9. 数学文化 《算术》 公元3世纪，古希腊数学家丢番图在其《算术》一书中设置了以下问题：已知两正整数之和为20，乘积为96，求这两个数. 因为两数之和为20，所以这两个数不可能同时大于10，也不可能同时小于10，必定是一个大于10，一个小于10. 根据如图所示的设法，可设一个数为$10+x$，则另一个数为$10-x$，根据两数之积为96，可得$(10+x)(10-x)=96$.
请根据以上思路解决下列问题：
(1)若两个正整数之和为100，大数比小数大$2a$，根据丢番图的设法，这两个正整数可表示为和.
(2)请你根据丢番图的运算方法，计算$502×498$的值.

9. (1)$50+a$ $50-a$
(2)$\because 502+498=1\ 000,502-498=4$，
$\therefore 502×498=(500+2)×(500-2)$
$=500^2-500×2+2×500-4=250\ 000-4=249\ 996.$
思路引导 本题考查了列代数式以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据两数间的关系，用含$a$的代数式表示出这两个正数；(2)根据丢番图的设法，将$502×498$变形为$(500+2)×(500-2)$.

【分析】
本题借鉴丢番图的设数思路：当两数和为定值时，设两数为“平均数加x”和“平均数减x”，可简化两数的关系，再结合代数运算或公式解题。第(1)问先求两数的平均数，再结合差的条件写出代数式；第(2)问将两个数转化为“平均数加x”和“平均数减x”的形式，利用平方差公式计算乘积。
【解析】
(1) 两数之和为100，因此两数的平均数为$100÷2=50$。已知大数比小数大$2a$，根据丢番图的设数方法，设小数为$50-a$，大数为$50+a$，此时两数的和为$(50+a)+(50-a)=100$，差为$(50+a)-(50-a)=2a$，符合条件，故两个正整数可表示为$50+a$和$50-a$。
(2) 观察$502$和$498$，它们的和为$502+498=1000$，平均数为$500$，差为$502-498=4$，即$x=2$，因此$502=500+2$，$498=500-2$。根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，计算得：
$502×498=(500+2)(500-2)=500^2 - 2^2=250000 - 4=249996$。
【答案】
(1) $50+a$；$50-a$ (2) $249996$
【知识点】
列代数式、平方差公式、有理数乘法
【点评】
本题通过丢番图的设数方法简化问题，核心是利用平均数表示两数，结合平方差公式进行简便运算，体现了数学转化思想，解题关键是理解设数规律和公式的应用。
【难度系数】
0.5

10. 中考新考法 方案选择 某商场销售一种西装和领带,西装每套定价1000元,领带每条定价200元.国庆节期间商场决定开展促销活动,活动期间向客户提供两种优惠方案.
方案一:买一套西装送一条领带;
方案二:西装和领带都按定价的90%付款.
现某客户要到该商场购买西装20套,领带$x$条$(x＞20)$.
(1)若该客户按方案一购买,需付款元;若该客户按方案二购买,需付款元.(用含$x$的代数式表示)
(2)若$x=30$,通过计算说明此时按哪种方案购买较为合算?
(3)当$x=30$时,你能给出一种更为省钱的购买方案吗?试写出你的购买方法.
精题详解

10. (1)$(200x+16\ 000)$ $(180x+18\ 000)$
(2)当$x=30$时，
方案一：$200×30+16\ 000=22\ 000$(元).
方案二：$180×30+18\ 000=23\ 400$(元).
因为$22\ 000$元$＜23\ 400$元，
所以按方案一购买较合算.
(3)先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带.
则$20\ 000+200×10×90\%=21\ 800$(元).

【分析】
本题是中考常见的方案选择类应用题，解题思路如下：（1）根据两种优惠方案的规则，分别推导购买20套西装和x条领带（x＞20）的总费用，用含x的代数式表示；方案一“买一套西装送一条领带”，买20套西装可获赠20条领带，只需为超出的(x-20)条领带付费；方案二“西装和领带都按定价的90%付款”，总费用为两者总价的90%。（2）将x=30代入两个代数式，计算两种方案的费用并比较大小，判断哪种更合算。（3）结合两种方案的优势优化购买方式：方案一买西装送领带，先按方案一买西装获赠领带，剩余领带用方案二购买，计算总费用后得出更省钱的方案。
【解析】
（1）方案一：购买20套西装的费用为20×1000=20000元，因买西装送20条领带，客户需额外购买(x-20)条领带，费用为200(x-20)元，总付款为20000 + 200(x-20)=200x +16000元；方案二：西装和领带的总定价为20×1000 +200x=20000+200x元，按90%付款，总付款为0.9×(20000+200x)=180x +18000元。
（2）当x=30时，方案一费用：200×30 +16000=22000元；方案二费用：180×30 +18000=23400元；因为22000元＜23400元，所以按方案一购买较为合算。
（3）先按方案一购买20套西装，获赠20条领带，再按方案二购买10条领带，总费用为20×1000 +200×10×90%=21800元，此方案更省钱。
【答案】
(1)(200x+16000)；(180x+18000) (2)按方案一购买较为合算 (3)先按方案一购买20套西装获赠送20条领带，再按方案二购买10条领带
【知识点】
列代数式、方案选择问题
【点评】
本题考查学生对实际问题的分析与优化能力，需准确理解优惠方案的规则，通过代数运算比较费用，结合方案优势找到最优解，是中考常见的应用型题目。
【难度系数】
0.6