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7. (2024·绍兴市柯桥区期末)若$\begin{cases}x=-2, \\ y=m\end{cases}$是方程$2nx + 5y = 4$的一个解,则代数式$3m - \dfrac{12}{5}n + \dfrac{3}{5}$的值是 ( )
A.$3$
B.$\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$
D.$-3$
A.$3$
B.$\dfrac{7}{5}$
C.$\dfrac{6}{5}$
D.$-3$
答案
7.A
解析
【分析】要解决这个问题，首先根据二元一次方程解的定义，将已知的解代入方程，得到关于m和n的关系式；接着观察所求代数式的结构，通过变形将其转化为能用上述关系式整体代入的形式，进而计算出结果，无需单独求解m、n的值。
【解析】把$\begin{cases}x=-2, \\ y=m\end{cases}$代入方程$2nx +5y=4$，得：
$2n×(-2) +5× m =4$，整理得：$5m -4n=4$。
对代数式$3m - \dfrac{12}{5}n + \dfrac{3}{5}$变形：
$3m - \dfrac{12}{5}n + \dfrac{3}{5} = \dfrac{15m -12n}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{3(5m -4n)}{5} + \dfrac{3}{5}$。
将$5m -4n=4$代入上式：
$\dfrac{3×4}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{12 +3}{5} = 3$。
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；代数式求值
【点评】本题考查二元一次方程解的定义与代数式的整体代入求值，核心是利用方程解得到m、n的关系式，通过代数式变形实现整体代入，简化计算过程，是基础题型，需掌握整体代入的思想。
【难度系数】0.6
【解析】把$\begin{cases}x=-2, \\ y=m\end{cases}$代入方程$2nx +5y=4$，得：
$2n×(-2) +5× m =4$，整理得：$5m -4n=4$。
对代数式$3m - \dfrac{12}{5}n + \dfrac{3}{5}$变形：
$3m - \dfrac{12}{5}n + \dfrac{3}{5} = \dfrac{15m -12n}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{3(5m -4n)}{5} + \dfrac{3}{5}$。
将$5m -4n=4$代入上式：
$\dfrac{3×4}{5} + \dfrac{3}{5} = \dfrac{12 +3}{5} = 3$。
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；代数式求值
【点评】本题考查二元一次方程解的定义与代数式的整体代入求值，核心是利用方程解得到m、n的关系式，通过代数式变形实现整体代入，简化计算过程，是基础题型，需掌握整体代入的思想。
【难度系数】0.6
8. (2024·绍兴市嵊州市期末)若分式方程$\dfrac{ax}{x - 2} + \dfrac{6}{2 - x} = 1$有增根，则$a$的值是（
A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
C
）A.$1$
B.$2$
C.$3$
D.$4$
答案
8.C
解析
【分析】要解决分式方程有增根求参数的问题，需先明确增根的定义：增根是使分式方程分母为0的未知数的值，也是分式方程去分母后所得整式方程的根。解题思路为：第一步，确定原分式方程的增根；第二步，将分式方程去分母转化为整式方程；第三步，把增根代入整式方程即可求出参数a的值。
【解析】原分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，令分母为0，得$x-2=0$，即增根为$x=2$。方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母，注意$\frac{6}{2-x} × (x-2) = -6$，得到整式方程：$ax -6 = x -2$。将增根$x=2$代入该整式方程，得$2a -6 = 2 - 2$，化简得$2a=6$，解得$a=3$。
【答案】C
【知识点】分式方程的增根、解分式方程
