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【典例1】解关于x的不等式$ax^{2}-(a+3)x+3≤0$.
答案
解题指导 第1步:根据a与0的大小关系进行分类讨论,当$a= 0$时,直接求解即可.
第2步:当$a＞0或a＜0$时,将不等式左边因式分解,进而求得对应方程的根,再结合对应二次函数的图象求解即可.
答案 解:不等式可化为$(ax-3)(x-1)≤0$.
(1)当$a= 0$时,解得$x≥1$.
(2)当$a＜0$时,不等式化为$(x-\frac{3}{a})(x-1)≥0$,解得$x≤\frac{3}{a}或x≥1$.
(3)当$a＞0$时,不等式化为$(x-\frac{3}{a})(x-1)≤0$.
①若$0＜a＜3$,即$\frac{3}{a}＞1$,解得$1≤x≤\frac{3}{a}$;
②若$a= 3$,解得$x= 1$;
③若$a＞3$,即$\frac{3}{a}＜1$,解得$\frac{3}{a}≤x≤1$.
综上所述,当$a= 0$时,原不等式的解集为$\{x|x≥1\}$;当$a＜0$时,原不等式的解集为$\{x|x≤\frac{3}{a}或x≥1\}$;当$0＜a＜3$时,原不等式的解集为$\{x|1≤x≤\frac{3}{a}\}$;当$a= 3$时,原不等式的解集为$\{1\}$;当$a＞3$时,原不等式的解集为$\{x|\frac{3}{a}≤x≤1\}$.
第2步:当$a＞0或a＜0$时,将不等式左边因式分解,进而求得对应方程的根,再结合对应二次函数的图象求解即可.
答案 解:不等式可化为$(ax-3)(x-1)≤0$.
(1)当$a= 0$时,解得$x≥1$.
(2)当$a＜0$时,不等式化为$(x-\frac{3}{a})(x-1)≥0$,解得$x≤\frac{3}{a}或x≥1$.
(3)当$a＞0$时,不等式化为$(x-\frac{3}{a})(x-1)≤0$.
①若$0＜a＜3$,即$\frac{3}{a}＞1$,解得$1≤x≤\frac{3}{a}$;
②若$a= 3$,解得$x= 1$;
③若$a＞3$,即$\frac{3}{a}＜1$,解得$\frac{3}{a}≤x≤1$.
综上所述,当$a= 0$时,原不等式的解集为$\{x|x≥1\}$;当$a＜0$时,原不等式的解集为$\{x|x≤\frac{3}{a}或x≥1\}$;当$0＜a＜3$时,原不等式的解集为$\{x|1≤x≤\frac{3}{a}\}$;当$a= 3$时,原不等式的解集为$\{1\}$;当$a＞3$时,原不等式的解集为$\{x|\frac{3}{a}≤x≤1\}$.
【变式1】解关于x的不等式$ax^{2}-2≥2x-ax$.
答案
解：由ax²−2≥2x−ax，得ax²+(a−2)x−2=(ax−2)(x+1)≥0。
(1)当a=0时，不等式可化为−2x−2≥0，解得x≤−1。
(2)当a＞0时，原不等式化为(x+1)(x−$\frac{2}{a}$)≥0，且$\frac{2}{a}$＞−1，解得x≤−1或x≥$\frac{2}{a}$。
(3)当a＜0时，原不等式化为(x+1)(x−$\frac{2}{a}$)≤0。
①若−2＜a＜0，即−1＞$\frac{2}{a}$，解得$\frac{2}{a}$≤x≤−1；
②若a=−2，原不等式化为(x+1)²≤0，解得x=−1；
③若a＜−2，即−1＜$\frac{2}{a}$，解得−1≤x≤$\frac{2}{a}$。
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤−1}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|x≤−1或x≥$\frac{2}{a}$}；当−2＜a＜0时，原不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x≤−1}；当a=−2时，原不等式的解集为{−1}；当a＜−2时，原不等式的解集为{x|−1≤x≤$\frac{2}{a}$}。
(1)当a=0时，不等式可化为−2x−2≥0，解得x≤−1。
(2)当a＞0时，原不等式化为(x+1)(x−$\frac{2}{a}$)≥0，且$\frac{2}{a}$＞−1，解得x≤−1或x≥$\frac{2}{a}$。
(3)当a＜0时，原不等式化为(x+1)(x−$\frac{2}{a}$)≤0。
