登录
5.某品牌店开展一款运动鞋的促销活动,第一天卖出总量的20%,第二天卖出30双,两天卖出的数量与原有这款运动鞋总量的比是3:5。
(1)根据题意画出线段图。(1分)
(2)该品牌店原有这款运动鞋多少双?(3分)
(1)根据题意画出线段图。(1分)
(2)该品牌店原有这款运动鞋多少双?(3分)
答案
5.(1)略 (2)$30÷(\frac{3}{5}-20\%)=75$(双)
解析
【分析】
首先确定原有运动鞋总量为单位“1”，根据“两天卖出的数量与原有总量的比是3:5”，可知两天共卖出总量的$\frac{3}{5}$；第一天卖出总量的20%，因此第二天卖出的30双对应的分率是$\frac{3}{5}$与20%的差值；再利用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，即可求出原有总量。画线段图时，将原有总量看作单位“1”，平均分成5份，第一天占1份（对应20%），两天共占3份，剩余2份对应第二天卖出的30双。
【解析】
解：把原有这款运动鞋的总量看作单位“1”。
由两天卖出数量与原有总量的比是3:5，得两天卖出总量的$\frac{3}{5}$。
第一天卖出总量的20%，则第二天卖出的30双对应的分率为：
$\frac{3}{5} - 20\% = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
根据“单位‘1’的量=对应量÷对应分率”，原有总量为：
$30 ÷ \frac{2}{5} = 75$（双）
【答案】
75双
【知识点】
分数百分数应用题，单位“1”的应用
【点评】
本题是基础的分数百分数应用题，核心是找准单位“1”和对应分率，只要理清数量关系即可正确解答，难度适中。
【难度系数】
0.7
首先确定原有运动鞋总量为单位“1”，根据“两天卖出的数量与原有总量的比是3:5”，可知两天共卖出总量的$\frac{3}{5}$；第一天卖出总量的20%，因此第二天卖出的30双对应的分率是$\frac{3}{5}$与20%的差值；再利用“对应量÷对应分率=单位‘1’的量”，即可求出原有总量。画线段图时，将原有总量看作单位“1”，平均分成5份，第一天占1份（对应20%），两天共占3份，剩余2份对应第二天卖出的30双。
【解析】
解：把原有这款运动鞋的总量看作单位“1”。
由两天卖出数量与原有总量的比是3:5，得两天卖出总量的$\frac{3}{5}$。
第一天卖出总量的20%，则第二天卖出的30双对应的分率为：
$\frac{3}{5} - 20\% = \frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$
根据“单位‘1’的量=对应量÷对应分率”，原有总量为：
$30 ÷ \frac{2}{5} = 75$（双）
【答案】
75双
【知识点】
分数百分数应用题，单位“1”的应用
【点评】
本题是基础的分数百分数应用题，核心是找准单位“1”和对应分率，只要理清数量关系即可正确解答，难度适中。
【难度系数】
0.7
6.一个无盖的长方体玻璃缸,长40 cm,宽25 cm,高35 cm,有一个水龙头从12:00开始向玻璃缸内注水,水的流速为$4\ \mathrm{dm}^3/\mathrm{min}$。12:05关闭水龙头停止注水,接着在玻璃缸内缓缓放入一个高为15 cm的圆锥铁块,将其浸没在水中。玻璃缸中的水面高度从注水到放入圆锥铁块的变化情况如图所示。
(1)如图,点(
(2)刚停止注水时,玻璃缸中水面的高度为多少厘米?(3分)
(3)求放入的圆锥铁块的底面积。(3分)
(1)如图,点(
B
)(填“A”“B”或“C”)的位置表示停止注水。(2分)(2)刚停止注水时,玻璃缸中水面的高度为多少厘米?(3分)
(3)求放入的圆锥铁块的底面积。(3分)
答案
6.(1)B
(2)12时5分$-$12时$=5$分 $4×5=20(\mathrm{dm}^3)$ $20\mathrm{dm}^3=20000\mathrm{cm}^3$
$20000÷40÷25=20(\mathrm{cm})$
(3)$40×25×(24-20)=4000(\mathrm{cm}^3)$ $4000÷\frac{1}{3}÷15=800(\mathrm{cm}^2)$
(2)12时5分$-$12时$=5$分 $4×5=20(\mathrm{dm}^3)$ $20\mathrm{dm}^3=20000\mathrm{cm}^3$
$20000÷40÷25=20(\mathrm{cm})$