【点评】本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的性质（使原分式分母为0，是整式方程的根），解题步骤清晰，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】原分式方程的分母为$x-2$和$2-x$，令分母为0，得$x-2=0$，即增根为$x=2$。方程两边同乘最简公分母$(x-2)$去分母，注意$\frac{6}{2-x} × (x-2) = -6$，得到整式方程：$ax -6 = x -2$。将增根$x=2$代入该整式方程，得$2a -6 = 2 - 2$，化简得$2a=6$，解得$a=3$。
【答案】C
【知识点】分式方程的增根、解分式方程
【点评】本题考查分式方程增根的应用，核心是掌握增根的性质（使原分式分母为0，是整式方程的根），解题步骤清晰，属于分式方程的基础题型，难度适中。
【难度系数】0.6
9. 已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2ax - 3by = 2c,\\3ax + 2by = 16c\end{cases}$的解是$\begin{cases}x = 2,\\y = 3,\end{cases}$则关于$x,y$的方程组$\begin{cases}2a(x + 1) - 3by = 2c,\\3a(x + 1) + 2by = 16c\end{cases}$的解是（ ）
A.$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
A.$\begin{cases}x = 3,\\y = 4\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 1,\\y = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x = 1,\\y = 2\end{cases}$
D.$\begin{cases}x = 2,\\y = 3\end{cases}$
答案
9.B
解析
【分析】
本题可通过观察两个方程组的结构，利用换元思想解题。已知第一个方程组的解，对比第二个方程组，发现其仅将第一个方程组中的$x$替换为$(x+1)$，因此可将$(x+1)$看作第一个方程组中的$x$，结合第一个方程组的解直接推导第二个方程组的解。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}2ax - 3by = 2c\\3ax + 2by = 16c\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，对比待求方程组$\begin{cases}2a(x + 1) - 3by = 2c\\3a(x + 1) + 2by = 16c\end{cases}$，可知待求方程组中$(x+1)$对应第一个方程组中的$x$，$y$不变。因此可得：
$x + 1 = 2$，解得$x = 1$；$y = 3$。
即待求方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；换元法
【点评】
本题核心是利用二元一次方程组解的定义，通过换元思想简化计算，无需求解$a,b,c$的值，属于基础题型，重点考查学生对方程组结构的观察能力。
【难度系数】
0.7
本题可通过观察两个方程组的结构，利用换元思想解题。已知第一个方程组的解，对比第二个方程组，发现其仅将第一个方程组中的$x$替换为$(x+1)$，因此可将$(x+1)$看作第一个方程组中的$x$，结合第一个方程组的解直接推导第二个方程组的解。
【解析】
已知方程组$\begin{cases}2ax - 3by = 2c\\3ax + 2by = 16c\end{cases}$的解为$\begin{cases}x=2\\y=3\end{cases}$，对比待求方程组$\begin{cases}2a(x + 1) - 3by = 2c\\3a(x + 1) + 2by = 16c\end{cases}$，可知待求方程组中$(x+1)$对应第一个方程组中的$x$，$y$不变。因此可得：
$x + 1 = 2$，解得$x = 1$；$y = 3$。
即待求方程组的解为$\begin{cases}x=1\\y=3\end{cases}$。
【答案】
B
【知识点】
二元一次方程组的解；换元法
【点评】
本题核心是利用二元一次方程组解的定义，通过换元思想简化计算，无需求解$a,b,c$的值，属于基础题型，重点考查学生对方程组结构的观察能力。
【难度系数】
0.7
10. (2025·绍兴市嵊州市期末)已知关于$x,y$的方程组$\begin{cases}x+2y=k, \\ 2x+3y=3k-1,\end{cases}$$k$为常数,下列结论中成立的是 ( )
A.当$k=1$时,$x+y=0$
B.当$y=x+1$时,$k=-1$
C.不论$k$取什么实数,$x+3y$的值始终不变
D.当$k=0$时,方程组的解也是方程$x-2y=-3$的解
