1.（漳州中考题）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E，F分别是AB，AD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的边长是。

1. 4

【分析】
解题时先观察EF的位置：E、F分别是AB、AD的中点，因此EF是△ABD的中位线，可借助三角形中位线定理求出BD的长度；再结合菱形邻边相等、∠A=60°的条件，可判定△ABD是等边三角形，进而得到菱形的边长。
【解析】
解：
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴EF是△ABD的中位线，
根据三角形中位线定理可得：$EF = \frac{1}{2}BD$，
∵EF=2，
∴$BD=2EF=2×2=4$。
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
又
∵∠A=60°，
∴△ABD是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴AB=BD=4，即菱形ABCD的边长为4。
【答案】
4
【知识点】
三角形中位线定理；菱形的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是特殊平行四边形相关的基础题型，将三角形中位线、菱形性质和等边三角形判定结合考查，解题的核心是先通过中位线建立已知线段EF和BD的联系，再利用等边三角形的性质完成推导，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8

2.（黄石中考题）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（）


A.$30°$
B.$60°$
C.$90°$
D.$120°$

2. C

【分析】
解题时首先回忆矩形的基本性质：矩形的四个内角均为直角。观察图形可知，剪去部分后得到的三角形保留了矩形的一个直角，因此该三角形为直角三角形，∠1和∠2是这个直角三角形的两个锐角，接下来结合三角形内角和定理即可求出两个角的度数和。
【解析】
∵矩形的四个内角都为90°，
∴剪去部分后得到的三角形是直角三角形，其中直角为90°，
根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 90° = 90°$。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题，将矩形性质与三角形内角和定理结合考查，解题关键是判断出剩余三角形是直角三角形，熟练掌握基础几何性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3.（邵阳中考题）如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且$AD=DE$，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论不正确的是 （）


A.$△ AOB ≌ △ BOC$
B.$△ BOC ≌ △ EOD$
C.$△ AOD ≌ △ EOD$
D.$△ AOD ≌ △ BOC$

3. A

【分析】
解题时先结合矩形性质梳理已知的等边、等角关系，再依据全等三角形的判定定理逐一验证每个选项：首先由矩形特征得到AD与BC的位置、数量关系，以及相关直角的结论，结合AD=DE的条件推导更多相等量，再用SAS、AAS等判定定理判断全等是否成立，最终选出不正确的结论。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD//BC，AD=BC，∠ADC=∠C=90°，
∴∠EDO=180°-∠ADC=90°，∠E=∠OBC，
又
∵AD=DE，
∴DE=BC。
1. 判断选项C：在△AOD和△EOD中，
$\{\begin{array}{l}AD=DE\\ ∠ ADO=∠ EDO=90°\\ OD=OD\end{array} $
∴△AOD≌△EOD（SAS），C结论正确，不符合题意。
2. 判断选项B：在△BOC和△EOD中，
$\{\begin{array}{l}∠ OBC=∠ E\\ ∠ C=∠ EDO=90°\\ BC=DE\end{array} $
∴△BOC≌△EOD（AAS），B结论正确，不符合题意。
3. 判断选项D：由△AOD≌△EOD，△BOC≌△EOD，可得△AOD≌△BOC，D结论正确，不符合题意。
4. 判断选项A：△AOB与△BOC无足够的对应边、对应角相等的条件，无法证明二者全等，A结论错误，符合题意。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，全等三角形的判定
【点评】
本题是矩形性质和全等三角形判定的基础综合题，解题时可先推导隐含的相等关系，再通过排除法快速锁定错误结论，注意要准确匹配全等三角形的对应边、对应角。
【难度系数】
0.7

4. (嘉兴中考题)已知:如图,在$□ ABCD$中,O为对角线BD的中点,过点O的直线EF分别交AD,BC于E,F两点,连接BE,DF.
(1)求证:$△ DOE≌△ BOF$;
(2)当$∠ DOE$等于多少度时,四边形BFDE为菱形?请说明理由.