(3)$40×25×(24-20)=4000(\mathrm{cm}^3)$ $4000÷\frac{1}{3}÷15=800(\mathrm{cm}^2)$
解析
【分析】
本题结合注水的时间-高度图像，考查长方体、圆锥体积的应用。首先需明确图像各点对应的时间，再通过注水时间和流速计算注水量，进而求出停止注水时的水面高度；最后利用放入圆锥后水面上升的体积等于圆锥体积，结合圆锥体积公式计算底面积，解题时要注意单位统一。
【解析】
(1) 由题意，12:00开始注水，12:05停止注水，观察图像，A对应12:00，B对应12:05，C对应12:08，因此点B表示停止注水。
(2) 注水时间：$12时5分 - 12时 = 5\ \mathrm{分钟}$，注水量：$4×5 = 20\ \mathrm{dm}^3 = 20000\ \mathrm{cm}^3$，长方体底面积：$40×25 = 1000\ \mathrm{cm}^2$，刚停止注水时水面高度：$20000÷1000 = 20\ \mathrm{cm}$。
(3) 水面上升的体积等于圆锥体积，上升高度：$24 - 20 = 4\ \mathrm{cm}$，上升体积：$40×25×4 = 4000\ \mathrm{cm}^3$，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，得圆锥底面积：$3×4000÷15 = 800\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) B；(2) 20厘米；(3) 800平方厘米
【知识点】
长方体体积、圆锥体积、单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查体积计算，需准确理解图像与时间的对应关系，关键是抓住“水面上升体积等于圆锥体积”这一关系，注意单位统一，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
本题结合注水的时间-高度图像，考查长方体、圆锥体积的应用。首先需明确图像各点对应的时间，再通过注水时间和流速计算注水量，进而求出停止注水时的水面高度；最后利用放入圆锥后水面上升的体积等于圆锥体积，结合圆锥体积公式计算底面积，解题时要注意单位统一。
【解析】
(1) 由题意，12:00开始注水，12:05停止注水，观察图像，A对应12:00，B对应12:05，C对应12:08，因此点B表示停止注水。
(2) 注水时间：$12时5分 - 12时 = 5\ \mathrm{分钟}$，注水量：$4×5 = 20\ \mathrm{dm}^3 = 20000\ \mathrm{cm}^3$，长方体底面积：$40×25 = 1000\ \mathrm{cm}^2$，刚停止注水时水面高度：$20000÷1000 = 20\ \mathrm{cm}$。
(3) 水面上升的体积等于圆锥体积，上升高度：$24 - 20 = 4\ \mathrm{cm}$，上升体积：$40×25×4 = 4000\ \mathrm{cm}^3$，根据圆锥体积公式$V=\frac{1}{3}Sh$，得圆锥底面积：$3×4000÷15 = 800\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
(1) B；(2) 20厘米；(3) 800平方厘米
【知识点】
长方体体积、圆锥体积、单位换算
【点评】
本题结合实际场景考查体积计算，需准确理解图像与时间的对应关系，关键是抓住“水面上升体积等于圆锥体积”这一关系，注意单位统一，属于中等难度的应用题。
【难度系数】
0.5
聪明题(共5分,不计入总分)
一张长方形纸长18.84 cm,宽12.56 cm,将其卷成一个圆柱(两底面忽略)有两种方式,可以横向卷,也可以纵向卷(如图)。聪聪做过试验,发现横向卷胖一些,体积约是$36π^2\ \mathrm{cm}^3$;纵向卷瘦一些,体积约是$24π^2\ \mathrm{cm}^3$。聪聪想知道为什么横向卷的体积会比纵向卷的体积要大,你能说明其中的道理吗?(可以根据下面提供的材料进行分析)
一张长方形纸长18.84 cm,宽12.56 cm,将其卷成一个圆柱(两底面忽略)有两种方式,可以横向卷,也可以纵向卷(如图)。聪聪做过试验,发现横向卷胖一些,体积约是$36π^2\ \mathrm{cm}^3$;纵向卷瘦一些,体积约是$24π^2\ \mathrm{cm}^3$。聪聪想知道为什么横向卷的体积会比纵向卷的体积要大,你能说明其中的道理吗?(可以根据下面提供的材料进行分析)