A.当$k=1$时,$x+y=0$
B.当$y=x+1$时,$k=-1$
C.不论$k$取什么实数,$x+3y$的值始终不变
D.当$k=0$时,方程组的解也是方程$x-2y=-3$的解
答案
10.C 【解析】解方程组$\begin{cases} x + 2y = k,\\ 2x + 3y = 3k - 1, \end{cases}$ 得方程组的解为$\begin{cases} x = 3k - 2,\\ y = -k + 1 \end{cases}$。当$k = 1$时,$x = 1$,$y = 0$,$x + y = 1 ≠ 0$,故选项A不符合题意;当$y = x + 1$,则$-k + 1 = 3k - 2 + 1$,解得$k = \dfrac{1}{2}≠-1$,故选项B不符合题意;$x + 3y = 3k - 2 + 3(-k + 1) = 1$,与$k$无关,始终为1,故选项C符合题意;当$k = 0$时,$x = -2$,$y = 1$,则$x - 2y = -4 ≠ -3$,故选项D不符合题意。
解析
【分析】本题是关于二元一次方程组的结论判断问题，解题思路为：首先利用加减消元法解方程组，用参数k表示出方程组的解（x和y关于k的表达式），再将该表达式分别代入各选项的条件中，逐一验证结论是否成立，最终选出正确选项。
【解析】解方程组$\begin{cases}x + 2y = k \\ 2x + 3y = 3k - 1\end{cases}$，
用第一个方程乘2得：$2x + 4y = 2k$，
减去第二个方程：$(2x + 4y) - (2x + 3y) = 2k - (3k - 1)$，
化简得：$y = -k + 1$，
将$y = -k + 1$代入$x + 2y = k$，得$x + 2(-k + 1) = k$，
解得：$x = 3k - 2$，
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 3k - 2 \\ y = -k + 1\end{cases}$。
选项A：当$k=1$时，$x=3×1 -2=1$，$y=-1 +1=0$，则$x+y=1+0=1≠0$，故A错误；
选项B：若$y=x+1$，则$-k +1=(3k -2)+1$，整理得$-k +1=3k -1$，移项合并得$-4k=-2$，解得$k=\frac{1}{2}≠-1$，故B错误；
选项C：计算$x+3y=(3k -2)+3(-k +1)=3k -2 -3k +3=1$，结果与k无关，始终为1，故C正确；
选项D：当$k=0$时，$x=-2$，$y=1$，则$x -2y=-2 -2×1=-4≠-3$，故D错误。
综上，正确结论为选项C。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解、代数式求值
【点评】本题考查二元一次方程组的解的应用，核心是通过解方程组用参数表示未知数，再代入验证各选项，需注意计算的准确性，难度适中。
【难度系数】0.6
【解析】解方程组$\begin{cases}x + 2y = k \\ 2x + 3y = 3k - 1\end{cases}$，
用第一个方程乘2得：$2x + 4y = 2k$，
减去第二个方程：$(2x + 4y) - (2x + 3y) = 2k - (3k - 1)$，
化简得：$y = -k + 1$，
将$y = -k + 1$代入$x + 2y = k$，得$x + 2(-k + 1) = k$，
解得：$x = 3k - 2$，
因此方程组的解为$\begin{cases}x = 3k - 2 \\ y = -k + 1\end{cases}$。
选项A：当$k=1$时，$x=3×1 -2=1$，$y=-1 +1=0$，则$x+y=1+0=1≠0$，故A错误；
选项B：若$y=x+1$，则$-k +1=(3k -2)+1$，整理得$-k +1=3k -1$，移项合并得$-4k=-2$，解得$k=\frac{1}{2}≠-1$，故B错误；
选项C：计算$x+3y=(3k -2)+3(-k +1)=3k -2 -3k +3=1$，结果与k无关，始终为1，故C正确；
选项D：当$k=0$时，$x=-2$，$y=1$，则$x -2y=-2 -2×1=-4≠-3$，故D错误。
综上，正确结论为选项C。
【答案】C
【知识点】二元一次方程组的解、代数式求值
【点评】本题考查二元一次方程组的解的应用，核心是通过解方程组用参数表示未知数，再代入验证各选项，需注意计算的准确性，难度适中。
【难度系数】0.6
11.(2024·金华市浦江县期末)若关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x-3}+\dfrac{a}{3-x}=2a$无解,则$a$的值为 （
A.$3$或$\dfrac{1}{2}$
B.$3$或$-\dfrac{1}{2}$
