8.温州市2022年GDP(地区生产总值)约为8 030亿元,2024年GDP约为9 719亿元。设这两年温州市的GDP平均增长率为x,则可列出方程
（）

A.$8\,030(1+x)^{2}=9\,719$
B.$8\,030x^{2}=9\,719$
C.$8\,030(1+x^{2})=9\,719$
D.$8\,030(1+2x)=9\,719$

8.A

【分析】首先明确平均增长率的复利计算公式：若初始量为$a$，平均增长率为$x$，经过$n$年后的量为$a(1+x)^n$。本题中初始量是2022年的GDP（8030亿元），从2022年到2024年共经过2年，因此2024年的GDP可通过复利公式表示，据此匹配选项即可。
【解析】2023年的GDP为2022年GDP乘以$(1+x)$，即$8030(1+x)$；2024年的GDP为2023年GDP再乘以$(1+x)$，即$8030(1+x)(1+x)=8030(1+x)^2$。已知2024年GDP为9719亿元，因此可列出方程$8030(1+x)^2=9719$，对应选项A。
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用（增长率问题）
【点评】本题考查一元二次方程在增长率问题中的基础应用，核心是掌握复利增长的表达式，需注意区分单利（$a(1+nx)$）与复利（$a(1+x)^n$）的差异，属于常规基础题型。
【难度系数】0.7

9.王老师设计了接力游戏:每人只能看到前一人的方程,并继续进行变形,将结果传递给下一人,最终求出方程的解,过程如图所示。

上述求解过程中,错误的是 （）

A.甲
B.乙
C.丙
D.丁

9.B

【分析】
要找出接力过程中的错误，需逐一验证每一步的方程变形是否正确：先检查甲的变形，再核对乙的配方步骤，最后判断丙、丁的步骤是否合理，从而确定错误环节。
【解析】
1. 甲的步骤：原方程$2x^2+8x-4=0$两边同时除以2，得$x^2+4x-2=0$，移项后为$x^2+4x=2$，变形正确。
2. 乙的步骤：对$x^2+4x$配方时，需在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，即$(\frac{4}{2})^2=4$，因此左边变为$(x+2)^2$，右边应为$2+4=6$，但乙写成$(x+2)^2=2$，变形错误。
3. 丙、丁的步骤是基于乙的错误结果推导的，本身无额外错误，仅因前一步错误导致结果错误。
综上，错误的是乙。
【答案】
B
【知识点】
一元二次方程解法、配方法
【点评】
本题考查一元二次方程配方法的应用，核心是掌握配方时等式两边需同时加一次项系数一半的平方，需细心检查每一步变形，避免常数项计算错误。
【难度系数】
0.5

10.如图,点 C,D 在线段 AB 上,射线 DP⊥AB,连结 PB,以 BC,BP 为邻边作$□ CBPE$,连结 AE,CP,记 AE 的长为 m,CE 的长为 n。若$AC=4,AD=5,BD=3$,则在点 P 的运动过程中,下列代数式的值不变的是 ()

A.mn
B.$m-n$
C.$m^2+n^2$
D.$m^2-n^2$

10.D 解析:因为四边形CBPE为平行四边形,所以$PE\equalparallel CB$,$PB=EC$,所以$PE=CB=CD+BD=AD-AC+BD=5-4+3=4$。又因为点C在线段AB上,且$AC=4$,所以$PE\equalparallel AC$,所以四边形ACPE为平行四边形,所以$PC=AE=m$。因为$PD⊥ CB$,所以在$\mathrm{Rt}△ PCD$和$\mathrm{Rt}△ PBD$中,分别有$PC^2=PD^2+CD^2$,$PB^2=PD^2+BD^2$,所以$PC^2-CD^2=PB^2-BD^2$。又因为$PB=EC=n$,所以得$m^2-1^2=n^2-3^2$,即$m^2-n^2=-8$。选D。

【分析】
要解决本题，需先利用平行四边形的性质转化线段关系，计算相关线段长度；再通过平行四边形的判定得到新的平行四边形，进一步转化线段；最后结合PD⊥AB的条件，利用勾股定理建立关于m、n的等式，从而找出值不变的代数式。
【解析】
1. 计算线段长度：已知AC=4，AD=5，故CD=AD-AC=5-4=1；又BD=3，因此CB=CD+BD=1+3=4。
2. 利用平行四边形性质转化线段：因为四边形CBPE是平行四边形，所以PE平行且等于CB，即PE=CB=4，且PE//CB。结合AC=4，可得PE//AC且PE=AC，因此四边形ACPE是平行四边形，故PC=AE=m；同时平行四边形对边相等，得PB=CE=n。
3. 结合勾股定理建立等式：由于PD⊥AB，△PCD和△PBD均为直角三角形。在Rt△PCD中，由勾股定理得：$PC^2=PD^2+CD^2$，即$m^2=PD^2+1^2$；在Rt△PBD中，由勾股定理得：$PB^2=PD^2+BD^2$，即$n^2=PD^2+3^2$。将两式相减消去$PD^2$，得$m^2-n^2=(PD^2+1)-(PD^2+9)=-8$，即$m^2-n^2$的值恒为-8，保持不变。
【答案】
D
【知识点】
平行四边形性质，勾股定理，代数式求值
【点评】
本题综合考查平行四边形性质与勾股定理的应用，解题关键是通过平行四边形转化线段关系，构造直角三角形建立等式，判断代数式的值是否变化，对几何性质的灵活运用要求较高。
【难度系数】
0.5

