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1. (
80
)$\% =8÷10=\frac{24}{(\quad)}=($ $):35=($ $)$折答案
1. 80 30 28 八
解析
【分析】
我们先找到这个连等式的核心基准，也就是已知的8÷10，先算出它的结果为0.8，之后以这个固定数值为基础，依次结合各类数的转化规则逐个推导空缺：第一步把得到的小数转化为百分数得到第一个空；第二步利用分数的基本性质，由已知的分子24推算对应分母；第三步利用比和除法的关系，结合比值推算比的前项；最后根据百分数和折扣的对应规则得到最后一个空，整个推导逻辑顺承连贯。
【解析】
1. 先计算基准值：$8÷10=0.8$
2. 转化为百分数：将小数0.8乘100%得到$80\%$，因此第一个空填80；
3. 推导分数分母：$8÷10$可写为分数$\frac{8}{10}$，分子从8变为24是乘了3，根据分数的基本性质，分母10也同步乘3，$10×3=30$，因此第二个空填30；
4. 推导比的前项：$8÷10$可转化为比，比值为0.8，已知比的后项是35，比的前项=比值×后项=$0.8×35=28$，因此第三个空填28；
5. 对应折扣规则：百分之几十就对应几折，$80\%$对应的就是八折，因此最后一个空填八。
【答案】
80 30 28 八
【知识点】
数的互化，分数基本性质，折扣概念
【点评】
本题是小学阶段数的互化类经典基础考题，核心是找准已知的基准算式，利用除法、分数、比三者的等价关联，结合百分数和折扣的对应规则就能顺利推导出所有空缺，侧重考察基础概念的掌握，没有复杂变形。
【难度系数】
0.9
我们先找到这个连等式的核心基准，也就是已知的8÷10，先算出它的结果为0.8，之后以这个固定数值为基础，依次结合各类数的转化规则逐个推导空缺：第一步把得到的小数转化为百分数得到第一个空；第二步利用分数的基本性质，由已知的分子24推算对应分母；第三步利用比和除法的关系，结合比值推算比的前项；最后根据百分数和折扣的对应规则得到最后一个空，整个推导逻辑顺承连贯。
【解析】
1. 先计算基准值：$8÷10=0.8$
2. 转化为百分数：将小数0.8乘100%得到$80\%$，因此第一个空填80；
3. 推导分数分母：$8÷10$可写为分数$\frac{8}{10}$，分子从8变为24是乘了3，根据分数的基本性质，分母10也同步乘3，$10×3=30$，因此第二个空填30；
4. 推导比的前项：$8÷10$可转化为比，比值为0.8，已知比的后项是35，比的前项=比值×后项=$0.8×35=28$，因此第三个空填28；
5. 对应折扣规则：百分之几十就对应几折，$80\%$对应的就是八折，因此最后一个空填八。
【答案】
80 30 28 八
【知识点】
数的互化，分数基本性质，折扣概念
【点评】
本题是小学阶段数的互化类经典基础考题，核心是找准已知的基准算式，利用除法、分数、比三者的等价关联，结合百分数和折扣的对应规则就能顺利推导出所有空缺，侧重考察基础概念的掌握，没有复杂变形。
【难度系数】
0.9
2. 2.5平方分米=(
3时15分=(
110立方厘米=(
2.8吨=(
250
)平方厘米3时15分=(
$3\frac{1}{4}$
)时110立方厘米=(
0.11
)立方分米2.8吨=(
2800
)千克答案
2. 250 $3\frac{1}{4}$ 0.11 2800
解析
【分析】
这是一道不同类别的计量单位换算基础题，解题思路非常清晰：首先明确每组待转换的两个单位之间的固定进率，再判断转换方向：如果是高级单位换算为低级单位，就用原数值乘进率；如果是低级单位换算为高级单位，就用原数值除以进率，逐个计算即可得到结果。
第一步处理平方分米到平方厘米的转换，回忆面积单位进率，1平方分米=100平方厘米，属于高级转低级，直接乘100；
第二步处理复名数3时15分到单名数时的转换，先把15分单独换算成以时为单位的数，再和3时相加即可，注意时间单位是60进制，不要和十进制单位混淆；
第三步处理立方厘米到立方分米的转换，体积单位进率为1立方分米=1000立方厘米，属于低级转高级，直接除以1000；
第四步处理吨到千克的转换，质量单位进率为1吨=1000千克，属于高级转低级，直接乘1000。
【解析】
1. 已知1平方分米=100平方厘米，因此2.5平方分米=2.5×100=250平方厘米；
2. 已知1时=60分，15分=15÷60=$\frac{1}{4}$时，因此3时15分=3时+$\frac{1}{4}$时=$3\frac{1}{4}$时；
3. 已知1立方分米=1000立方厘米，因此110立方厘米=110÷1000=0.11立方分米；
4. 已知1吨=1000千克，因此2.8吨=2.8×1000=2800千克。
【答案】
250；$3\frac{1}{4}$；0.11；2800
【知识点】
单位换算，计量单位进率
【点评】
本题是小学数学阶段的基础换算题型，覆盖了面积、时间、体积、质量四类常见计量单位的转换，唯一的易错点是容易把时间单位的60进制错当成十进制计算，只要牢记不同类单位的进率，掌握高低级单位转换的乘除规则，就可以轻松得到全部正确结果。
【难度系数】
0.9
这是一道不同类别的计量单位换算基础题，解题思路非常清晰：首先明确每组待转换的两个单位之间的固定进率，再判断转换方向：如果是高级单位换算为低级单位，就用原数值乘进率；如果是低级单位换算为高级单位，就用原数值除以进率，逐个计算即可得到结果。
