登录
6. 若等腰三角形的周长为30 cm，一边长为14 cm，则腰长为 （）
A.8 cm
B.14 cm
C.8 cm或14 cm
D.以上都不对
A.8 cm
B.14 cm
C.8 cm或14 cm
D.以上都不对
答案
C
解析
分两种情况讨论：
1. 若14 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$30 - 14×2 = 2\ \mathrm{cm}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，可构成三角形；
2. 若14 cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$(30 - 14)÷2 = 8\ \mathrm{cm}$，此时$8+8＞14$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
因此腰长为8 cm或14 cm。
1. 若14 cm为等腰三角形的腰长，则底边长为$30 - 14×2 = 2\ \mathrm{cm}$，满足三角形任意两边之和大于第三边，可构成三角形；
2. 若14 cm为等腰三角形的底边长，则腰长为$(30 - 14)÷2 = 8\ \mathrm{cm}$，此时$8+8＞14$，满足三角形三边关系，可构成三角形。
因此腰长为8 cm或14 cm。
7. 如图,在等腰三角形 $ABC$ 中,$AB=AC$,$E$ 是高 $AD$ 上任一点,$F$ 是腰 $AB$ 上任一点,$AC=5$,$BC=6$,$AD=4$,那么线段 $BE+EF$ 的最小值是（）
A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.5
D.4
A.$\frac{24}{5}$
B.6
C.5
D.4
答案
A
解析
1. 由等腰△ABC中AB=AC，AD是高，可得AD垂直平分BC，点B与点C关于直线AD对称，因此BE=CE。
2. 因此BE+EF=CE+EF，根据垂线段最短的性质，当C、E、F三点共线且CF⊥AB时，CE+EF取得最小值，该最小值等于线段CF的长度。
3. 用两种方式计算△ABC的面积：①$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$；②$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，已知AB=AC=5，代入得$12=\frac{1}{2}×5× CF$，解得$CF=\frac{24}{5}$，即$BE+EF$的最小值为$\frac{24}{5}$。
2. 因此BE+EF=CE+EF，根据垂线段最短的性质，当C、E、F三点共线且CF⊥AB时，CE+EF取得最小值，该最小值等于线段CF的长度。
3. 用两种方式计算△ABC的面积：①$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×6×4=12$；②$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× CF$，已知AB=AC=5，代入得$12=\frac{1}{2}×5× CF$，解得$CF=\frac{24}{5}$，即$BE+EF$的最小值为$\frac{24}{5}$。
8. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=20°$，$D$为$AC$边上一点，$∠ DBC=50°$，$E$为$AB$上一点，$∠ ECB=20°$，则$∠ BDE$的度数为（）
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
A.$10°$
B.$15°$
C.$20°$
D.$25°$
答案
解：
已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=20°$，由等腰三角形内角和性质可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-20°}{2}=80°$
1. 分析$△ DBC$的角度：
由$∠ DBC=50°$，得$∠ BDC=180°-∠ ACB-∠ DBC=180°-80°-50°=50°$，因此$△ DBC$为等腰三角形，$BC=DC$。
2. 分析$△ EBC$的角度：
由$∠ ECB=20°$，得$∠ BEC=180°-∠ ABC-∠ ECB=180°-80°-20°=80°$，因此$△ EBC$为等腰三角形，$BC=BE$。
3. 结合上述结论得$DC=BE$，通过角度构造与等腰三角形、等边三角形的性质推导，可证得$△ BDE$中对应角度关系，最终得到$∠ BDE=20°$。
答案：$\boldsymbol{C}$
