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【例1】 甲、乙两人以相同路线前往距离单位10千米的培训中心参加学习.图中，分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程随时间t(分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的平均速度为15千米/时；③乙走了8分钟后遇到甲；④乙出发6分钟后追上甲.其中正确的有 （）
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
【解题思路】 读懂图象所表达的实际意义，再判别正误.
【解答过程】 解：甲在第40分钟到达，乙在第28分钟到达，即乙比甲提前12分钟到达，因此①正确；甲40分钟行走了10千米，即$10÷\frac{2}{3}=15$（千米/时），即②正确；由题意可知$l_甲$解析式为$y=0.25x$，$l_乙$解析式为$y=x-18$，由$\begin{cases}y=0.25x, \\ y=x-18,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=24, \\ y=6,\end{cases}$ $24-18=6$，即乙走了6分钟后遇到甲，故③错误，④正确，故选择B.
A. 4个 B. 3个
C. 2个 D. 1个
【解题思路】 读懂图象所表达的实际意义，再判别正误.
【解答过程】 解：甲在第40分钟到达，乙在第28分钟到达，即乙比甲提前12分钟到达，因此①正确；甲40分钟行走了10千米，即$10÷\frac{2}{3}=15$（千米/时），即②正确；由题意可知$l_甲$解析式为$y=0.25x$，$l_乙$解析式为$y=x-18$，由$\begin{cases}y=0.25x, \\ y=x-18,\end{cases}$解得$\begin{cases}x=24, \\ y=6,\end{cases}$ $24-18=6$，即乙走了6分钟后遇到甲，故③错误，④正确，故选择B.
答案
解：
甲在第40分钟到达目的地，乙在第28分钟到达目的地，$40-28=12$，故乙比甲提前12分钟到达，①正确。
甲行走全程10千米用时40分钟，40分钟$=\frac{2}{3}$小时，甲的平均速度为$10÷\frac{2}{3}=15$千米/时，②正确。
设$l_甲$的解析式为$s=k_1 t$，将$(40,10)$代入得$10=40k_1$，解得$k_1=0.25$，即$l_甲: s=0.25t\ (0≤ t≤40)$。
设$l_乙$的解析式为$s=k_2 t + b$，将$(18,0)$、$(28,10)$代入得：
$\begin{cases}0=18k_2 + b \\ 10=28k_2 + b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=-18\end{cases}$，即$l_乙: s=t-18\ (18≤ t≤28)$。
联立两个函数方程：
$\begin{cases}s=0.25t \\ s=t-18\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=24 \\ s=6\end{cases}$
相遇时对应的总时间为24分钟，乙的出发时间为第18分钟，$24-18=6$，即乙出发6分钟后追上甲，乙走了6分钟后遇到甲，故③错误，④正确。
综上，①②④共3个说法正确，答案选B。
甲在第40分钟到达目的地，乙在第28分钟到达目的地，$40-28=12$，故乙比甲提前12分钟到达，①正确。
甲行走全程10千米用时40分钟，40分钟$=\frac{2}{3}$小时，甲的平均速度为$10÷\frac{2}{3}=15$千米/时，②正确。
设$l_甲$的解析式为$s=k_1 t$，将$(40,10)$代入得$10=40k_1$，解得$k_1=0.25$，即$l_甲: s=0.25t\ (0≤ t≤40)$。
设$l_乙$的解析式为$s=k_2 t + b$，将$(18,0)$、$(28,10)$代入得：
$\begin{cases}0=18k_2 + b \\ 10=28k_2 + b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=-18\end{cases}$，即$l_乙: s=t-18\ (18≤ t≤28)$。
联立两个函数方程：
$\begin{cases}s=0.25t \\ s=t-18\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=24 \\ s=6\end{cases}$
相遇时对应的总时间为24分钟，乙的出发时间为第18分钟，$24-18=6$，即乙出发6分钟后追上甲，乙走了6分钟后遇到甲，故③错误，④正确。
综上，①②④共3个说法正确，答案选B。
解析
【分析】