第一步处理平方分米到平方厘米的转换，回忆面积单位进率，1平方分米=100平方厘米，属于高级转低级，直接乘100；
第二步处理复名数3时15分到单名数时的转换，先把15分单独换算成以时为单位的数，再和3时相加即可，注意时间单位是60进制，不要和十进制单位混淆；
第三步处理立方厘米到立方分米的转换，体积单位进率为1立方分米=1000立方厘米，属于低级转高级，直接除以1000；
第四步处理吨到千克的转换，质量单位进率为1吨=1000千克，属于高级转低级，直接乘1000。
【解析】
1. 已知1平方分米=100平方厘米，因此2.5平方分米=2.5×100=250平方厘米；
2. 已知1时=60分，15分=15÷60=$\frac{1}{4}$时，因此3时15分=3时+$\frac{1}{4}$时=$3\frac{1}{4}$时；
3. 已知1立方分米=1000立方厘米，因此110立方厘米=110÷1000=0.11立方分米；
4. 已知1吨=1000千克，因此2.8吨=2.8×1000=2800千克。
【答案】
250；$3\frac{1}{4}$；0.11；2800
【知识点】
单位换算，计量单位进率
【点评】
本题是小学数学阶段的基础换算题型，覆盖了面积、时间、体积、质量四类常见计量单位的转换，唯一的易错点是容易把时间单位的60进制错当成十进制计算，只要牢记不同类单位的进率，掌握高低级单位转换的乘除规则，就可以轻松得到全部正确结果。
【难度系数】
0.9
3. 一个九位数省略"亿"后面的尾数约是10亿,这个数最大是(
999999999
)。答案
3. 999999999
解析
【分析】
解题时首先要抓住两个核心条件：一是这个数是九位数，二是省略亿位后面的尾数约为10亿。首先回忆省略亿位后尾数的四舍五入规则：求近似数时需要观察千万位的数字，若千万位≥5就向亿位进1，若千万位＜5就直接舍去亿位后的部分。首先九位数的最高位是亿位，亿位上的数字最大只能是9，不可能出现10亿级的十位数，因此这个数得到近似数10亿只能是通过“五入”进位得到的，要让这个数最大，就让所有数位上的数字都取最大的一位数9即可。
【解析】
1. 先明确数的位数限制：九位数的最高位是亿位，所有九位数的取值范围是100000000~999999999，不存在亿位数字大于9的九位数。
2. 结合四舍五入规则分析：省略亿后面的尾数约是10亿，说明原数的亿位是9，且千万位上的数字≥5，进位后9亿+1亿得到近似数10亿。
3. 要得到符合条件的最大九位数，让亿位、千万位以及剩余的百万位到个位的所有数位都取最大的一位数9，最终得到这个数是999999999。
【答案】
999999999
【知识点】
亿以上数认识；四舍五入求近似数
【点评】
本题的易错点是容易忽略“九位数”的限定条件，错误认为最大数是十位数的10亿多的数，解题时需要先明确数的位数范围，再结合近似数的推导规则求解，避免踩入审题陷阱。
【难度系数】
0.5
解题时首先要抓住两个核心条件：一是这个数是九位数，二是省略亿位后面的尾数约为10亿。首先回忆省略亿位后尾数的四舍五入规则：求近似数时需要观察千万位的数字，若千万位≥5就向亿位进1，若千万位＜5就直接舍去亿位后的部分。首先九位数的最高位是亿位，亿位上的数字最大只能是9，不可能出现10亿级的十位数，因此这个数得到近似数10亿只能是通过“五入”进位得到的，要让这个数最大，就让所有数位上的数字都取最大的一位数9即可。
【解析】
1. 先明确数的位数限制：九位数的最高位是亿位，所有九位数的取值范围是100000000~999999999，不存在亿位数字大于9的九位数。
2. 结合四舍五入规则分析：省略亿后面的尾数约是10亿，说明原数的亿位是9，且千万位上的数字≥5，进位后9亿+1亿得到近似数10亿。
3. 要得到符合条件的最大九位数，让亿位、千万位以及剩余的百万位到个位的所有数位都取最大的一位数9，最终得到这个数是999999999。
【答案】
999999999
【知识点】
亿以上数认识；四舍五入求近似数
【点评】
本题的易错点是容易忽略“九位数”的限定条件，错误认为最大数是十位数的10亿多的数，解题时需要先明确数的位数范围，再结合近似数的推导规则求解，避免踩入审题陷阱。
【难度系数】
0.5
4. 一种零件长5毫米。在比例尺是$10:1$的图纸上,零件长(
50
)毫米。答案
4. 50
解析
【分析】
拿到这道题首先回忆比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比值。这道题给出的10:1属于放大比例尺，说明图上距离是实际距离的10倍。已知零件实际长度是5毫米，要求图纸上的零件长度也就是图上距离，只需要套用比例尺的变形公式：图上距离=实际距离×比例尺，代入数值直接计算即可，注意不要把放大比例尺和常规缩小比例尺搞反，避免错用实际距离除以10计算。
【解析】
解：已知零件的实际长度为5毫米，图纸的比例尺为10:1，
根据比例尺的基础公式：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，
对公式做变形可得求图上距离的公式：$\mathrm{图上距离}=\mathrm{实际距离}×\mathrm{比例尺}$，
代入已知数值计算：$\mathrm{图上距离}=5×10=50$（毫米）。
【答案】
50
【知识点】
比例尺计算，图上距离求解
【点评】