①若−2＜a＜0，即−1＞$\frac{2}{a}$，解得$\frac{2}{a}$≤x≤−1；
②若a=−2，原不等式化为(x+1)²≤0，解得x=−1；
③若a＜−2，即−1＜$\frac{2}{a}$，解得−1≤x≤$\frac{2}{a}$。
综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x≤−1}；当a＞0时，原不等式的解集为{x|x≤−1或x≥$\frac{2}{a}$}；当−2＜a＜0时，原不等式的解集为{x|$\frac{2}{a}$≤x≤−1}；当a=−2时，原不等式的解集为{−1}；当a＜−2时，原不等式的解集为{x|−1≤x≤$\frac{2}{a}$}。
【典例2】(多选)已知关于x的不等式$ax^{2}+bx+c≥0的解集为\{x|x≤-3或x≥4\}$,则下列说法正确的是()
A.$a＞0$
B.不等式$bx+c＞0的解集为\{x|x＜-4\}$
C.$a+b+c＞0$
D.不等式$cx^{2}-bx+a＜0的解集为\{x|x＜-\frac{1}{4}或x＞\frac{1}{3}\}$
A.$a＞0$
B.不等式$bx+c＞0的解集为\{x|x＜-4\}$
C.$a+b+c＞0$
D.不等式$cx^{2}-bx+a＜0的解集为\{x|x＜-\frac{1}{4}或x＞\frac{1}{3}\}$
答案
解题指导 第1步:首先根据"不等式大于等于0的解集形式为取两边",再结合"二次函数图象与一元二次不等式解集的关系",确定二次项系数a的符号.第2步:根据不等式的解集,可以知道-3和4是对应一元二次方程$ax^{2}+bx+c= 0$的根.第3步:根据根与系数的关系,列出系数a,b,c之间的关系式,并用a分别表示b和c,然后代入选项即可判断.
解析 $\because$关于x的不等式$ax^{2}+bx+c≥0的解集为\{x|x≤-3或x≥4\}$,$\therefore二次函数y= ax^{2}+bx+c$的图象开口向上,即$a＞0$,$\therefore$选项A正确.
由题意,易得方程$ax^{2}+bx+c= 0$的两个实数根为-3,4,\therefore\begin{cases}-3+4= -\frac{b}{a},\-3)×4= \frac{c}{a},\end{cases}解得\begin{cases}b= -a,\\c= -12a,
$\therefore不等式bx+c＞0等价于-ax-12a＞0$.
$\because a＞0$,$\therefore x＜-12$,$\therefore$选项B错误.
$\because a+b+c= a-a-12a= -12a＜0$,$\therefore$选项C错误.
不等式$cx^{2}-bx+a＜0等价于-12ax^{2}+ax+a＜0$,即$12x^{2}-x-1＞0$,解得$x＜-\frac{1}{4}或x＞\frac{1}{3}$,$\therefore不等式cx^{2}-bx+a＜0的解集为\{x|x＜-\frac{1}{4}或x＞\frac{1}{3}\}$,$\therefore$选项D正确.
答案 AD
解析 $\because$关于x的不等式$ax^{2}+bx+c≥0的解集为\{x|x≤-3或x≥4\}$,$\therefore二次函数y= ax^{2}+bx+c$的图象开口向上,即$a＞0$,$\therefore$选项A正确.
由题意,易得方程$ax^{2}+bx+c= 0$的两个实数根为-3,4,\therefore\begin{cases}-3+4= -\frac{b}{a},\-3)×4= \frac{c}{a},\end{cases}解得\begin{cases}b= -a,\\c= -12a,
$\therefore不等式bx+c＞0等价于-ax-12a＞0$.
$\because a＞0$,$\therefore x＜-12$,$\therefore$选项B错误.
$\because a+b+c= a-a-12a= -12a＜0$,$\therefore$选项C错误.
不等式$cx^{2}-bx+a＜0等价于-12ax^{2}+ax+a＜0$,即$12x^{2}-x-1＞0$,解得$x＜-\frac{1}{4}或x＞\frac{1}{3}$,$\therefore不等式cx^{2}-bx+a＜0的解集为\{x|x＜-\frac{1}{4}或x＞\frac{1}{3}\}$,$\therefore$选项D正确.
答案 AD
