1. 观察下列图表：
| 线段AB上的点数n(包括A,B两点) | 图形 | 线段总条数N |
| --- | --- | --- |
| 3 | A C B | $3=2+1$ |
| 4 | A C D B | $6=3+2+1$ |
| 5 | A C D E B | $10=4+3+2+1$ |
| 6 | | |
| 7 | | |
解答下列问题：
(1)在表中空格中分别画出图形,写出线段总条数.
(2)请写出线段总条数$N$与线段上的点数$n$(包括线段的两个端点)的关系式:________.
(3)一列火车往返于$A,B$两个城市,若共有$n(n≥3)$个站点,则共需要________种不同的车票.

1. (1) 点数为6时图形为A C D E F B，线段总条数为$15=5+4+3+2+1$；点数为7时图形为A C D E F G B，线段总条数为$21=6+5+4+3+2+1$。
(2) $N=\dfrac{n(n-1)}{2}$ 【解析】$N=1+2+3+\dots+(n-1)=\dfrac{n(n-1)}{2}$.
(3) $n(n-1)$ 【解析】若有 $n(n≥3)$ 个站点,共需要$2[(n-1)+(n-2)+(n-3)+\dots+3+2+1]=2×\dfrac{n(n-1)}{2}=n(n-1)$种不同的车票.
易错提醒
注意往返车票与单程车票的区别,往返车票种数为$n(n-1)$.

2. 💫 | 原创题 平面上有 $ n $ 条直线 $ l_1, l_2, l_3, \dots, l_n $，其中任意两条直线均相交且任意三条直线不交于一点.
(1)共有 ______ 个交点.(用含 $ n $ 的代数式表示)
(2)若点 $ A $ 所在的两条直线上，两侧均有其他交点，则称点 $ A $ 为“内点”，否则称为“外点”.
例如，图①中，$ n=3 $，3 个交点均为“外点”；
图②中，$ n=4, A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 $ 都是“外点”，因为 $ A_6 $ 在 $ l_1, l_4 $ 上，在 $ l_1 $ 上，$ A_6 $ 两侧分别有点 $ A_2, A_3 $，在 $ l_4 $ 上，$ A_6 $ 两侧分别有点 $ A_4, A_5 $，所以 $ A_6 $ 是“内点”；$ A_1, A_2, A_3, A_4, A_5 $ 都是“外点”.

① $ n=5 $ 时，画出 2 种“内点”数量不同的图形，并说明分别有几个“内点”；
② $ n=7 $ 时，最多有 ______ 个“内点”，画出对应的图形.

2. (1) $\dfrac{n(n-1)}{2}$ 【解析】$n$条直线,每条直线均与其他$(n-1)$条直线相交,每个交点均计算两次,故共有$\dfrac{n(n-1)}{2}$个交点.
(2) ① 如图,图①共有5个“内点”,图②共有4个“内点”,图③共有3个“内点”.(答案不唯一,任选两种即可)
② 14 如图④. 【解析】由(1)知,7条直线共有$\dfrac{7×(7-1)}{2}=21$(个)交点,为使“内点”尽量多,就要使“外点”尽量少.由定义知,一条直线上至少有2个“外点”,每个“外点”都在两条直线上,故7条直线至少共有$\dfrac{7×2}{2}=7$(个)“外点”,所以至多有$21-7=14$(个)“内点”.经画图验证,如图④,存在14个“内点”的情况(图不唯一,合理即可).