本题是比例尺模块的基础应用题，考察放大比例尺的实际应用，易错点是学生容易混淆放大比例尺的前后项，误将图上距离算成实际距离除以10，解题时要明确比例尺前项对应图上距离、后项对应实际距离，10:1代表图上长度是实际长度的10倍。
【难度系数】
0.8
拿到这道题首先回忆比例尺的定义：比例尺是图上距离与实际距离的比值。这道题给出的10:1属于放大比例尺，说明图上距离是实际距离的10倍。已知零件实际长度是5毫米，要求图纸上的零件长度也就是图上距离，只需要套用比例尺的变形公式：图上距离=实际距离×比例尺，代入数值直接计算即可，注意不要把放大比例尺和常规缩小比例尺搞反，避免错用实际距离除以10计算。
【解析】
解：已知零件的实际长度为5毫米，图纸的比例尺为10:1，
根据比例尺的基础公式：$\mathrm{比例尺}=\frac{\mathrm{图上距离}}{\mathrm{实际距离}}$，
对公式做变形可得求图上距离的公式：$\mathrm{图上距离}=\mathrm{实际距离}×\mathrm{比例尺}$，
代入已知数值计算：$\mathrm{图上距离}=5×10=50$（毫米）。
【答案】
50
【知识点】
比例尺计算，图上距离求解
【点评】
本题是比例尺模块的基础应用题，考察放大比例尺的实际应用，易错点是学生容易混淆放大比例尺的前后项，误将图上距离算成实际距离除以10，解题时要明确比例尺前项对应图上距离、后项对应实际距离，10:1代表图上长度是实际长度的10倍。
【难度系数】
0.8
5. 小军用计算器算得两个整数的积是385,但是忘记了这两个数,只记得它们都是两位数,都小于50。这两个数是(
35
)和(11
)。答案
5. 35 11
解析
【分析】
这道题是已知两个数的乘积和限定条件反求两个数，我们可以按如下思路思考：首先对乘积385做分解质因数处理，把它拆成若干质数相乘的形式，方便后续组合出符合要求的数；接着把得到的质因数做不同的分组相乘，得到所有乘积为385的因数组合；最后对照题目要求“两个数都是两位数、都小于50”逐一筛选，排除不符合条件的组合，就能得到正确结果。
【解析】
步骤1：对385分解质因数
从最小质数开始试除，385末尾是5，可被5整除：385÷5=77，77可继续分解为7×11，因此385的质因数分解结果为：
$385 = 5 × 7 × 11$
步骤2：列举所有乘积为385的正整数组合，对照条件筛选：
① 组合1×385：两个数都不符合两位数要求，直接排除；
② 组合5×77：5是一位数，77大于50，不符合要求，排除；
③ 组合7×55：7是一位数，55大于50，不符合要求，排除；
④ 组合11×35：11和35都是两位数，且11＜50、35＜50，完全符合所有限定条件。
因此符合要求的两个数就是11和35。
【答案】
35 11
【知识点】
分解质因数，因数筛选
【点评】
本题是分解质因数的典型基础应用题，核心逻辑是先拆解乘积的质因数再重组得到目标因数，解题时要注意把所有可能的因数组合全部列举出来，对照给定的限定条件逐一排查，避免误选不符合要求的组合。
【难度系数】
0.7
这道题是已知两个数的乘积和限定条件反求两个数，我们可以按如下思路思考：首先对乘积385做分解质因数处理，把它拆成若干质数相乘的形式，方便后续组合出符合要求的数；接着把得到的质因数做不同的分组相乘，得到所有乘积为385的因数组合；最后对照题目要求“两个数都是两位数、都小于50”逐一筛选，排除不符合条件的组合，就能得到正确结果。
【解析】
步骤1：对385分解质因数
从最小质数开始试除，385末尾是5，可被5整除：385÷5=77，77可继续分解为7×11，因此385的质因数分解结果为：
$385 = 5 × 7 × 11$
步骤2：列举所有乘积为385的正整数组合，对照条件筛选：
① 组合1×385：两个数都不符合两位数要求，直接排除；
② 组合5×77：5是一位数，77大于50，不符合要求，排除；
③ 组合7×55：7是一位数，55大于50，不符合要求，排除；
④ 组合11×35：11和35都是两位数，且11＜50、35＜50，完全符合所有限定条件。
因此符合要求的两个数就是11和35。
【答案】
35 11
【知识点】
分解质因数，因数筛选
【点评】
本题是分解质因数的典型基础应用题，核心逻辑是先拆解乘积的质因数再重组得到目标因数，解题时要注意把所有可能的因数组合全部列举出来，对照给定的限定条件逐一排查，避免误选不符合要求的组合。
【难度系数】
0.7
6. 甲数比乙数多25%,甲数与乙数的比是(
$5:4$
);甲数的$\frac{4}{5}$与乙数的$\frac{2}{7}$相等(甲、乙均不为0),则甲、乙两数的比值是($\frac{5}{14}$
)。答案
6. $5:4$ $\frac{5}{14}$
解析
【分析】
这道题分为两个小空，我们可以分步思考：
1. 第一空遇到“甲数比乙数多25%”的描述，首先把作为参照的乙数设为单位“1”，那么甲数就是乙数的(1+25%)，之后直接写出甲数和乙数的比，再化简成最简整数比即可。
2. 第二空给出了甲乙两数的等量关系：甲数×$\frac{4}{5}$ = 乙数×$\frac{2}{7}$，我们可以逆用比例的基本性质，把等式转化为甲:乙的形式，再计算出对应的比值就可以得到结果。
【解析】
1. 求甲数与乙数的比：
把乙数看作单位“1”，则甲数 = 乙数×(1+25%) = 1×1.25 = 1.25
甲数:乙数 = 1.25:1 = (1.25×4):(1×4) = 5:4