11. 计算:$(\sqrt{2})^{2}=$______。

11.2

【分析】
这道题考查二次根式的基本性质，解题时需回忆：当被开方数为非负数时，(√a)²的计算规则，直接代入对应数值即可得出结果。
【解析】
根据二次根式的性质：当a≥0时，(√a)² = a。本题中被开方数a=2，满足a≥0的条件，因此(√2)² = 2。
【答案】
2
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题为基础题，直接运用二次根式的基本性质即可求解，主要考查学生对二次根式核心性质的掌握情况。
【难度系数】
0.9

12. 在$□ ABCD$中,若$∠ A+∠ C=120°$,则$∠ A=$______度。

12.60

【分析】
本题考查平行四边形的基本性质，解题思路是：利用平行四边形对角相等的性质，结合已知的∠A与∠C的和，即可求出∠A的度数。
【解析】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴根据平行四边形对角相等的性质，得∠A=∠C。
又
∵∠A+∠C=120°，
∴将∠C替换为∠A，可得2∠A=120°，
解得∠A=60°。
【答案】
60
【知识点】
平行四边形的性质
【点评】
本题是平行四边形性质的基础应用题，直接利用对角相等的性质即可快速求解，属于简单题，主要考查学生对平行四边形基本性质的掌握情况。
【难度系数】
0.8

13.小马同学在解方程时,等号左边的一个数字不小心被墨水污染了,如右式:$x^2 - $$ = 0$。已知一个根$x_1=3$,则另一个根$x_2=$。

13.-3

【分析】本题是关于一元二次方程根的问题，可通过两种思路解题：一是代入已知根求出被污染的常数项，再解方程得另一根；二是利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），直接由两根之和为0求出另一根，两种方法均可快速得到结果。
【解析】设被墨水污染的数字为$ m $，则原方程为$ x^2 - m = 0 $。
将已知根$ x_1=3 $代入方程，得$ 3^2 - m = 0 $，解得$ m=9 $。
此时原方程为$ x^2 -9=0 $，因式分解得$(x-3)(x+3)=0$，解得方程的根为$ x_1=3 $，$ x_2=-3 $，因此另一个根$ x_2=-3 $。
【答案】-3
【知识点】一元二次方程的解；一元二次方程解法
【点评】本题考查一元二次方程根的基本性质，属于基础题，既可以通过代入求常数项再解方程，也可利用韦达定理快速计算，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】0.3

14. 如图,在$□ ABCD$中,$AD\bot BD$,$AC=10$,$BD=6$,$E$,$F$分别是线段$OD$,$OA$的中点,则$EF$的长为________。

14.2

【分析】首先利用平行四边形对角线互相平分的性质，求出OA、OD的长度；再结合AD⊥BD，确定△ADO为直角三角形，通过勾股定理计算AD的长度；最后根据E、F分别为OD、OA中点，得出EF是△OAD的中位线，利用三角形中位线定理求出EF的长。
【解析】
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 对角线互相平分，即 $ OA = \frac{1}{2}AC $，$ OD = \frac{1}{2}BD $。
已知 $ AC=10 $，$ BD=6 $，
∴ $ OA = \frac{1}{2}×10 = 5 $，$ OD = \frac{1}{2}×6 = 3 $。
又
∵ $ AD⊥BD $，
∴ $ △ ADO $ 是直角三角形，
根据勾股定理：$ AD = \sqrt{OA^2 - OD^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 $。
∵ E、F分别是OD、OA的中点，
∴ EF是 $ △ OAD $ 的中位线，
根据三角形中位线定理：$ EF = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}×4 = 2 $。
【答案】2
【知识点】平行四边形性质；勾股定理；三角形中位线定理
【点评】本题综合考查平行四边形的性质、勾股定理和三角形中位线定理，解题的关键是先利用平行四边形对角线平分得到相关线段长度，再结合直角三角形和中位线的性质计算，属于基础综合题。
【难度系数】0.5