答案
横向卷的底面半径：$18.84÷3.14÷2=3(\mathrm{cm})$ 体积：$π ×3^2×12.56=113.04π(\mathrm{cm}^3)$ 纵向卷的底面半径：$12.56÷3.14÷2=2(\mathrm{cm})$ 体积：$π ×2^2×18.84=75.36π(\mathrm{cm}^3)$ $113.04π＞75.36π$ 故横向卷的体积会比纵向卷的体积要大
解析
【分析】要说明横向卷体积更大，需明确：将长方形卷成圆柱时，长方形的一条边为圆柱底面周长，另一条边为圆柱的高。分两种卷法：横向卷时，长方形的长作为底面周长，宽作为圆柱的高；纵向卷时，长方形的宽作为底面周长，长作为圆柱的高。分别计算两种卷法的底面半径和体积，比较体积大小即可得出原因。
【解析】
1. 计算横向卷的圆柱参数：
横向卷时，底面周长$ C_1 = 18.84\ \mathrm{cm} $，高$ h_1 = 12.56\ \mathrm{cm} $。
根据圆的周长公式$ C = 2π r $，得底面半径$ r_1 = C_1 ÷ (2π) = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 3\ \mathrm{cm} $。
圆柱体积$ V_1 = π r_1^2 h_1 = π × 3^2 × 12.56 = 113.04π\ \mathrm{cm}^3 $。
2. 计算纵向卷的圆柱参数：
纵向卷时，底面周长$ C_2 = 12.56\ \mathrm{cm} $，高$ h_2 = 18.84\ \mathrm{cm} $。
底面半径$ r_2 = C_2 ÷ (2π) = 12.56 ÷ (2 × 3.14) = 2\ \mathrm{cm} $。
圆柱体积$ V_2 = π r_2^2 h_2 = π × 2^2 × 18.84 = 75.36π\ \mathrm{cm}^3 $。
3. 比较体积：因为$ 113.04π ＞ 75.36π $，所以横向卷的体积比纵向卷的体积大。
【答案】横向卷时，底面半径为3cm，体积为$113.04π\ \mathrm{cm}^3$；纵向卷时，底面半径为2cm，体积为$75.36π\ \mathrm{cm}^3$，由于$113.04π ＞ 75.36π$，因此横向卷的体积更大。
【知识点】圆柱体积计算、圆柱底面周长
【点评】本题结合长方形卷圆柱的实际操作，考查圆柱体积与底面周长的关系，关键是明确卷圆柱时边与底面周长、高的对应关系，通过计算比较体积，加深对圆柱体积公式的理解，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 计算横向卷的圆柱参数：
横向卷时，底面周长$ C_1 = 18.84\ \mathrm{cm} $，高$ h_1 = 12.56\ \mathrm{cm} $。
根据圆的周长公式$ C = 2π r $，得底面半径$ r_1 = C_1 ÷ (2π) = 18.84 ÷ (2 × 3.14) = 3\ \mathrm{cm} $。
圆柱体积$ V_1 = π r_1^2 h_1 = π × 3^2 × 12.56 = 113.04π\ \mathrm{cm}^3 $。
2. 计算纵向卷的圆柱参数：
纵向卷时，底面周长$ C_2 = 12.56\ \mathrm{cm} $，高$ h_2 = 18.84\ \mathrm{cm} $。
底面半径$ r_2 = C_2 ÷ (2π) = 12.56 ÷ (2 × 3.14) = 2\ \mathrm{cm} $。
圆柱体积$ V_2 = π r_2^2 h_2 = π × 2^2 × 18.84 = 75.36π\ \mathrm{cm}^3 $。
3. 比较体积：因为$ 113.04π ＞ 75.36π $，所以横向卷的体积比纵向卷的体积大。
【答案】横向卷时，底面半径为3cm，体积为$113.04π\ \mathrm{cm}^3$；纵向卷时，底面半径为2cm，体积为$75.36π\ \mathrm{cm}^3$，由于$113.04π ＞ 75.36π$，因此横向卷的体积更大。
【知识点】圆柱体积计算、圆柱底面周长
【点评】本题结合长方形卷圆柱的实际操作，考查圆柱体积与底面周长的关系，关键是明确卷圆柱时边与底面周长、高的对应关系，通过计算比较体积，加深对圆柱体积公式的理解，属于基础应用类题目。
【难度系数】0.5