2. 求甲乙两数的比值：
根据题意可得等式：甲×$\frac{4}{5}$ = 乙×$\frac{2}{7}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
甲:乙 = $\frac{2}{7}$ : $\frac{4}{5}$
比值 = $\frac{2}{7}$ ÷ $\frac{4}{5}$ = $\frac{2}{7}$ × $\frac{5}{4}$ = $\frac{5}{14}$
【答案】
$5:4$；$\frac{5}{14}$
【知识点】
百分数应用，比例基本性质，化简比求比值
【点评】
本题属于比和比例模块的基础题型，易错点有两处：一是第一空容易误将多的25%直接当作甲乙的差值比，忽略甲数本身包含乙数的全部；二是第二空容易颠倒甲乙的位置写反比例关系，计算时注意区分比的前后项即可避免出错。
【难度系数】
0.7
这道题分为两个小空，我们可以分步思考：
1. 第一空遇到“甲数比乙数多25%”的描述，首先把作为参照的乙数设为单位“1”，那么甲数就是乙数的(1+25%)，之后直接写出甲数和乙数的比，再化简成最简整数比即可。
2. 第二空给出了甲乙两数的等量关系：甲数×$\frac{4}{5}$ = 乙数×$\frac{2}{7}$，我们可以逆用比例的基本性质，把等式转化为甲:乙的形式，再计算出对应的比值就可以得到结果。
【解析】
1. 求甲数与乙数的比：
把乙数看作单位“1”，则甲数 = 乙数×(1+25%) = 1×1.25 = 1.25
甲数:乙数 = 1.25:1 = (1.25×4):(1×4) = 5:4
2. 求甲乙两数的比值：
根据题意可得等式：甲×$\frac{4}{5}$ = 乙×$\frac{2}{7}$
根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得：
甲:乙 = $\frac{2}{7}$ : $\frac{4}{5}$
比值 = $\frac{2}{7}$ ÷ $\frac{4}{5}$ = $\frac{2}{7}$ × $\frac{5}{4}$ = $\frac{5}{14}$
【答案】
$5:4$；$\frac{5}{14}$
【知识点】
百分数应用，比例基本性质，化简比求比值
【点评】
本题属于比和比例模块的基础题型，易错点有两处：一是第一空容易误将多的25%直接当作甲乙的差值比，忽略甲数本身包含乙数的全部；二是第二空容易颠倒甲乙的位置写反比例关系，计算时注意区分比的前后项即可避免出错。
【难度系数】
0.7
7. 如右图,梯形是由一张长方形纸折叠而成的。这个梯形的高是(
4
)cm,原长方形纸的面积是(48
)$\mathrm{cm}^{2}$。答案
7. 4 48
解析
【分析】
我们可以通过折叠的性质逐步推导所求数值：首先第一步找梯形的高，梯形由长方形折叠得到，梯形的高就等于原长方形的宽，观察图中两侧完全相同的阴影直角三角形，两条直角边分别为3cm和4cm，其中垂直于梯形上下底的边就是梯形的高，对应长度为4cm。第二步推导原长方形的长，折叠后梯形的上底是6cm，折叠过程中两侧各有一段长度为3cm的边原本属于原长方形的长，因此原长方形的总长度就是6cm加上两个3cm，算出长之后用长方形面积公式长乘宽就能得到原长方形的面积。
【解析】
1. 求梯形的高：
根据折叠前后边长不变的性质，梯形的高与原长方形的宽相等，观察阴影直角三角形的直角边，垂直于梯形上下底的边长为4cm，因此梯形的高是4cm。
2. 求原长方形的长：
梯形上底长度为6cm，两侧折叠部分对应的原长段均为3cm，因此原长方形的长为：
$6 + 3 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$
3. 求原长方形的面积：
根据长方形面积公式$S = a× b$，代入长12cm、宽4cm可得：
$S = 12×4 = 48\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
4；48
【知识点】
长方形面积计算；图形折叠性质
【点评】
本题结合折叠场景考察长方形面积的计算，核心易错点是容易忽略原长方形的长需要加上两侧折叠的两段3cm长度，不能直接把梯形的上底6cm当成原长方形的长，结合折叠前后边长不变的特点分析图形各边的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
我们可以通过折叠的性质逐步推导所求数值：首先第一步找梯形的高，梯形由长方形折叠得到，梯形的高就等于原长方形的宽，观察图中两侧完全相同的阴影直角三角形，两条直角边分别为3cm和4cm，其中垂直于梯形上下底的边就是梯形的高，对应长度为4cm。第二步推导原长方形的长，折叠后梯形的上底是6cm，折叠过程中两侧各有一段长度为3cm的边原本属于原长方形的长，因此原长方形的总长度就是6cm加上两个3cm，算出长之后用长方形面积公式长乘宽就能得到原长方形的面积。
【解析】
1. 求梯形的高：
根据折叠前后边长不变的性质，梯形的高与原长方形的宽相等，观察阴影直角三角形的直角边，垂直于梯形上下底的边长为4cm，因此梯形的高是4cm。
2. 求原长方形的长：
梯形上底长度为6cm，两侧折叠部分对应的原长段均为3cm，因此原长方形的长为：
$6 + 3 + 3 = 12\ \mathrm{cm}$
3. 求原长方形的面积：