已知在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ A=20°$，由等腰三角形内角和性质可得：
$∠ ABC=∠ ACB=\frac{180°-20°}{2}=80°$
1. 分析$△ DBC$的角度：
由$∠ DBC=50°$，得$∠ BDC=180°-∠ ACB-∠ DBC=180°-80°-50°=50°$，因此$△ DBC$为等腰三角形，$BC=DC$。
2. 分析$△ EBC$的角度：
由$∠ ECB=20°$，得$∠ BEC=180°-∠ ABC-∠ ECB=180°-80°-20°=80°$，因此$△ EBC$为等腰三角形，$BC=BE$。
3. 结合上述结论得$DC=BE$，通过角度构造与等腰三角形、等边三角形的性质推导，可证得$△ BDE$中对应角度关系，最终得到$∠ BDE=20°$。
答案：$\boldsymbol{C}$
解析
1. 由AB=AC，∠A=20°，根据等腰三角形内角和性质，得∠ABC=∠ACB=(180°-20°)÷2=80°。
2. 在△BDC中，∠DBC=50°，∠ACB=80°，计算得∠BDC=180°-50°-80°=50°，由等角对等边得BC=CD。
3. 在△BCE中，∠ECB=20°，∠ABC=80°，计算得∠BEC=180°-20°-80°=80°，由等角对等边得BC=CE。
4. 因此CD=CE，又∠DCE=∠ACB-∠ECB=80°-20°=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△CDE为等边三角形，得∠CDE=60°。
5. 在△ABD中，∠A=20°，∠ABD=∠ABC-∠DBC=80°-50°=30°，计算得∠ADB=180°-20°-30°=130°。
6. 由A、D、C三点共线，得∠ADE=180°-∠CDE=120°，因此∠BDE=∠ADB-∠ADE=130°-120°=10°。
2. 在△BDC中，∠DBC=50°，∠ACB=80°，计算得∠BDC=180°-50°-80°=50°，由等角对等边得BC=CD。
3. 在△BCE中，∠ECB=20°，∠ABC=80°，计算得∠BEC=180°-20°-80°=80°，由等角对等边得BC=CE。
4. 因此CD=CE，又∠DCE=∠ACB-∠ECB=80°-20°=60°，有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，故△CDE为等边三角形，得∠CDE=60°。
5. 在△ABD中，∠A=20°，∠ABD=∠ABC-∠DBC=80°-50°=30°，计算得∠ADB=180°-20°-30°=130°。
6. 由A、D、C三点共线，得∠ADE=180°-∠CDE=120°，因此∠BDE=∠ADB-∠ADE=130°-120°=10°。
9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC＞BC$,点$D,E$分别在$AB,AC$上,连接$BE,CD$相交于点$F$,$BE=BC$,$∠ ABE=∠ BCD$,若$CE=5$,则$CF$的长度为 （）
A.6
B.5
C.4
D.3
A.6
B.5
C.4
D.3
答案
B
解析
1. 由$AB=AC$，可得$∠ ABC=∠ ACB$；
2. 由$BE=BC$，可得$∠ BEC=∠ BCE=∠ ACB$；
3. 根据三角形外角性质，$∠ CFE=∠ FBC+∠ BCD$，代入已知$∠ ABE=∠ BCD$，得$∠ CFE=∠ FBC+∠ ABE=∠ ABC$；
4. 因此$∠ CFE=∠ BEC$，即$△ CFE$为等腰三角形，$CF=CE$；
5. 已知$CE=5$，故$CF=5$。
2. 由$BE=BC$，可得$∠ BEC=∠ BCE=∠ ACB$；
3. 根据三角形外角性质，$∠ CFE=∠ FBC+∠ BCD$，代入已知$∠ ABE=∠ BCD$，得$∠ CFE=∠ FBC+∠ ABE=∠ ABC$；
4. 因此$∠ CFE=∠ BEC$，即$△ CFE$为等腰三角形，$CF=CE$；
5. 已知$CE=5$，故$CF=5$。
10.在等腰三角形中,一腰上的中线将这个三角形的周长分为12和6两部分,则该等腰三角形底边的长度为。
答案
解：设该等腰三角形的腰长为$x$，底边长为$y$，根据题意分两种情况讨论：
情况1：
$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=12 \\\dfrac{x}{2}+y=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=8 \\ y=2\end{cases}$，此时三边长为8、8、2，满足三角形三边关系。
情况2：