C.$-3$或$\dfrac{1}{2}$
D.$-3$或$-\dfrac{1}{2}$
A
）A.$3$或$\dfrac{1}{2}$
B.$3$或$-\dfrac{1}{2}$
C.$-3$或$\dfrac{1}{2}$
D.$-3$或$-\dfrac{1}{2}$
答案
11.A 【解析】方程的两边同乘$(x - 3)$,得$x - a = 2a(x - 3)$,化简,得$(1 - 2a)x = -5a$。因为关于$x$的分式方程$\dfrac{x}{x - 3} + \dfrac{a}{3 - x} = 2a$无解,所以$x - 3 = 0$且$1 - 2a ≠ 0$,或$1 - 2a = 0$,所以$x = 3$且$a ≠ \dfrac{1}{2}$,或$a = \dfrac{1}{2}$。当$x = 3$时,$3(1 - 2a) = -5a$,解得$a = 3$,所以$a$的值为3或$\dfrac{1}{2}$。
解析
【分析】
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种核心情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解使原分式方程的分母为0（即增根）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况讨论，即可求出对应的a值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，注意$3-x=-(x-3)$，得：
$x - a = 2a(x - 3)$
展开并整理整式方程：
$x - a = 2ax - 6a$
移项合并同类项得：$(1 - 2a)x = -5a$
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程本身无解：当整式方程中x的系数为0，且常数项不为0时，整式方程无解。即$1 - 2a = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$，此时右边$-5a = -\frac{5}{2}≠0$，整式方程无解，对应原分式方程无解；
2. 整式方程的解为增根：增根是使原分式方程分母为0的x值，即$x=3$，将$x=3$代入整式方程：
$3(1 - 2a) = -5a$
解得：$3 - 6a = -5a → a=3$，此时整式方程的解为$x=3$，是增根，原分式方程无解。
综上，a的值为$3$或$\frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程无解、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的条件，需注意分式方程无解包含“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两种情况，避免漏解，是分式方程相关的典型易错题。
【难度系数】
0.5
要解决分式方程无解的问题，需明确分式方程无解的两种核心情况：一是去分母后得到的整式方程本身无解；二是整式方程的解使原分式方程的分母为0（即增根）。解题时先将分式方程化为整式方程，再分上述两种情况讨论，即可求出对应的a值。
【解析】
方程两边同乘最简公分母$(x-3)$，注意$3-x=-(x-3)$，得：
$x - a = 2a(x - 3)$
展开并整理整式方程：
$x - a = 2ax - 6a$
移项合并同类项得：$(1 - 2a)x = -5a$
分式方程无解分两种情况：
1. 整式方程本身无解：当整式方程中x的系数为0，且常数项不为0时，整式方程无解。即$1 - 2a = 0$，解得$a = \frac{1}{2}$，此时右边$-5a = -\frac{5}{2}≠0$，整式方程无解，对应原分式方程无解；
2. 整式方程的解为增根：增根是使原分式方程分母为0的x值，即$x=3$，将$x=3$代入整式方程：
$3(1 - 2a) = -5a$
解得：$3 - 6a = -5a → a=3$，此时整式方程的解为$x=3$，是增根，原分式方程无解。
综上，a的值为$3$或$\frac{1}{2}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式方程无解、分式方程的解法
【点评】
本题考查分式方程无解的条件，需注意分式方程无解包含“整式方程无解”和“整式方程的解为增根”两种情况，避免漏解，是分式方程相关的典型易错题。
【难度系数】
0.5
12.若方程组$\begin{cases} 3x - y = 7, \\ ax + y = b \end{cases}$和方程组$\begin{cases} x + by = a, \\ 2x + y = 8 \end{cases}$有相同的解,求$a,b$的值。
答案