根据长方形面积公式$S = a× b$，代入长12cm、宽4cm可得：
$S = 12×4 = 48\ \mathrm{cm}^2$
【答案】
4；48
【知识点】
长方形面积计算；图形折叠性质
【点评】
本题结合折叠场景考察长方形面积的计算，核心易错点是容易忽略原长方形的长需要加上两侧折叠的两段3cm长度，不能直接把梯形的上底6cm当成原长方形的长，结合折叠前后边长不变的特点分析图形各边的对应关系即可顺利解题。
【难度系数】
0.6
8. 用40厘米长的铁丝围成一个等腰三角形(接头处忽略不计),相邻两条边的长度比是$1:2$,这个三角形的底边长(
8
)厘米。答案
8. 8
解析
【分析】
这道题需要结合等腰三角形的特征、三角形三边关系和按比例分配的知识求解。首先第一步，根据等腰三角形两条边相等的特点，结合“相邻两条边长度比是1:2”的条件，枚举出所有可能的三边长度比例组合；第二步，用三角形“任意两边之和大于第三边”的规则验证所有组合，排除无法构成三角形的错误情况；第三步，对剩下的合法比例，用总周长除以总份数得到单份长度，最终算出底边的长度即可，解题时必须先验证三边关系，避免得到不符合实际的结果。
【解析】
1. 枚举所有可能的三边比例
等腰三角形有两条边长度相等，已知相邻边长度比为1:2，因此存在两种三边比例的可能：
情况①：三边长度比为1:1:2
情况②：三边长度比为1:2:2
2. 用三边关系验证排除
对情况①：两边份数和1+1=2，和第三边的份数相等，不满足“任意两边之和大于第三边”的三角形构成要求，该情况的三角形不存在，直接排除。
对情况②：两边份数和2+2＞1，2+1＞2，完全符合三角形三边关系，该情况合法。
3. 按比例分配计算底边长度
情况②的三边总份数为1+2+2=5份，铁丝总长40厘米，因此单份长度为40÷5=8厘米，其中占1份的边为底边，因此底边长为8厘米。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系，按比例分配
【点评】
本题的易错点是忽略三角形三边关系，没有排除1:1:2的无效比例，很容易错误算出底边长为20的结果，解题时一定要先筛选合法的边长组合，再进行比例计算。
【难度系数】
0.6
这道题需要结合等腰三角形的特征、三角形三边关系和按比例分配的知识求解。首先第一步，根据等腰三角形两条边相等的特点，结合“相邻两条边长度比是1:2”的条件，枚举出所有可能的三边长度比例组合；第二步，用三角形“任意两边之和大于第三边”的规则验证所有组合，排除无法构成三角形的错误情况；第三步，对剩下的合法比例，用总周长除以总份数得到单份长度，最终算出底边的长度即可，解题时必须先验证三边关系，避免得到不符合实际的结果。
【解析】
1. 枚举所有可能的三边比例
等腰三角形有两条边长度相等，已知相邻边长度比为1:2，因此存在两种三边比例的可能：
情况①：三边长度比为1:1:2
情况②：三边长度比为1:2:2
2. 用三边关系验证排除
对情况①：两边份数和1+1=2，和第三边的份数相等，不满足“任意两边之和大于第三边”的三角形构成要求，该情况的三角形不存在，直接排除。
对情况②：两边份数和2+2＞1，2+1＞2，完全符合三角形三边关系，该情况合法。
3. 按比例分配计算底边长度
情况②的三边总份数为1+2+2=5份，铁丝总长40厘米，因此单份长度为40÷5=8厘米，其中占1份的边为底边，因此底边长为8厘米。
【答案】
8
【知识点】
等腰三角形特征，三角形三边关系，按比例分配
【点评】
本题的易错点是忽略三角形三边关系，没有排除1:1:2的无效比例，很容易错误算出底边长为20的结果，解题时一定要先筛选合法的边长组合，再进行比例计算。
【难度系数】
0.6
9. "6·18购物节"期间,某仓储中心自动分拣系统$\frac{3}{5}$小时可以分拣$\frac{9}{4}$万件货物。照这样计算,这个自动分拣系统8小时可分拣(
30
)万件货物。答案
9. 30
解析
【分析】
这是典型的归一型工程问题，解题思路非常明确：首先我们需要先求出该自动分拣系统每小时的分拣效率，已知$\frac{3}{5}$小时对应的分拣总量是$\frac{9}{4}$万件，用总分拣量除以对应的时长就能得到单位时间的分拣量；之后再用算出的每小时分拣量乘8小时，就能得到8小时的总分拣货物量，计算时注意分数除法的运算规则，除以一个分数等价于乘这个分数的倒数即可。
【解析】
1. 计算分拣系统的每小时分拣效率：
根据工作效率=总工作量÷对应工作时间，代入已知数据：
效率 = $\frac{9}{4} ÷ \frac{3}{5} = \frac{9}{4} × \frac{5}{3} = \frac{15}{4}$（万件/小时）
2. 计算8小时的总分拣量：
根据总工作量=工作效率×工作时间，代入数据：
8小时分拣总量 = $\frac{15}{4} × 8 = 30$（万件）
【答案】
30
【知识点】
分数乘除运算，工程归一问题
【点评】
本题属于基础应用题，核心考察工作量、工作时间、工作效率三者的对应关系，只要理清逻辑不把被除数和除数搞反，掌握分数乘除法的基础计算规则，就可以顺利得到正确结果，是分数应用部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
