1. (2025·南京期中)如图,AD,CF分别是△ABC的高和角平分线,AD与CF相交于G,AE平分∠CAD交BC于E,交CF于M,连接BM交AD于H,且BM⊥AE.有下列结论:①∠AMC= 135°;②△AMH≌△BME;③AH+CE= AC;④BM+MH= BC.其中,正确的结论是 ()

A. ①③
B. ①②③
C. ②④
D. ①②③④

B 解析：∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°。∵CF是△ABC的角平分线，AE平分∠CAD，∴∠MAC=$\frac{1}{2}$∠DAC，∠MCA=$\frac{1}{2}$∠DCA，∴∠MAC+∠MCA=$\frac{1}{2}$∠DAC+$\frac{1}{2}$∠DCA=45°，∴∠AMC=180°−(∠MAC+∠MCA)=135°，故①正确；
∵AD是△ABC的高，BM⊥AE，∴∠ADC=∠AMB=90°。∵∠AHM=∠BHD，∴∠CBM=∠HAM。∵AE平分∠CAD，CF是△ABC的角平分线，∴∠CAM=∠HAM，∠ACM=∠BCM，∴∠CAM=∠CBM。又∵CM=CM，∴△CMA≌△CMB(AAS)，∴MA=MB，∴△AMH≌△BME(ASA)，故②正确；
∵△CMA≌△CMB，∴AC=BC。∵△AMH≌△BME，∴AH=BE。∵CE+BE=BC，∴AH+CE=BC，∴CE+AH=AC，故③正确；
如图，延长BM交AC于点N，在△AMH和△AMN中，$\begin{cases}∠HAM=∠NAM，\\AM=AM，\\∠AMH=∠AMN，\end{cases}$

∴△AMH≌△AMN(ASA)，∴MH=MN。
∵∠BNC=90°+∠MAN，∴∠BNC＞∠BCN，
∴BC＞BN，∴BM+MH=BM+MN=BN＜BC，故④错误，故选B。

2. (2025·无锡期中)如图,在四边形ABCD中,AD= BC= 6,AB= CD,BD= 10,点E从D点出发,以每秒1个单位长度的速度沿DA向点A匀速移动,点F从点C出发,以每秒3个单位长度的速度沿C→B→C做匀速移动,点G从点B出发沿BD向点D匀速移动,三个点同时出发,当有一个点到达终点时,其余两点也随之停止运动.在整个运动过程中,当点G每秒移动______个单位长度时,△DEG与△BFG全等.

$\frac{10}{3}$或$\frac{5}{3}$或1 解析：∵在△ABD和△CDB中，$\begin{cases}AD=CB，\\AB=CD，\\BD=DB，\end{cases}$∴△ABD≌△CDB(SSS)，∴∠ADB=∠CBD。
设运动时间为t，点G的运动速度为v。当0＜t≤2时，若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases}DE=BF，\\DG=BG，\end{cases}$∴$\begin{cases}t=6−3t，\\10−BG=BG，\end{cases}$解得$\begin{cases}t=1.5，\\BG=5，\end{cases}$∴v=$\frac{5}{1.5}$=$\frac{10}{3}$；
若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases}DE=BG，\\DG=BF，\end{cases}$∴$\begin{cases}t=BG，\\10−BG=6−3t，\end{cases}$∴$\begin{cases}t=−2，\\BG=−2\end{cases}$(舍去)；当2＜t≤4时，若△DEG≌△BFG，则$\begin{cases}DE=BF，\\DG=BG，\end{cases}$∴$\begin{cases}t=3t−6，\\10−BG=BG，\end{cases}$∴$\begin{cases}t=3，\\BG=5，\end{cases}$∴v=$\frac{5}{3}$；若△DEG≌△BGF，则$\begin{cases}DE=BG，\\DG=BF，\end{cases}$∴$\begin{cases}t=4，\\BG=4，\end{cases}$∴v=1。
综上所述，当点G的运动速度为每秒$\frac{10}{3}$个单位长度或$\frac{5}{3}$个单位长度或1个单位长度时，△DEG与△BFG全等。

3. (2025·盐城校级月考)【发现问题】(1)数学活动课上,王老师提出了如下问题:如图①,AB= 6,AC= 4.求BC边上的中线AD的取值范围.
【探究方法】第一小组经过合作交流,得到了如下的解决方法:
①延长AD到E,使得DE= AD;
②连接BE,通过三角形全等把AB,AC,2AD转化在△ABE中;
③利用三角形的三边关系可得AE的取值范围为AB-BE＜AE＜AB+BE,从而得到AD的取
值范围是______.
方法总结:解题时,条件中若出现“中点”“中线”字样,可以考虑倍长中线构造全等三角形.
【问题解决】
(2)如图②,AD是△ABC的中线,AE是△ADC的中线,∠CAD= ∠CDA,下列四个选项中,所有正确选项的序号是______.
①∠CAE= ∠DAE;②AB= 2AE;③∠DAE= ∠DAB;④AE= AD.
【问题拓展】
(3)如图③,OA= OB,OC= OD,∠AOB与∠COD互补,连接AC,BD,E是AC的中点,求证:OE= $\frac{1}{2}$BD.
(4)如图④,在(3)的条件下,若∠AOB= 90°,延长EO交BD于点F,OF= 2,OE= 4,则△AOC的面积是______.

(1)1＜AD＜5
(2)②③ 解析：如图①，延长AE至H，使EH=AE，连接DH，∵AE是中线，∴DE=EC。又∵∠AEC=∠HED，AE=HE，∴△AEC≌△HED(SAS)，∴AC=DH，∠ACD=∠HDC。∵∠ADB=∠ACD+∠CAD，∠ADH=∠ADC+∠CDH，∴∠ADB=∠ADH。∵AD为中线，∴BD=CD。∵AC=CD，∴BD=DC=AC=DH。又∵AD=AD，∴△ADB≌△ADH(SAS)，∴AB=AH，∠BAD=∠DAE，∴AB=2AE。∵∠CAE=∠H，∴当AD=DH时，∠DAE=∠H=∠CAE。∵AD与DH，AE与AD的关系未知，∴①④错误，故不符合要求。故答案为②③。


(3)如图②，延长OE至H，使EH=OE，连接CH，∵E是AC的中点，∴AE=CE。又∵OE=HE，∠AEO=∠CEH，∴△AEO≌△CEH(SAS)，∴AO=CH，∠A=∠HCA，∴AO//CH，∴∠AOC+∠HCO=180°。∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOC+∠BOD=180°，∴∠BOD=∠OCH。又∵CH=OA=OB，OC=OD，∴△BOD≌△HCO(SAS)，∴BD=OH，∴OE=$\frac{1}{2}$BD。
(4)8 解析：如图②，∵△AEO≌△CEH，△BOD≌△HCO，∴S△AEO=S△CEH，S△BOD=S△HCO，∠D=∠COE，∴S△AOC=S△BOD=S△HCO。∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠COE+∠DOF=90°，∴∠DOF+∠D=90°，∴∠OFD=90°。∵OF=2，OE=4，∴BD=2OE=8，∴S△AOC=S△BOD=$\frac{1}{2}$BD·OF=8。