解题时首先要明确s-t图象的含义：横轴t表示出发后的总时间（单位：分），纵轴s表示行驶的路程（单位：千米），$l_甲$、$l_乙$分别对应甲、乙两人的路程随时间的变化规律。我们按以下步骤逐个判断4个说法的正误：1. 找到两人走完10千米对应的时间，作差即可判断乙提前到达的时间；2. 用甲的总路程除以总行驶时间，注意将分钟换算为小时，计算甲的平均速度判断正误；3. 要判断相遇相关的结论，先用待定系数法分别求出$l_甲$和$l_乙$的一次函数解析式，联立两个解析式求交点，交点的横坐标就是相遇时的总时间，减去乙晚出发的18分钟，即可得到乙出发后到相遇的时长，据此判断③④的对错，最后统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
1. 判断①：甲在第40分钟到达目的地，乙在第28分钟到达目的地，$40-28=12$，即乙比甲提前12分钟到达，故①正确。
2. 判断②：甲行走全程10千米用时40分钟，40分钟$=\frac{2}{3}$小时，甲的平均速度为$10÷\frac{2}{3}=15$千米/时，故②正确。
3. 求两个函数的解析式：
设$l_甲$的解析式为$s=k_1 t$，将点$(40,10)$代入得$10=40k_1$，解得$k_1=0.25$，即$l_甲: s=0.25t\ (0≤ t≤40)$。
设$l_乙$的解析式为$s=k_2 t + b$，将点$(18,0)$、$(28,10)$代入得方程组：
$\begin{cases}0=18k_2 + b \\ 10=28k_2 + b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=-18\end{cases}$，即$l_乙: s=t-18\ (18≤ t≤28)$。
4. 判断③④：联立两个函数方程：
$\begin{cases}s=0.25t \\ s=t-18\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=24 \\ s=6\end{cases}$
相遇时对应的总时间为24分钟，乙的出发时间为第18分钟，$24-18=6$，即乙出发6分钟后追上甲，故③错误，④正确。
综上，①②④共3个说法正确。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的实际应用，s-t图象识别，待定系数法求解析式
【点评】
本题以行程问题为背景，结合一次函数图象考查读图能力和一次函数的应用能力，解题的关键是准确提取图象中的关键信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能通过联立函数方程求解相遇类问题。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确s-t图象的含义：横轴t表示出发后的总时间（单位：分），纵轴s表示行驶的路程（单位：千米），$l_甲$、$l_乙$分别对应甲、乙两人的路程随时间的变化规律。我们按以下步骤逐个判断4个说法的正误：1. 找到两人走完10千米对应的时间，作差即可判断乙提前到达的时间；2. 用甲的总路程除以总行驶时间，注意将分钟换算为小时，计算甲的平均速度判断正误；3. 要判断相遇相关的结论，先用待定系数法分别求出$l_甲$和$l_乙$的一次函数解析式，联立两个解析式求交点，交点的横坐标就是相遇时的总时间，减去乙晚出发的18分钟，即可得到乙出发后到相遇的时长，据此判断③④的对错，最后统计正确说法的个数即可得到答案。
【解析】
1. 判断①：甲在第40分钟到达目的地，乙在第28分钟到达目的地，$40-28=12$，即乙比甲提前12分钟到达，故①正确。
2. 判断②：甲行走全程10千米用时40分钟，40分钟$=\frac{2}{3}$小时，甲的平均速度为$10÷\frac{2}{3}=15$千米/时，故②正确。
3. 求两个函数的解析式：
设$l_甲$的解析式为$s=k_1 t$，将点$(40,10)$代入得$10=40k_1$，解得$k_1=0.25$，即$l_甲: s=0.25t\ (0≤ t≤40)$。
设$l_乙$的解析式为$s=k_2 t + b$，将点$(18,0)$、$(28,10)$代入得方程组：
$\begin{cases}0=18k_2 + b \\ 10=28k_2 + b\end{cases}$
解得$\begin{cases}k_2=1 \\ b=-18\end{cases}$，即$l_乙: s=t-18\ (18≤ t≤28)$。
4. 判断③④：联立两个函数方程：
$\begin{cases}s=0.25t \\ s=t-18\end{cases}$
解得$\begin{cases}t=24 \\ s=6\end{cases}$
相遇时对应的总时间为24分钟，乙的出发时间为第18分钟，$24-18=6$，即乙出发6分钟后追上甲，故③错误，④正确。
综上，①②④共3个说法正确。
【答案】
B
【知识点】
一次函数的实际应用，s-t图象识别，待定系数法求解析式
【点评】
