12 [2025 淮安]如图,AB 是半圆O 的直径,C 是弦 AD 的延长线上一点,连接 CB,BD,$∠ CBD=$$∠ CAB$.
(1) 求证:BC 是$\odot O$的切线;
(2) 连接 OD,若$∠ CAB=30°,AB=4$,求扇形 OBD 的面积.

12. (1) $\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ADB=90°$，$\therefore$ 在$△ ADB$中，$∠ ABD+∠ CAB=90°$。$\because ∠ CBD=∠ CAB$，$\therefore ∠ ABC=∠ ABD+∠ CBD=90°$，即$BC⊥ OB$。$\because OB$是$\odot O$的半径，$\therefore BC$是$\odot O$的切线 (2) $\because \overset{\frown}{BD}=\overset{\frown}{BD}$，$∠ CAB=30°$，$\therefore ∠ DOB=2∠ CAB=60°$。$\because AB=4$，$\therefore OB=\frac{1}{2}AB=2$，$\therefore S_{\mathrm{扇形}OBD}=\frac{60π×2^2}{360}=\frac{2π}{3}$

13 如图,在$\odot O$中,如果作两条互相垂直的直径$AB,CD$,那么弦$AC$是$\odot O$的内接正方形的一边;以点$A$为圆心,$OA$长为半径作弧,与$\odot O$相交于点$E,F$,连接$AE,BE,CE,EF$.求证:弦$AE$,$CE,EF$分别是$\odot O$的内接正六边形、正十二边形、正三角形的一边.

13. 连接$OE$，$OF$。$\because AB⊥ CD$，$\therefore ∠ AOC=90°$。$\because OA=AE=OE$，$\therefore △ AOE$为等边三角形，$\therefore ∠ AOE=60°$，$\therefore \frac{360°}{60°}=6$，即弦$AE$是$\odot O$的内接正六边形的一边。$\because ∠ AOE=60°$，$\therefore ∠ EOC=90°-60°=30°$，$\therefore \frac{360°}{30°}=12$，即弦$CE$是$\odot O$的内接正十二边形的一边。$\because$ 易知$∠ AOF=60°$，$\therefore ∠ EOF=60°×2=120°$，$\therefore \frac{360°}{120°}=3$，即弦$EF$是$\odot O$的内接正三角形的一边

14 [2024 菏泽] 如图, 在四边形 $ABCD$ 中, $AD// BC,∠ DAB=60°,AB=BC=2AD=2$. 以点 $A$ 为圆心, $AD$ 长为半径作 $\overset{\frown}{DE}$ 交 $AB$ 于点 $E$, 以点 $B$ 为圆心, $BE$ 长为半径作 $\overset{\frown}{EF}$ 交 $BC$ 于点 $F$, 连接 $FD$ 交 $\overset{\frown}{EF}$ 于另一点 $G$, 连接 $CG$.
(1) 求证: $CG$ 为 $\overset{\frown}{EF}$ 所在圆的切线;
(2) 求图中涂色部分的面积.

14. (1) 连接$BG$。$\because AB=BC=2AD=2$，$\therefore$ 易知$AD=AE=BE=BF=CF=1$。$\because AD// BC$，即$AD// BF$，$\therefore$ 四边形$ABFD$是平行四边形，$\therefore ∠ BFD=∠ DAB=60°$。$\because BG=BF$，$\therefore △ BFG$是等边三角形，$\therefore GF=BF$，$\therefore GF=BF=FC$，$\therefore$ 点$G$在以$BC$为直径的圆上，$\therefore ∠ BGC=90°$。$\because BG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的半径，$\therefore CG$为$\overset{\frown}{EF}$所在圆的切线 (2) 过点$D$作$DH⊥ AB$于点$H$。$\because$ 在$\mathrm{Rt}△ AHD$中，$∠ DAB=60°$，$\therefore ∠ ADH=30°$，$\therefore AH=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}$，$\therefore DH=\sqrt{AD^2-AH^2}=\frac{1}{2}\sqrt{3}$。$\because$ 四边形$ABFD$是平行四边形，$\therefore DF=AB=2$，$∠ ABF=180°-∠ A=120°$。$\because △ BFG$是等边三角形，$\therefore ∠ GBF=60°$，$GF=BF=BG=1$，$\therefore ∠ EBG=∠ ABF-∠ GBF=60°$，$DG=DF-GF=1$，$\therefore S_{\mathrm{涂色部分}}=S_{\mathrm{梯形}ABGD}-S_{\mathrm{扇形}ADE}-S_{\mathrm{扇形}BEG}=\frac{1}{2}×(1+2)×\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{60π×1^2}{360}-\frac{60π×1^2}{360}=\frac{3}{4}\sqrt{3}-\frac{π}{3}$