这是典型的归一型工程问题，解题思路非常明确：首先我们需要先求出该自动分拣系统每小时的分拣效率，已知$\frac{3}{5}$小时对应的分拣总量是$\frac{9}{4}$万件，用总分拣量除以对应的时长就能得到单位时间的分拣量；之后再用算出的每小时分拣量乘8小时，就能得到8小时的总分拣货物量，计算时注意分数除法的运算规则，除以一个分数等价于乘这个分数的倒数即可。
【解析】
1. 计算分拣系统的每小时分拣效率：
根据工作效率=总工作量÷对应工作时间，代入已知数据：
效率 = $\frac{9}{4} ÷ \frac{3}{5} = \frac{9}{4} × \frac{5}{3} = \frac{15}{4}$（万件/小时）
2. 计算8小时的总分拣量：
根据总工作量=工作效率×工作时间，代入数据：
8小时分拣总量 = $\frac{15}{4} × 8 = 30$（万件）
【答案】
30
【知识点】
分数乘除运算，工程归一问题
【点评】
本题属于基础应用题，核心考察工作量、工作时间、工作效率三者的对应关系，只要理清逻辑不把被除数和除数搞反，掌握分数乘除法的基础计算规则，就可以顺利得到正确结果，是分数应用部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8
10. 如右图,一根长9分米的圆柱形木料,平均锯成3段,表面积增加了12.56平方分米,那么原来木料的体积是(
28.26
)立方分米。答案
10. 28.26
解析
【分析】
首先我们要理清圆柱锯段时表面积的变化规律：把圆柱形木料锯成段，每锯1次就会新增2个和圆柱底面完全相同的横截面。题目要求锯成3段，首先计算需要锯的次数：段数-1=3-1=2次，那么总共新增的横截面数量就是2×2=4个，题目给出的表面积增加的12.56平方分米，就是这4个横截面的总面积。接下来我们就可以先求出圆柱的底面积，再结合圆柱体积=底面积×高的公式，代入木料的总长度9分米，就能算出原来木料的体积。
【解析】
1. 计算锯成3段后新增的底面总数：
锯成3段需要锯的次数为：$3-1=2$次
每锯1次增加2个圆柱底面，因此总新增底面数为：$2×2=4$个
2. 计算圆柱的底面积：
已知表面积总共增加12.56平方分米，即4个底面积之和为12.56平方分米，因此单个底面积：
$S = 12.56 ÷ 4 = 3.14$ 平方分米
3. 计算原圆柱形木料的体积：
圆柱体积公式为$V = S× h$，其中木料的长9分米就是圆柱的高$h$，代入得：
$V = 3.14 × 9 = 28.26$ 立方分米
【答案】
28.26
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱切割表面积变化
【点评】
本题是圆柱体积的常见变形题，核心易错点是容易错误判断锯成3段后新增的底面数量，不少同学会误以为锯成3段增加3个或6个面，牢记“锯的次数=段数-1，每次锯切新增2个横截面”的规律，就能快速求出底面积，进而算出体积，整体属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.6
首先我们要理清圆柱锯段时表面积的变化规律：把圆柱形木料锯成段，每锯1次就会新增2个和圆柱底面完全相同的横截面。题目要求锯成3段，首先计算需要锯的次数：段数-1=3-1=2次，那么总共新增的横截面数量就是2×2=4个，题目给出的表面积增加的12.56平方分米，就是这4个横截面的总面积。接下来我们就可以先求出圆柱的底面积，再结合圆柱体积=底面积×高的公式，代入木料的总长度9分米，就能算出原来木料的体积。
【解析】
1. 计算锯成3段后新增的底面总数：
锯成3段需要锯的次数为：$3-1=2$次
每锯1次增加2个圆柱底面，因此总新增底面数为：$2×2=4$个
2. 计算圆柱的底面积：
已知表面积总共增加12.56平方分米，即4个底面积之和为12.56平方分米，因此单个底面积：
$S = 12.56 ÷ 4 = 3.14$ 平方分米
3. 计算原圆柱形木料的体积：
圆柱体积公式为$V = S× h$，其中木料的长9分米就是圆柱的高$h$，代入得：
$V = 3.14 × 9 = 28.26$ 立方分米
【答案】
28.26
【知识点】
圆柱体积计算，圆柱切割表面积变化
【点评】
本题是圆柱体积的常见变形题，核心易错点是容易错误判断锯成3段后新增的底面数量，不少同学会误以为锯成3段增加3个或6个面，牢记“锯的次数=段数-1，每次锯切新增2个横截面”的规律，就能快速求出底面积，进而算出体积，整体属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.6
11. 暑假期间,小军每4天游泳一次,小明每6天游泳一次。7月23日两人在游泳池相遇,他们下一次相遇是8月(
4
)日。答案
11. 4
解析
【分析】
要解决两人下一次相遇的日期问题，首先要明确核心逻辑：两人同时相遇的时间间隔，一定是小军游泳周期4天和小明游泳周期6天的公共倍数，下一次最近的相遇对应的就是两个数的最小公倍数。第一步先求出4和6的最小公倍数，得到两次相遇的间隔天数；第二步结合7月是大月总共有31天的规则，从7月23日往后累加间隔天数，推算出对应的8月日期即可。
【解析】
1. 计算相遇间隔天数：
对4和6分解质因数：$4=2×2$，$6=2×3$，因此4和6的最小公倍数为$2×2×3=12$，即两人每间隔12天会在泳池相遇一次。
2. 推算后续日期：
已知7月总共有31天，从7月23日开始往后数12天：
7月剩余的天数为$31-23=8$天，12天的间隔里，8天在7月，剩下的天数落在8月：$12-8=4$，因此下一次相遇是8月4日。