12.解:将$3x - y = 7$和$2x + y = 8$组成方程组,得$\begin{cases} 3x - y = 7,\\ 2x + y = 8, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 3,\\ y = 2 \end{cases}$。将$\begin{cases} x = 3,\\ y = 2 \end{cases}$分别代入$ax + y = b$和$x + by = a$,得$\begin{cases} 3a + 2 = b,\\ 3 + 2b = a, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} a = -\dfrac{7}{5},\\ b = -\dfrac{11}{5} \end{cases}$。
解析
【分析】
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足四个方程，其中不含参数$a、b$的两个方程是$\begin{cases}3x - y =7 \\2x + y=8\end{cases}$，先联立这两个方程求出公共解$x、y$，再将$x、y$代入含$a、b$的方程，得到关于$a、b$的方程组，解此方程组即可求出$a、b$的值。
【解析】
解：因为两个方程组有相同的解，所以该解满足$\begin{cases}3x - y =7 \\2x + y=8\end{cases}$，联立得：
$\begin{cases}3x - y =7 ①\\2x + y=8 ②\end{cases}$
①+②得：$5x=15$，解得$x=3$，
把$x=3$代入①得：$3×3 - y=7$，解得$y=2$，
所以公共解为$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + y =b \\x + by =a\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + 2 =b ③\\3 + 2b =a ④\end{cases}$
把④代入③得：$3×(3 + 2b) +2 =b$，
展开得：$9 +6b +2 =b$，
移项合并得：$5b = -11$，解得$b=-\dfrac{11}{5}$，
把$b=-\dfrac{11}{5}$代入④得：$a=3 +2×(-\dfrac{11}{5})=-\dfrac{7}{5}$。
【答案】
$a=-\dfrac{7}{5},b=-\dfrac{11}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的同解问题；解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组同解的性质，核心是利用同解特点先求公共解，再代入求解参数，属于常规题型，需掌握联立方程求公共解的方法。
【难度系数】
0.6
两个方程组有相同的解，说明该解同时满足四个方程，其中不含参数$a、b$的两个方程是$\begin{cases}3x - y =7 \\2x + y=8\end{cases}$，先联立这两个方程求出公共解$x、y$，再将$x、y$代入含$a、b$的方程，得到关于$a、b$的方程组，解此方程组即可求出$a、b$的值。
【解析】
解：因为两个方程组有相同的解，所以该解满足$\begin{cases}3x - y =7 \\2x + y=8\end{cases}$，联立得：
$\begin{cases}3x - y =7 ①\\2x + y=8 ②\end{cases}$
①+②得：$5x=15$，解得$x=3$，
把$x=3$代入①得：$3×3 - y=7$，解得$y=2$，
所以公共解为$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$。
将$\begin{cases}x=3 \\y=2\end{cases}$代入$\begin{cases}ax + y =b \\x + by =a\end{cases}$，得：
$\begin{cases}3a + 2 =b ③\\3 + 2b =a ④\end{cases}$
把④代入③得：$3×(3 + 2b) +2 =b$，
展开得：$9 +6b +2 =b$，
移项合并得：$5b = -11$，解得$b=-\dfrac{11}{5}$，
把$b=-\dfrac{11}{5}$代入④得：$a=3 +2×(-\dfrac{11}{5})=-\dfrac{7}{5}$。
【答案】
$a=-\dfrac{7}{5},b=-\dfrac{11}{5}$
【知识点】
二元一次方程组的同解问题；解二元一次方程组
【点评】
本题考查二元一次方程组同解的性质，核心是利用同解特点先求公共解，再代入求解参数，属于常规题型，需掌握联立方程求公共解的方法。
【难度系数】
0.6
