4. (2025·宿迁期中)如图,△ABC和△CDE都是等边三角形,且点A,C,E在一条直线上,连接AD,BE相交于点Q,与BC,CD分别交于点M,N.连接MN,QC.下列说法中正确的有 ()
①∠AQB= 60°;②△CMN是等边三角形;③QC平分$∠AQE;④△AMC≌△BNC;⑤QC^2+QD^2= 2QE^2.$

A. 2个
B. 3个
C. 4个
D. 5个

C 解析：∵△ABC和△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠ECD=60°，∴∠ACB+∠BCD=∠ECD+∠BCD，∠MCN=60°，∴∠BCE=∠ACD。在△BCE和△ACD中，$\begin{cases}AC=BC，\\∠ACD=∠BCE，\\DC=EC，\end{cases}$∴△BCE≌△ACD(SAS)，∴∠CAD=∠CBE，∠ADC=∠BEC。∵∠AMC=∠BMQ，∴∠AQB=∠ACB=60°，故①正确；
∵AC=BC，∠CAM=∠CBN，∠ACM=∠BCN=60°，∴△AMC≌△BNC(ASA)，故④正确；
∴CM=CN。∵∠MCN=60°，∴△CMN是等边三角形，故②正确；
如图①，过点C作CH⊥AD于点H，CG⊥BE于点G，∴∠AHC=∠BGC=90°。∵AC=BC，∠CAH=∠CBG，∴△ACH≌△BCG(AAS)，∴CH=CG。∵CH⊥AD，CG⊥BE，∴QC平分∠AQE，故③正确；
如图②，过点C作CK//BE，交AD于K，∵QC平分∠AQE，∠AQB=60°，∴∠EQC=$\frac{1}{2}$∠AQE=60°。∵CK//BE，∴∠EQC=∠KCQ=60°=∠DCE，∴∠QCE=∠KCD。∵CD=CE，∠ADC=∠BEC，∴△DCK≌△ECQ(ASA)，∴CK=CQ，QE=KD，∴△CKQ是等边三角形，∴KQ=CQ。∵KD=KQ+DQ，∴QE=DK=KQ+QD=CQ+QD，∴QE²=(CQ+QD)²=CQ²+2·CQ·QD+QD²，故⑤不正确，本题正确的有①②③④，共4个。故选C。

5. (2025·扬州期中)如图,AB⊥BC,∠ACB= 20°,∠CBD= 40°,AC= 4,BD= 2,则∠BCD= ______°.

30 解析：在AC上取一点E，使CE=BE，连接ED，如图，
∵∠ACB=20°，∴∠ACB=∠EBC=20°，∴∠AEB=∠ACB+∠EBC=40°。∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∴∠ACB+∠A=90°=∠EBC+∠EBA，∴∠A=∠EBA，∴BE=AE，∴CE=BE=AE。∵AC=4，∴CE=BE=AE=2，CE=BE=AE=BD=2。∵∠CBD=40°，∴∠EBD=∠CBD+∠EBC=40°+20°=60°，∴△BDE是等边三角形，∴DE=BD=2=CE，∠DEB=60°，∴∠AED=∠AEB+∠DEB=40°+60°=100°，∠ECD=∠EDC。∵∠AED=∠ECD+∠EDC，∴∠ECD=∠EDC=50°，∴∠BCD=∠ECD−∠ECB=50°−20°=30°。

6. (2025·南通期中)如图,∠BAC= 30°,M为射线AB上一动点(不与点A重合),点N在射线AC上,且AN= 6.点M运动的过程中,当MN+$\frac{1}{2}$AM取最小值时,∠AMN的度数是______°.

120 解析：如图，作点N关于AB的对称点G，连接AG，过点G作GH⊥AC交AC于点H，交AB于点M，连接MN，根据对称可得∠1=∠BAC=30°，AG=AN，∠AMG=∠AMN，MN=GM。∵∠MAH=30°，∠AHM=90°，∴MH=$\frac{1}{2}$AM，∴$\frac{1}{2}$AM+MN=MH+MN=MH+MG，∴当G，M，H三点共线，且GH⊥AN时，$\frac{1}{2}$AM+MN=MH+MG=GH最小，此时∠GAN=60°，∴△GAN是等边三角形，∴∠AGN=60°。∵GH⊥AN，∴∠2=$\frac{1}{2}$∠AGN=30°，∴∠AMG=180°−30°−30°=120°，∴∠AMN=120°。

7. (2025·连云港期中)如图,等腰三角形ABC中,AB= AC,点D是AC上一动点,点E,P分别在BD延长线上,且AB= AE,CP= EP.
【问题思考】(1)在图①中,求证:∠BPC= ∠BAC;
【问题再探】(2)若∠BAC= 60°,如图②,探究线段AP,BP,EP之间的数量关系,并证明你的结论;
【问题拓展】(3)若∠BAC= 90°且BD平分∠ABC,如图③,若BD= 5,则PC的值为______.

(1)∵AB=AC，AB=AE，∴AC=AE，∴∠ABE=∠E。又∵CP=EP，AP=AP，∴△ACP≌△AEP(SSS)，∴∠ACP=∠E，∴∠ACP=∠ABE。∵∠ADB=∠CDP，∴∠BPC=∠BAC。
(2)AP+EP=BP，证明：如图①，在BP上取点G，使PG=PC，连接GC。∵∠BAC=60°，∴∠BPC=60°，∴△GPC为等边三角形，∴PG=PC=CG。又∵AB=AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ACB=∠GCP=60°，∴∠ACB−∠ACG=∠GCP−∠ACG，即∠BCG=∠ACP。又∵BC=AC，GC=PC，∴△BCG≌△ACP(SAS)，∴BG=AP。∵EP=CP，∴EP=GP，∴BP=BG+GP=AP+EP，即AP+EP=BP。


(3)$\frac{5}{2}$ 解析：延长BA，CP交于点H，如图②，∵∠BPC=∠BAC=90°，∴∠BPC=∠BPH=90°。∵BD平分∠ABC，∴∠ABP=∠CBP。又∵BP=BP，∴△HBP≌△CBP(ASA)，∴CP=HP=$\frac{1}{2}$CH。∵∠ABD+∠ADB=90°=∠ACH+∠CDP，∠ADB=∠CDP，∴∠ABD=∠ACH。又∵∠BAC=∠HAC=90°，BA=CA，∴△BAD≌△CAH(ASA)，∴BD=CH=2CP，∴CP=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$。