【答案】
4
【知识点】
最小公倍数应用，年月日计算
【点评】
本题是公倍数知识点结合生活场景的典型应用题，易错点集中在两个地方：一是误将最小公倍数算成24，二是计算跨月日期时搞错7月的总天数，解题时先明确周期的最小公倍数是相遇间隔，再结合大月31天的规则推算日期即可避免出错。
【难度系数】
0.7
要解决两人下一次相遇的日期问题，首先要明确核心逻辑：两人同时相遇的时间间隔，一定是小军游泳周期4天和小明游泳周期6天的公共倍数，下一次最近的相遇对应的就是两个数的最小公倍数。第一步先求出4和6的最小公倍数，得到两次相遇的间隔天数；第二步结合7月是大月总共有31天的规则，从7月23日往后累加间隔天数，推算出对应的8月日期即可。
【解析】
1. 计算相遇间隔天数：
对4和6分解质因数：$4=2×2$，$6=2×3$，因此4和6的最小公倍数为$2×2×3=12$，即两人每间隔12天会在泳池相遇一次。
2. 推算后续日期：
已知7月总共有31天，从7月23日开始往后数12天：
7月剩余的天数为$31-23=8$天，12天的间隔里，8天在7月，剩下的天数落在8月：$12-8=4$，因此下一次相遇是8月4日。
【答案】
4
【知识点】
最小公倍数应用，年月日计算
【点评】
本题是公倍数知识点结合生活场景的典型应用题，易错点集中在两个地方：一是误将最小公倍数算成24，二是计算跨月日期时搞错7月的总天数，解题时先明确周期的最小公倍数是相遇间隔，再结合大月31天的规则推算日期即可避免出错。
【难度系数】
0.7
12. 《庄子》中有一句话:"一尺之棰,日取其半,万世不竭。"意思是说:一根一尺长的木棍(尺,中国古代长度单位),第一天截取它的一半,第二天截取剩下的一半,第三天再取剩下的一半……这样取下去,永远也取不完。第五天取的长度是这根木棒的(
$\frac{1}{32}$
),一共截取的长度是这根木棒的$\frac{(\quad)}{(\quad)}$。答案
12. $\frac{1}{32}$ $\frac{31}{32}$
解析
【分析】
我们首先把这根木棍的总长度看作单位“1”，根据“每天截取剩下的一半”的规则推导规律：第一天取总长度的$\frac{1}{2}$，之后每一天取的长度都是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，也就是第n天取的长度是总长度的$\frac{1}{2^n}$。要算第五天取的长度，直接代入n=5就能得到结果。算前五天一共截取的总长度时，既可以把前五天每天截取的长度相加求和，也可以用总长度单位“1”减去第五天结束后剩余的木棍长度，用简便方法快速算出结果。
【解析】
解：将整根木棍的长度视为单位“1”：
1. 推导每天截取的长度：
第1天取的长度：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{2}$；
第2天取的长度：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{4}$；
第3天取的长度：$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{8}$；
第4天取的长度：$\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{16}$；
第5天取的长度：$\frac{1}{16}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$。
2. 计算前五天一共截取的长度：
方法1：累加每天截取的长度：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{16+8+4+2+1}{32}=\frac{31}{32}$
方法2：总长度减去第五天后剩余的长度：
$1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
【答案】
$\frac{1}{32}$；$\frac{31}{32}$
【知识点】
单位“1”的应用；分数乘法；分数加法运算
【点评】
本题结合古代经典数学名言出题，趣味性较强，核心考察分数相关运算，既可以逐步推导累加求解，也可以用整体减剩余的简便方法快速计算，同时渗透了极限分割的初步数学思想，易错点是容易误将第五天对应的分母算成2的4次方，得到$\frac{1}{16}$的错误结果。
【难度系数】
0.7
我们首先把这根木棍的总长度看作单位“1”，根据“每天截取剩下的一半”的规则推导规律：第一天取总长度的$\frac{1}{2}$，之后每一天取的长度都是前一天剩余长度的$\frac{1}{2}$，也就是第n天取的长度是总长度的$\frac{1}{2^n}$。要算第五天取的长度，直接代入n=5就能得到结果。算前五天一共截取的总长度时，既可以把前五天每天截取的长度相加求和，也可以用总长度单位“1”减去第五天结束后剩余的木棍长度，用简便方法快速算出结果。
【解析】
解：将整根木棍的长度视为单位“1”：
1. 推导每天截取的长度：
第1天取的长度：$1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{2}$；
第2天取的长度：$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{4}$；
