1[2026安徽合肥期末,中]设实数$a,b,c$满足条件$c＜0＜b＜a$,且$a+b+c=1$.设$M=\dfrac{b+c}{a}$,$N=\dfrac{a+c}{b}$,$P=\dfrac{a+b}{c}$,则$M,N,P$之间的大小关系是 ()

A.$M＞N＞P$
B.$P＞M＞N$
C.$N＞P＞M$
D.$N＞M＞P$

D 【解析】由条件可得 $M=\frac{b+c}{a}=\frac{1-a}{a},N=\frac{a+c}{b}=\frac{1-b}{b},P=\frac{a+b}{c}=\frac{1-c}{c}.$ $M-N=\frac{1-a}{a}-\frac{1-b}{b}=\frac{b-a}{ab},M-P=\frac{1-a}{a}-\frac{1-c}{c}=\frac{c-a}{ac}.$ $\because$ 实数 $a,b,c$ 满足条件 $c＜0＜b＜a$,$\therefore ab＞0,ac＜0,b-a＜0,c-a＜0$,
$\therefore M-N＜0,M-P＞0,\therefore N＞M＞P$,故选 D.

2[中]已知实数$x,y,z$满足$\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6}$，且$\frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11$，则$x+y+z$的值为（）

A.12
B.14
C.$\frac{72}{7}$
D.9

A 【解析】$\because \frac{z}{x+y}+\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}=11,$$\therefore 1+\frac{z}{x+y}+1+\frac{x}{y+z}+1+\frac{y}{z+x}=14,\frac{x+y+z}{x+y}+\frac{x+y+z}{y+z}+\frac{x+y+z}{z+x}=14,$$\therefore (x+y+z)(\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x})=14,$$\therefore \frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{14}{x+y+z}.$ 而 $\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}=\frac{7}{6}$,$\therefore \frac{14}{x+y+z}=\frac{7}{6}$,$\therefore x+y+z=12.$ 故选 A.

3[中]若$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{a}{2n-1}+\frac{b}{2n+1}$对任意自然数n都成立，则a=，b=。

$\frac{1}{2}$，$-\frac{1}{2}$ 【解析】$\because \frac{a}{2n-1}+\frac{b}{2n+1} = \frac{(2a+2b)n+a-b}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{1}{(2n-1)(2n+1)},$$\therefore \begin{cases}2a+2b=0,\\a-b=1,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a=\frac{1}{2},\\b=-\frac{1}{2},\end{cases}$ 故答案为$\frac{1}{2},-\frac{1}{2}.$

4[2025广东清远期末,中](1)已知$b＞a＞0$,若分式$\frac{a}{b}$的分子、分母都加上1,所得分式$\frac{a+1}{b+1}$的值较原来分式$\frac{a}{b}$的值是增大了还是减小了?请说明理由.
(2)甲、乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次同种饲料.两次饲料的价格有变化,第一次的价格为$m$元/千克,第二次的价格为$n$元/千克($m,n$是正数,且$m≠n$).甲每次购买800千克,乙每次用去800元,而不管购买多少饲料.
①甲、乙两人所购饲料的平均单价分别是多少?
②甲、乙两人谁所购饲料的平均单价较低?
刷素养 → 走向重高

【解】(1)所得分式$\frac{a+1}{b+1}$的值较原来分式$\frac{a}{b}$的值增大了. 理由如下: $\frac{a}{b}-\frac{a+1}{b+1}=\frac{a(b+1)}{b(b+1)}-\frac{b(a+1)}{b(b+1)}=\frac{ab+a-ab-b}{b(b+1)}=\frac{a-b}{b^2+b}.$ $\because b＞a＞0,\therefore b^2+b＞0,a-b＜0,\therefore \frac{a-b}{b^2+b}＜0,\therefore$ 所得分式$\frac{a+1}{b+1}$的值较原来分式$\frac{a}{b}$的值增大了.
(2)①甲所购饲料的平均单价是$\frac{800m+800n}{800×2}=\frac{m+n}{2}$(元/千克),乙所购饲料的平均单价是$\frac{800×2}{\frac{800}{m}+\frac{800}{n}}=\frac{2mn}{m+n}$(元/千克).
②$\frac{m+n}{2}-\frac{2mn}{m+n}=\frac{(m+n)^2}{2(m+n)}-\frac{4mn}{2(m+n)}=\frac{(m-n)^2}{2(m+n)}.$
$\because m,n$ 是正数,且 $m ≠ n$,$\therefore \frac{(m-n)^2}{2(m+n)}＞0$,
$\therefore \frac{m+n}{2}＞\frac{2mn}{m+n}$,$\therefore$ 乙所购饲料的平均单价较低.

5 核心素养推理能力[2026浙江杭州期末,较难]一个代数式只含有字母$x,y$,把$x$替换成$y$,把$y$替换成$x$,得到一个新的代数式.若不论$x,y$如何取值,新代数式的值与原代数式的值始终相等,则称其为对称式.例如:代数式$\frac{x+y}{xy}$,交换$x$和$y$后的新代数式为$\frac{y+x}{yx}$,因为$\frac{x+y}{xy}=\frac{y+x}{yx}$,所以$\frac{x+y}{xy}$是对称式;而对于代数式$\frac{x-y}{x}$,交换$x$和$y$后的新代数式为$\frac{y-x}{y}$,当$x=2,y=1$时,原代数式的值为$\frac{1}{2}$,新代数式的值为$-1$,两者不相等,所以$\frac{x-y}{x}$不是对称式.
(1)请判断$x^2y+xy^2$和$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$是不是对称式,并说明理由;
(2)关于字母$x,y$的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$($m$为常数)是对称式,求$m$的值.

【解】(1)$x^2y+xy^2$ 是对称式,$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ 不是对称式. 理由如下: $\because x^2y+xy^2$ 交换 $x$ 和 $y$ 后的新代数式为 $y^2x+yx^2=x^2y+xy^2$,$\therefore x^2y+xy^2$ 是对称式;$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}=\frac{x^2}{xy}-\frac{y^2}{xy}=\frac{x^2-y^2}{xy}$,$\frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ 交换 $x$ 和 $y$ 后的新代数式为 $\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=\frac{y^2}{xy}-\frac{x^2}{xy}=\frac{y^2-x^2}{xy}$, 而 $\frac{x^2-y^2}{xy}≠\frac{y^2-x^2}{xy}$,$\therefore \frac{x}{y}-\frac{y}{x}$ 不是对称式.
(2)$\because$ 关于字母 $x,y$ 的代数式$\frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}$($m$ 为常数)是对称式,$\therefore \frac{x+my}{xy}+\frac{x-y}{xy}=\frac{y+mx}{yx}+\frac{y-x}{yx}$,
$\therefore \frac{2x+(m-1)y}{xy}=\frac{2y+(m-1)x}{yx}$,$\therefore 2x+(m-1)y=2y+(m-1)x$,$\therefore m-1=2$,$\therefore m=3.$