$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=6 \\\dfrac{x}{2}+y=12\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=4 \\ y=10\end{cases}$，此时三边长为4、4、10，$4+4＜10$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
综上，该等腰三角形底边的长度为$\boldsymbol{2}$。
情况1：
$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=12 \\\dfrac{x}{2}+y=6\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=8 \\ y=2\end{cases}$，此时三边长为8、8、2，满足三角形三边关系。
情况2：
$\begin{cases}x+\dfrac{x}{2}=6 \\\dfrac{x}{2}+y=12\end{cases}$
解得$\begin{cases}x=4 \\ y=10\end{cases}$，此时三边长为4、4、10，$4+4＜10$，不满足三角形三边关系，舍去该情况。
综上，该等腰三角形底边的长度为$\boldsymbol{2}$。
11.若一个三角形的两个内角之差是第三个内角的一半，则称这个三角形是“差半角三角形”。若一个等腰三角形是“差半角三角形”，则它的底角的度数是。
答案
解：设等腰三角形的底角为$x°$，则顶角为$(180-2x)°$。
根据“差半角三角形”的定义，分两种情况讨论：
1. 当底角大于顶角时，$x - (180-2x) = \frac{1}{2}x$，
整理得$2.5x=180$，解得$x=72$。
此时三角形三个内角为$72°,72°,36°$，符合三角形内角和性质，满足定义。
2. 当顶角大于底角时，$(180-2x) - x = \frac{1}{2}x$，
整理得$3.5x=180$，解得$x=\frac{360}{7}$。
此时三角形三个内角为$(\frac{360}{7})°,(\frac{360}{7})°,(\frac{540}{7})°$，符合三角形内角和性质，满足定义。
综上，该等腰三角形的底角的度数是$72°$或$\frac{360}{7}°$。
根据“差半角三角形”的定义，分两种情况讨论：
1. 当底角大于顶角时，$x - (180-2x) = \frac{1}{2}x$，
整理得$2.5x=180$，解得$x=72$。
此时三角形三个内角为$72°,72°,36°$，符合三角形内角和性质，满足定义。
2. 当顶角大于底角时，$(180-2x) - x = \frac{1}{2}x$，
整理得$3.5x=180$，解得$x=\frac{360}{7}$。
此时三角形三个内角为$(\frac{360}{7})°,(\frac{360}{7})°,(\frac{540}{7})°$，符合三角形内角和性质，满足定义。
综上，该等腰三角形的底角的度数是$72°$或$\frac{360}{7}°$。
12.(1)如图(1)所示，以l为对称轴画出图形的另一半；(2)如图(2)所示，在下面的方格纸中画出图形的另一半，此图形是以直线MN为对称轴的轴对称图形。
答案
解：
(1) 作图过程：
① 找出图(1)中已知阴影部分的所有顶点作为关键点；
② 分别过每个关键点作对称轴$l$的垂线，将垂线向$l$的另一侧延长，使得到的对称点到直线$l$的距离与原关键点到直线$l$的距离相等，标记出所有关键点的对称点；
③ 按照原图形的连接方式依次连接各对称点，填充对应阴影，得到的图形就是以$l$为对称轴的原图形的另一半。
(2) 作图过程：
① 找出图(2)中已知图形轮廓的所有顶点作为关键点；
② 分别过每个关键点作对称轴$MN$的垂线，将垂线向$MN$的另一侧延长，使得到的对称点到直线$MN$的距离与原关键点到直线$MN$的距离相等，标记出所有顶点的对称点；
③ 按照原图形的边的连接顺序依次连接各对称点，得到的图形就是以直线$MN$为对称轴的轴对称图形的另一半。
最终画出的两部分图形分别与原已知部分沿对应对称轴折叠后完全重合，即为所求图形。
(1) 作图过程：
① 找出图(1)中已知阴影部分的所有顶点作为关键点；
② 分别过每个关键点作对称轴$l$的垂线，将垂线向$l$的另一侧延长，使得到的对称点到直线$l$的距离与原关键点到直线$l$的距离相等，标记出所有关键点的对称点；
③ 按照原图形的连接方式依次连接各对称点，填充对应阴影，得到的图形就是以$l$为对称轴的原图形的另一半。
(2) 作图过程：
① 找出图(2)中已知图形轮廓的所有顶点作为关键点；
② 分别过每个关键点作对称轴$MN$的垂线，将垂线向$MN$的另一侧延长，使得到的对称点到直线$MN$的距离与原关键点到直线$MN$的距离相等，标记出所有顶点的对称点；
③ 按照原图形的边的连接顺序依次连接各对称点，得到的图形就是以直线$MN$为对称轴的轴对称图形的另一半。
最终画出的两部分图形分别与原已知部分沿对应对称轴折叠后完全重合，即为所求图形。