第3天取的长度：$\frac{1}{4}×\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{8}$；
第4天取的长度：$\frac{1}{8}×\frac{1}{2}=\frac{1}{16}$，截取后剩余长度为$\frac{1}{16}$；
第5天取的长度：$\frac{1}{16}×\frac{1}{2}=\frac{1}{32}$。
2. 计算前五天一共截取的长度：
方法1：累加每天截取的长度：
$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}=\frac{16+8+4+2+1}{32}=\frac{31}{32}$
方法2：总长度减去第五天后剩余的长度：
$1-\frac{1}{32}=\frac{31}{32}$
【答案】
$\frac{1}{32}$；$\frac{31}{32}$
【知识点】
单位“1”的应用；分数乘法；分数加法运算
【点评】
本题结合古代经典数学名言出题，趣味性较强，核心考察分数相关运算，既可以逐步推导累加求解，也可以用整体减剩余的简便方法快速计算，同时渗透了极限分割的初步数学思想，易错点是容易误将第五天对应的分母算成2的4次方，得到$\frac{1}{16}$的错误结果。
【难度系数】
0.7
13. 数学中规定:连接多边形任意两个不相邻顶点的线段叫作多边形的对角线。
聪聪是个喜欢思考的学生,他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律(上表)。照这样的规律,正七边形共有(
聪聪是个喜欢思考的学生,他发现正多边形的对角线数量和正多边形的边数存在某种规律(上表)。照这样的规律,正七边形共有(
14
)条对角线,正n边形共有($\frac{n(n-3)}{2}$
)条对角线。答案
13. 14 $\frac{n(n-3)}{2}$
解析
【分析】
我们先从表格给出的已知数据入手逐步推导规律：首先观察“一个顶点可画对角线数量”和多边形边数的对应关系：边数为4时对应1=4-3，边数为5时对应2=5-3，边数为6时对应3=6-3，由此可以想到：任意一个顶点都不能和自身、以及两个相邻的顶点连接对角线，所以从n边形的一个顶点出发，能画出的对角线数量一定是n-3条。接下来计算总对角线数：n个顶点每个都连出n-3条对角线时，每条对角线会被它连接的两个顶点各计数一次，存在重复统计，因此总数量需要除以2，最后把n=7代入通用公式就能算出正七边形的对角线总数。
【解析】
1. 推导单个顶点的对角线条数：
对于边数为n的多边形，任意选取一个顶点，排除该顶点自身、以及和它相邻的2个顶点，剩余可连接的不相邻顶点共n-3个，因此从一个顶点出发可画出n-3条对角线。
2. 推导正n边形对角线总条数：
正n边形共有n个顶点，如果直接按每个顶点画n-3条对角线计算，得到的总数为n(n-3)，但每条对角线会被2个不同的顶点各统计1次，存在重复计数，因此需要将结果除以2，得到对角线总数量公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。
3. 计算正七边形的对角线数：
将n=7代入上述公式，可得总对角线数为$\frac{7×(7-3)}{2}=\frac{7×4}{2}=14$。
【答案】
14；$\frac{n(n-3)}{2}$
【知识点】
多边形对角线公式；规律归纳推理
【点评】
本题通过特殊正多边形的对角线数据，引导学生自主推导通用的多边形对角线公式，易错点是容易忽略“每条对角线被两个顶点重复计数”的规则，忘记除以2，整体锻炼了学生从特殊案例总结一般规律的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
我们先从表格给出的已知数据入手逐步推导规律：首先观察“一个顶点可画对角线数量”和多边形边数的对应关系：边数为4时对应1=4-3，边数为5时对应2=5-3，边数为6时对应3=6-3，由此可以想到：任意一个顶点都不能和自身、以及两个相邻的顶点连接对角线，所以从n边形的一个顶点出发，能画出的对角线数量一定是n-3条。接下来计算总对角线数：n个顶点每个都连出n-3条对角线时，每条对角线会被它连接的两个顶点各计数一次，存在重复统计，因此总数量需要除以2，最后把n=7代入通用公式就能算出正七边形的对角线总数。
【解析】
1. 推导单个顶点的对角线条数：
对于边数为n的多边形，任意选取一个顶点，排除该顶点自身、以及和它相邻的2个顶点，剩余可连接的不相邻顶点共n-3个，因此从一个顶点出发可画出n-3条对角线。
2. 推导正n边形对角线总条数：
正n边形共有n个顶点，如果直接按每个顶点画n-3条对角线计算，得到的总数为n(n-3)，但每条对角线会被2个不同的顶点各统计1次，存在重复计数，因此需要将结果除以2，得到对角线总数量公式为$\frac{n(n-3)}{2}$。
3. 计算正七边形的对角线数：
将n=7代入上述公式，可得总对角线数为$\frac{7×(7-3)}{2}=\frac{7×4}{2}=14$。
【答案】
14；$\frac{n(n-3)}{2}$
【知识点】
多边形对角线公式；规律归纳推理
【点评】
本题通过特殊正多边形的对角线数据，引导学生自主推导通用的多边形对角线公式，易错点是容易忽略“每条对角线被两个顶点重复计数”的规则，忘记除以2，整体锻炼了学生从特殊案例总结一般规律的归纳推理能力。
【难度系数】
0.7