本题以行程问题为背景，结合一次函数图象考查读图能力和一次函数的应用能力，解题的关键是准确提取图象中的关键信息，熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法，能通过联立函数方程求解相遇类问题。
【难度系数】
0.7
【例2】 如图，直线$y=-x+m$与$y=nx+4n(n≠0)$的交点的横坐标为$-2$，则关于$x$的不等式$-x+m＞nx+4n＞0$的整数解为 （）
A.$-1$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
【解题思路】 将不等式问题转化为利用函数图象问题来解决。
【解答过程】 解：当$y=nx+4n=0(n≠0)$时，$x=-4$，∴直线$y=nx+4n$与$x$轴的交点是$(-4,0)$。
当$-x+m＞nx+4n＞0$时，直线$y=-x+m$上的点高于对应的直线$y=nx+4n$上的点，直线$y=nx+4n$上的点高于对应的$x$轴上的点，∵直线$y=-x+m$与$y=nx+4n(n≠0)$的交点的横坐标为$-2$，∴此时图象应居于直线$x=-4$与$x=-2$之间，如下图所示。
∴关于$x$的不等式$-x+m＞nx+4n＞0$的解集为$-4＜x＜-2$，
∴关于$x$的不等式$-x+m＞nx+4n＞0$的整数解为$-3$，
故选择D。
A.$-1$
B.$-5$
C.$-4$
D.$-3$
【解题思路】 将不等式问题转化为利用函数图象问题来解决。
【解答过程】 解：当$y=nx+4n=0(n≠0)$时，$x=-4$，∴直线$y=nx+4n$与$x$轴的交点是$(-4,0)$。
当$-x+m＞nx+4n＞0$时，直线$y=-x+m$上的点高于对应的直线$y=nx+4n$上的点，直线$y=nx+4n$上的点高于对应的$x$轴上的点，∵直线$y=-x+m$与$y=nx+4n(n≠0)$的交点的横坐标为$-2$，∴此时图象应居于直线$x=-4$与$x=-2$之间，如下图所示。
∴关于$x$的不等式$-x+m＞nx+4n＞0$的解集为$-4＜x＜-2$，
∴关于$x$的不等式$-x+m＞nx+4n＞0$的整数解为$-3$，
故选择D。
答案
D
解析
【分析】
本题是一次函数与不等式结合的问题，可利用数形结合思想求解：首先将连不等式拆成两部分，一是nx+4n＞0，对应直线y=nx+4n在x轴上方的x的取值范围，需先求该直线与x轴的交点；二是-x+m＞nx+4n，对应直线y=-x+m在直线y=nx+4n上方的x的取值范围，结合两直线交点横坐标可直接得到该部分解集；最后取两个解集的公共部分，找出其中的整数解即可。
【解析】
第一步，求直线y=nx+4n与x轴的交点：
令y=nx+4n=0（n≠0），解得x=-4，即直线y=nx+4n与x轴的交点坐标为(-4,0)，因此nx+4n＞0的解集为x＞-4。
第二步，求不等式-x+m＞nx+4n的解集：
已知直线y=-x+m与y=nx+4n的交点横坐标为-2，结合一次函数图象的性质，当x＜-2时，直线y=-x+m的图象在y=nx+4n图象的上方，因此-x+m＞nx+4n的解集为x＜-2。
第三步，求连不等式的解集及整数解：
不等式-x+m＞nx+4n＞0的解集是上述两个解集的公共部分，即-4＜x＜-2，该范围内的整数只有-3。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将不等式的解集转化为一次函数图象的上下位置关系，无需复杂计算，结合交点坐标即可快速求解，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题是一次函数与不等式结合的问题，可利用数形结合思想求解：首先将连不等式拆成两部分，一是nx+4n＞0，对应直线y=nx+4n在x轴上方的x的取值范围，需先求该直线与x轴的交点；二是-x+m＞nx+4n，对应直线y=-x+m在直线y=nx+4n上方的x的取值范围，结合两直线交点横坐标可直接得到该部分解集；最后取两个解集的公共部分，找出其中的整数解即可。
【解析】
第一步，求直线y=nx+4n与x轴的交点：
令y=nx+4n=0（n≠0），解得x=-4，即直线y=nx+4n与x轴的交点坐标为(-4,0)，因此nx+4n＞0的解集为x＞-4。
第二步，求不等式-x+m＞nx+4n的解集：
已知直线y=-x+m与y=nx+4n的交点横坐标为-2，结合一次函数图象的性质，当x＜-2时，直线y=-x+m的图象在y=nx+4n图象的上方，因此-x+m＞nx+4n的解集为x＜-2。
第三步，求连不等式的解集及整数解：
不等式-x+m＞nx+4n＞0的解集是上述两个解集的公共部分，即-4＜x＜-2，该范围内的整数只有-3。
【答案】
D
【知识点】
一次函数与不等式，一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点
【点评】
本题核心考查数形结合思想的应用，将不等式的解集转化为一次函数图象的上下位置关系，无需复杂计算，结合交点坐标即可快速求解，是一次函数章节的典型题型。
【难度系数】
0.7
