1. 🔯 | 新情境 如图所示,某公司有在一条直线上的三个住宅区,A,B,C各区分别住有职工30人,15人,10人,已知$AB=100$米,$BC=200$米.为了方便职工上下班,该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点,为使所有的人步行到停靠点的路程之和最小,那么该停靠点的位置应设在()
＞＞ 对点专练 P118


A.点 A
B.点 B
C.A,B之间
D.B,C之间

A
【解析】①以点A为停靠点,则所有人的路程的和=15×100+10×300=4 500(米);②以点B为停靠点,则所有人的路程的和=30×100+10×200=5 000(米);③以点C为停靠点,则所有人的路程的和 = 30×300 + 15×200 = 12 000(米);④当在A,B之间停靠时,设停靠点到A的距离是m(0＜m＜100)米,则所有人的路程的和是30m+15(100-m)+10(300-m)=(4 500+5m)米＞4 500米;⑤当在B,C之间停靠时,设停靠点到B的距离为n(0＜n＜200)米,则所有人的路程的和是 30 ( 100 + n ) + 15n + 10(200-n)=(5 000+35n)米＞4 500米.所以该停靠点的位置应设在点A.故选A.

2. （2025·连云港期中）2024年阿里巴巴全球数学竞赛预选赛第1题：几位同学假期组成一个小组去某市旅游.该市有6座塔,它们的位置分别为$A,B,C,D,E,F$.同学们自由行动一段时间后,每位同学都发现,自己在所在的位置只能看到位于$A,B,C,D$处的四座塔,而看不到位于$E$和$F$处的塔.已知:
(1)同学们的位置和塔的位置均视为同一平面上的点,且这些点彼此不重合；
(2)$A,B,C,D,E,F$中任意3点不在同一直线上；
(3)看不到塔的唯一可能就是视线被其他的塔所遮挡.

请你观察原题答案提供的如图所示的图形,这个旅游小组最多可能有________位同学.
＞＞ 对点专练 P111

6
【解析】由题意,由于看不到位于E和F处的塔,可得同学所处位置为两条直线的交点处,如图所示,有6个画圈位置满足条件.

3. |分类讨论思想 如图，P是线段AB上不同于点A，B的一点，AB=18 cm，C，D两动点分别从点P，B同时出发在线段AB上向左运动（无论谁先到达点A，均停止运动），点C的运动速度为1 cm/s，点D的运动速度为2 cm/s.
＞＞ 对点专练 P116,P119
(1)若点P是线段AB的中点.
①当动点 C,D 运动了 2 s 时,$AC+PD=$cm;
②当 C,D 两点间的距离为 5 cm 时,运动的时间为s.
(2)当点 C,D 在运动时,总有$PD=2AC$.
①求 AP 的长度;
②若在直线 AB 上存在一点 Q,使$AQ-BQ=PQ$,求 PQ 的长度.

＞＞ 根据诊断结果,请完成对应的练习

(1)①12 【解析】因为AB=18 cm,点P是线段AB的中点,所以AP=BP=9 cm.因为动点C,D运动了2 s,所以CP=2 cm,DB=4 cm,所以AC=AP-CP=9-2=7(cm),PD=PB-BD=9-4=5(cm),所以AC+PD=12 cm.
②4 【解析】设运动时间为 t s,则CP=t cm,DB=2t cm,所以CD=CP+PD=[t+(9-2t)]cm.因为CD=5 cm,所以t+(9-2t)=5,所以t=4.
(2)①因为AC=AP-CP,PD=PB-BD,PD=2AC,所以PB-BD=2(AP-CP).因为BD=2CP,所以PB-BD=PB-2CP=2(AP-CP),所以PB=2AP.因为PB+AP=AB=18 cm,所以AP=6 cm.
②当Q点在B点右侧时,AQ-BQ=AB,因为AQ-BQ=PQ,所以AB=PQ=18 cm;当Q点在点A,B之间时,因为AQ-BQ=PQ,所以AQ=PQ+BQ.因为AQ=AP+PQ,所以AP=BQ.因为AP=6 cm,所以BQ=6 cm,所以PQ=18-6-6=6(cm).
综上所述,PQ的长度为6 cm或18 cm.