4. (1)证明:
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD.
∵OB=OD,∠DOE=∠BOF，
∴△DOE≌△BOF；
(2)解:当∠DOE=90°时,四边形BFDE为菱形.
∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF.
∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形.
∵∠DOE=90°，
∴EF⊥BD，
∴□BFDE为菱形.

【分析】
(1) 要证明△DOE≌△BOF，首先利用平行四边形对边平行的性质可得AD//BC，推出一组内错角相等；再结合O是BD中点得到一组边相等，加上对顶角相等的隐含条件，即可用ASA判定两三角形全等。
(2) 要确定四边形BFDE为菱形时∠DOE的度数，先由(1)的全等结论得到OE=OF，结合OB=OD可先判定四边形BFDE是平行四边形，再根据“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”的判定定理，可知需要EF与BD垂直，即∠DOE为90°。
【解析】
(1) 证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADB=∠CBD。
∵O为对角线BD的中点，
∴OB=OD，
又
∵∠DOE=∠BOF（对顶角相等），
∴△DOE≌△BOF（ASA）。
(2) 解：当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由如下：
∵△DOE≌△BOF，
∴OE=OF。
∵OB=OD，
∴四边形BFDE为平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵∠DOE=90°，
∴EF⊥BD，
∴□BFDE为菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。
【答案】
(1) 已证△DOE≌△BOF；
(2) 当∠DOE=90°时，四边形BFDE为菱形，理由如上。
【知识点】
平行四边形的性质与判定、全等三角形的判定、菱形的判定
【点评】
本题属于几何基础综合题，核心考察特殊四边形和全等三角形的相关知识，解题时要注意挖掘图形中的隐含条件，结合对应的判定定理逐步推导即可。
【难度系数】
0.7

5.（梅州中考题）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE。
(1)求证:CE=CF；
(2)若点G在AD上，且∠GCE=45°,则GE=BE+GD成立吗？为什么？

5. (1)证明:在正方形ABCD中,
∵BC=DC,∠B=∠CDF,又
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS),
∴CE=CF；
(2)解:GE=BE+GD成立.
理由是:由(1)得:△CBE≌△CDF,
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.
又
∵∠GCE=45°,
∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,
∴△ECG≌△FCG(SAS)，
∴GE=GF,
∴GE=DF+GD=BE+GD.

【分析】
(1) 要证明CE=CF，可通过证明两条线段所在的三角形全等推导。首先根据正方形的性质得到边和角的相等关系：BC=DC，∠B=∠CDF=90°，再结合已知条件BE=DF，即可利用SAS判定△CBE≌△CDF，根据全等三角形对应边相等得到CE=CF。
(2) 判断GE=BE+GD是否成立，属于线段和差证明问题，常用思路是将分散的线段转化到同一条线段上。由(1)的全等结论可得∠BCE=∠DCF，可推出∠ECF=∠BCD=90°，结合已知∠GCE=45°，可得∠GCF=∠GCE=45°，再利用SAS证明△ECG≌△FCG，得到GE=GF，而GF=DF+GD，结合已知DF=BE，即可证得结论成立。
【解析】
(1) 证明：在正方形ABCD中，
∵BC=DC，∠B=∠CDF，
又
∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS)，
∴CE=CF。
(2) 解：GE=BE+GD成立，理由如下：
由(1)得：△CBE≌△CDF，
∴∠BCE=∠DCF，
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠BCD=∠ECF=90°，
又
∵∠GCE=45°，
∴∠GCF=∠GCE=45°，
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，
∴△ECG≌△FCG(SAS)，
∴GE=GF，
∴GE=DF+GD=BE+GD。
【答案】
(1) 证明如上，CE=CF得证；
(2) GE=BE+GD成立，理由如上。
【知识点】
正方形的性质、全等三角形的判定、全等三角形的性质
【点评】
本题是特殊平行四边形的典型综合题，以正方形为载体考查全等三角形的判定与性质的应用，解题核心是通过全等转化角和边的关系，将分散的线段整合到同一直线中解决线段和差问题，能够很好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7