8. 亮点原创·如图，在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，延长$AB$至点$E$，使$AE=AC$，过点$E$作$EF⊥ AC$于点$F$，$EF$交$BC$于点$G$，连接$AG$。若$∠ C=40°$，$EF=BC$，则$∠ EAG$的度数是。

25° 解析:因为 EF⊥AC,所以∠AFE=90°. 又∠ABC=90°,所以∠AFE=∠ABC. 又 AE=AC,EF=CB,所以 Rt△AEF≌Rt△ACB(HL). 所以 AF=AB. 又 AG=AG,所以 Rt△AGF≌Rt△AGB(HL). 所以∠FAG=∠BAG,即∠EAG=∠BAG=$\frac{1}{2}$∠BAC. 又∠C=40°,∠C+∠BAC=90°,所以∠BAC=50°,即∠EAG=25°.

9. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$为$△ ABC$外部一点,连接$AD$,$CD$,$BD$,过点$A$作$AE⊥ BD$于点$E$.若$∠ BDC=∠ BAC$,$DE=3$,$CD=2$,则$BE$的长为.

5 解析:过点 A 作 AF⊥CD,交 CD 的延长线于点 F,则∠AFC=∠AFD=90°. 因为 AE⊥BD,所以∠AEB=∠AED=90°. 所以∠AEB=∠AFC=90°.设 AC 与 BD 的交点为 H. 又∠BAC=∠BDC,∠BAC+∠ABE+∠AHB=180°,∠BDC+∠ACF+∠CHD=180°,∠AHB = ∠CHD,所以 ∠ABE = ∠ACF. 又 AB=AC,所以△ABE≌△ACF(AAS). 所以 BE = CF, AE = AF. 又 AD = AD, 所以 Rt△ADE≌Rt△ADF(HL). 所以 DE = DF. 又 DE=3,所以 DF=3. 又 CF=CD+DF,CD=2,所以 CF=5,即 BE=5.

10. 新素养 推理能力 如图，在$△ ABC$中，$AC=BC$，过点$B$作射线$BF$，在射线$BF$上取一点$E$，连接$AE$，使$∠ CBF=∠ CAE$，过点$C$作射线$BF$的垂线$CD$，垂足为$D$。若$DE=1$，$AE=4$，则$BD$的长为。

5 解析:过点 C 作 CH⊥AE,交 AE 的延长线于点 H,连接 CE,则∠CHE=∠CHA=90°. 又 CD⊥BF,所以∠CDB=∠CDE=90°. 所以∠CDB=∠CHA=90°. 又 BC=AC,∠CBD=∠CAH,所以△BCD≌△ACH(AAS). 所以 CD=CH,BD=AH. 又 CE=CE,所以 Rt△CDE≌Rt△CHE(HL). 所以 DE=HE. 所以 BD=AH=AE+HE=AE+DE. 又 AE=4,DE=1,所以 BD=5.

11. (2026·江苏徐州期中)如图，A，B两点分别在射线OM，ON上，点C在$∠ MON$的内部，且$CA=CB$，$CD⊥ OM$，$CE⊥ ON$，垂足分别为D，E，且$AD=BE$.
(1) 求证：OC平分$∠ MON$；
(2) 如果$AO=14$，$BO=6$，求AD的长.

(1) 因为 CD⊥OM,CE⊥ON,所以∠ADC=∠ODC=∠OEC=∠BEC=90°. 又 CA=CB,AD=BE,所以 Rt△ADC≌Rt△BEC(HL). 所以 CD=CE. 又 OC=OC,所以 Rt△ODC≌Rt△OEC(HL). 所以∠COD=∠COE,即 OC 平分∠MON.
(2) 由(1),得 Rt△ODC≌Rt△OEC(HL),所以 OD=OE. 又 AD=BE,AO=14,BO=6,所以 AO-AD=OB+BE,即 14-AD=6+AD. 所以 AD=4.

12. 已知∠MON＝90°,A,B两点分别在射线OM,ON上,点C在∠MON内部,连接AC,BC.
(1)若OA＝OB.
① 如图①,若CA⊥OM,CB⊥ON.求证:CA＝CB,
② 如图②,若∠ACB＝90°,连接OC.求证:CO平分∠ACB;
(2)如图③,A,B两点分别在射线OM,ON上运动,点C随之运动,且∠ACB＝90°,AC＝BC.P为OM上一定点,当点C运动到何处时,PC的长最小?请用尺规作图作出PC的长最小时点C的位置(保留作图痕迹,不要写作法),并简要说明理由.

(1) ① 连接 OC. 因为 CA⊥OM,CB⊥ON,所以∠OAC=∠OBC=90°. 又 OA=OB,OC=OC,所以 Rt△OAC≌Rt△OBC(HL). 所以 CA=CB.
② 如图①,过点 O 分别作 OD⊥CB,交 CB 的延长线于点 D,OE⊥AC 于点 E,则∠OEA=∠OEC=∠ODC=∠ODB=90°. 因为∠ACB=∠MON=90°,∠OAE+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°,所以∠OAE+∠OBC=180°. 因为∠OBD+∠OBC=180°,所以∠OAE=∠OBD. 又 OA=OB,所以△OAE≌△OBD(AAS). 所以 OE=OD. 又 OC=OC,所以 Rt△OCE≌Rt△OCD(HL). 所以∠OCE=∠OCD,即 CO 平分∠ACB.
(2) 如图②,过点 C 分别作 CD⊥OM 于点 D,CE⊥ON 于点 E,作射线 OC,则∠ADC=∠ODC=∠OEC=∠BEC=90°. 因为∠ACB=∠MON=90°,∠CAD+∠OBC+∠ACB+∠MON=360°,所以∠CAD+∠OBC=180°. 因为∠CBE+∠OBC=180°,所以∠CAD=∠CBE. 又 AC=BC,所以△CAD≌△CBE(AAS). 所以 CD=CE. 又 OC=OC,所以 Rt△OCD≌Rt△OCE(HL). 所以∠COD=∠COE,即 OC 平分∠MON. 所以点 C 在∠MON 的平分线上运动. 所以当点 C 运动到 PC⊥OC 时,PC 的长最小. 过点 P 作 OC 的垂线,垂足为 C',则此时点 C'即为所求作的点.