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【变式2】一元二次不等式$ax^{2}+bx+c＞0的解集为\{x|-2＜x＜3\}$,那么关于x的不等式$ax^{2}-bx+c＞0$的解集为()
A.$\{x|x＞3或x＜-2\}$
B.$\{x|x＞2或x＜-3\}$
C.$\{x|-2＜x＜3\}$
D.$\{x|-3＜x＜2\}$
A.$\{x|x＞3或x＜-2\}$
B.$\{x|x＞2或x＜-3\}$
C.$\{x|-2＜x＜3\}$
D.$\{x|-3＜x＜2\}$
答案
D 因为一元二次不等式ax²+bx+c＞0的解集为{x|−2＜x＜3}，所以−2和3是对应方程ax²+bx+c=0的两个根，且a＜0。由根与系数的关系，得$\begin{cases}-2 + 3 = -\frac{b}{a}\\-2×3 = \frac{c}{a}\end{cases}$，解得b=−a，c=−6a，将其代入不等式ax²−bx+c＞0，得ax²+ax−6a＞0。化简，得x²+x−6＜0，解得−3＜x＜2，所以关于x的不等式ax²−bx+c＞0的解集为{x|−3＜x＜2}。
1.(新课标Ⅰ卷)已知集合$M= \{x|-4＜x＜2\}$,$N= \{x|x^{2}-x-6＜0\}$,则$M\cap N= $()
A.$\{x|-4＜x＜3\}$
B.$\{x|-4＜x＜-2\}$
C.$\{x|-2＜x＜2\}$
D.$\{x|2＜x＜3\}$
A.$\{x|-4＜x＜3\}$
B.$\{x|-4＜x＜-2\}$
C.$\{x|-2＜x＜2\}$
D.$\{x|2＜x＜3\}$
答案
C ∵M={x|−4＜x＜2}，N={x|x²−x−6＜0}={x|−2＜x＜3}，∴M∩N={x|−2＜x＜2}。
2.不等式$(2-x)(2x-3)＞0$的解集是()
A.$\{x|x＜1.5或x＞2\}$
B.$\mathbf{R}$
C.$\{x|1.5＜x＜2\}$
D.$\varnothing$
A.$\{x|x＜1.5或x＞2\}$
B.$\mathbf{R}$
C.$\{x|1.5＜x＜2\}$
D.$\varnothing$
答案
C 由(2−x)(2x−3)＞0，得(x−2)(2x−3)＜0，解得1.5＜x＜2，所以原不等式的解集是{x|1.5＜x＜2}。
3.若不等式$x^{2}+ax+b＞0的解集是\{x|x＜-3或x＞2\}$,则()
A.$a= 1$,$b= 6$
B.$a= -1$,$b= 6$
C.$a= 1$,$b= -6$
D.$a= -1$,$b= -6$
A.$a= 1$,$b= 6$
B.$a= -1$,$b= 6$
C.$a= 1$,$b= -6$
D.$a= -1$,$b= -6$
答案
C 由题意，得−3，2是方程x²+ax+b=0的两个根，故−3+2=−a，−3×2=b，解得a=1，b=−6。
4.(多选)若函数$y= x^{2}+bx+c$的图象与x轴的两个交点是$A(-2,0)$,$B(1,0)$,则下列结论正确的是()
A.$b+c= -1$
B.方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个根是-2,1
C.不等式$x^{2}+bx+c＞0的解集是\{x|-2＜x＜1\}$
D.不等式$x^{2}+bx+c≤0的解集是\{x|-2≤x≤1\}$
A.$b+c= -1$
B.方程$x^{2}+bx+c= 0$的两个根是-2,1
C.不等式$x^{2}+bx+c＞0的解集是\{x|-2＜x＜1\}$
D.不等式$x^{2}+bx+c≤0的解集是\{x|-2≤x≤1\}$
答案
ABD ∵函数y=x²+bx+c的图象与x轴的两个交点是A(−2,0)，B(1,0)，∴方程x²+bx+c=0的两个根是−2和1，∴$\begin{cases}(-2)+1=-b\\(-2)×1=c\end{cases}$，解得$\begin{cases}b = 1\\c = -2\end{cases}$，∴b+c=−1，故AB正确；不等式x²+bx+c＞0的解集是{x|x＞1或x＜−2}，不等式x²+bx+c≤0的解集是{x|−2≤x≤1}，故C错误，D正确。
5.已知二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的图象如图所示,那么二次函数$y= ax^{2}+bx+c$的零点是______;一元二次不等式$ax^{2}+bx+c≥0$的解集是______.
答案
x₁=−1，x₂=2 {x|x≤−1或x≥2} 根据题图可得，二次函数y=ax²+bx+c的零点是x₁=−1，x₂=2，一元二次方程ax²+bx+c=0的根是x₁=−1，x₂=2，则一元二次不等式ax²+bx+c≥0的解集是{x|x≤−1或x≥2}。
