dfrac{t^2 + 1}{t} - 2 ) + \dfrac{t^2 - 1}{t}$
答案
【解】原式$=\frac{t^2+1}{t}+\frac{t^2-1}{t}-2=\frac{t^2+1+t^2-1}{t}-2=\frac{2t^2}{t}-2=2t-2.$
6[2025湖南永州期中]已知$x$是整数，且$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9}$为整数，则所有符合条件的$x$的值的和为（
A.12
B.15
C.18
D.20
A
）A.12
B.15
C.18
D.20
答案
A 【解析】$\frac{2}{x+3}+\frac{2}{3-x}+\frac{2x+18}{x^2-9} = \frac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{2(x+3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{2x+18}{(x+3)(x-3)} = \frac{2x+6}{(x+3)(x-3)} = \frac{2}{x-3}.\because x$ 为整数,$x≠3,x≠-3$,且原式为整数,$\therefore x-3=±1$ 或 $±2$,$\therefore x=4$ 或 $2$ 或 $5$ 或 $1$,$\therefore$ 所有符合条件的 $x$ 的值的和为 $4+2+5+1=12$,故选 A.
7 老师布置了一道分式计算题：$\frac{x}{x-y} - \frac{y}{x+y}$，小强是这样解答的：
他从第
他从第②
步开始出现错误(填序号)。答案
② 【解析】原式$=\frac{x(x+y)}{(x+y)(x-y)}-\frac{y(x-y)}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2+xy-xy+y^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2+y^2}{(x+y)(x-y)}=\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$,所以他从第②步开始出现错误,故答案为②.
8 计算$\frac{1}{x^2+x}+\frac{1}{x^2+3x+2}+\frac{1}{x^2+5x+6}$的结果为
$\frac{3}{x^2+3x}$
.答案
$\frac{3}{x^2+3x}$ 【解析】原式$=\frac{1}{x(x+1)}+\frac{1}{(x+1)(x+2)}+\frac{1}{(x+2)(x+3)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}+\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}+\frac{1}{x+2}-\frac{1}{x+3}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+3}=\frac{3}{x(x+3)}=\frac{3}{x^2+3x}.$
9[2026山西大同质检]化简:(1) $\frac{6}{(x+3)(x-3)} - \frac{1}{x-3}$ 
答案
【解】(1)原式$=\frac{6}{(x+3)(x-3)} - \frac{x+3}{(x+3)(x-3)} = \frac{6-x-3}{(x+3)(x-3)} = \frac{3-x}{(x+3)(x-3)} = -\frac{1}{x+3}.$
(2)原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y} - \frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y} = (x-y)-(2x-y)=x-y-2x+y=-x.$
(3)原式$=\frac{x+1}{x^2-1}+\frac{x-1}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{2x}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{2x^3+2x}{x^4-1}+\frac{2x^3-2x}{x^4-1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{4x^3}{x^4-1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{4x^7+4x^3}{x^8-1}+\frac{4x^7-4x^3}{x^8-1}=\frac{8x^7}{x^8-1}.$
(2)原式$=\frac{(x+y)(x-y)}{x+y} - \frac{4x^2-4xy+y^2}{2x-y} = (x-y)-(2x-y)=x-y-2x+y=-x.$
(3)原式$=\frac{x+1}{x^2-1}+\frac{x-1}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{2x}{x^2-1}+\frac{2x}{x^2+1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{2x^3+2x}{x^4-1}+\frac{2x^3-2x}{x^4-1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{4x^3}{x^4-1}+\frac{4x^3}{x^4+1}=\frac{4x^7+4x^3}{x^8-1}+\frac{4x^7-4x^3}{x^8-1}=\frac{8x^7}{x^8-1}.$
10[2025江苏无锡期中]已知：$P=x+1$，$Q=\dfrac{4x}{x+1}$.
(1)当$x＞0$时，比较$P$与$Q$的大小，并说明理由；
(2)设$y=\dfrac{3}{P}-\dfrac{Q}{2}$，若$x$是整数，求整数$y$的值.
(1)当$x＞0$时，比较$P$与$Q$的大小，并说明理由；
(2)设$y=\dfrac{3}{P}-\dfrac{Q}{2}$，若$x$是整数，求整数$y$的值.
答案
【解】(1)$P≥ Q$. 理由:$\because P=x+1,Q=\frac{4x}{x+1}$,
$\therefore P-Q=x+1-\frac{4x}{x+1}=\frac{(x+1)^2-4x}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{x+1}.$
$\because x＞0,\therefore x+1＞0.$ 又$\because (x-1)^2≥0$,
$\therefore \frac{(x-1)^2}{x+1}≥0,\therefore P≥ Q.$
(2) $y = \frac{3}{P} - \frac{Q}{2} = \frac{3}{x+1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{3-2x}{x+1} = \frac{-2(x+1)+5}{x+1} = -2 + \frac{5}{x+1}.$ $\because x,y$ 均为整数,
$\therefore x+1$ 的值为$±1,±5$,$\therefore$ 整数 $y$ 的值为 $3$ 或 $-7$ 或 $-1$ 或 $-3.$
$\therefore P-Q=x+1-\frac{4x}{x+1}=\frac{(x+1)^2-4x}{x+1}=\frac{(x-1)^2}{x+1}.$
$\because x＞0,\therefore x+1＞0.$ 又$\because (x-1)^2≥0$,
$\therefore \frac{(x-1)^2}{x+1}≥0,\therefore P≥ Q.$
(2) $y = \frac{3}{P} - \frac{Q}{2} = \frac{3}{x+1} - \frac{2x}{x+1} = \frac{3-2x}{x+1} = \frac{-2(x+1)+5}{x+1} = -2 + \frac{5}{x+1}.$ $\because x,y$ 均为整数,
$\therefore x+1$ 的值为$±1,±5$,$\therefore$ 整数 $y$ 的值为 $3$ 或 $-7$ 或 $-1$ 或 $-3.$
